Notazione bra-ket
Quantum state: In physics, a quantum state is a set of mathematical variables that fully describes a quantum system.
Wave function: A wave function or wavefunction is a probability amplitude in quantum mechanics describing the quantum state of a particle and how it behaves. Typically, its values are complex numbers and, for a single particle, it is a function of space and time.
Il Cohen-Tannoudji dice che lo spazio delle funzioni d'onda è un insieme \(F \subseteq L^2\) con funzioni
$a.$ continue
$b.$ infinitamente differenziabili
$c.$ definite ovunque
$d.$ con dominio limitato
Sarebbe \(F=C_{0}^{\infty}(\mathbb{R}^{3}\times A)\) con \(t \in A\) ? Vorrei una definizione più precisa. Poi, consideriamo uno spazio di Hilbert $\mathcal{H}$ e $x \in mathcal{H}$ ed il funzionale antilineare e continuo \(A:x\mapsto \langle x,\cdot \rangle\):\(\mathcal{H}\mapsto \mathcal{H}^{*}\). Esso è iniettivo, suriettivo, quindi invertibile. Uno spazio di Hilbert ed il suo duale topologico sono isomorfi.
Consideriamo la corrispondenza \(\varphi \mapsto |\varphi\rangle:F\mapsto \mathcal{E}\) che associa ad ogni funzione d'onda un ket. Non mi è chaira la natura ed il senso di questa applicazione. \(\mathcal{E}\) è uno spazio di Hilbert ed è quindi dotato di prodotto scalare \((\cdot,\cdot)\). Riguardo ai bra, se \(\mathcal{E}\) e \(\mathcal{E}^{*}\) sono isomorfi allora per ogni funzionale lineare e continuo \(A\) possiamo scrivere \(A|\psi\rangle=(|\varphi\rangle,|\psi\rangle):=\langle \varphi|\psi\rangle\). Perché il libro dice che non è vero che ad ogni bra corrisponde un ket? Che senso ha dato l'isomorfismo precedente?
cit. Although to every ket there corresponds a bra, we shall see in two examples chosen in \(F\) that is possible to find bras which have no corresponding kets.
Sarà che i bra sono definiti anche per applicazioni non continue e quindi sto parlando impropriamente di duale topologico mentre dovrei considerare quello algebrico? Se considero il duale algebrico e la corrispondenza \(A:x\mapsto \langle x,\cdot \rangle\):\(\mathcal{H}\mapsto \mathcal{H}^{*}\) allora dato che manca la suriettività non è detto che ad ogni bra corrisponda un ket. E' così?
Aggiungo un'altra cosa. Sempre nel Cohen dice che l'hermitiano coniugato per
$1.$ un ket è un bra e viceversa
$2.$ un operatore è il suo aggiunto
$3.$ un numero complesso è il suo coniugato
Per le ultime due basta scrivere
$2.$ \((|\phi\rangle,A|\varphi\rangle )=(A^{\dagger}|\phi\rangle,|\varphi\rangle)\)
$3.$ \((|\phi\rangle,\lambda|\varphi\rangle )=(\overline{\lambda}|\phi\rangle,|\varphi\rangle)\)
E per la prima? Che senso ha dire ad esempio: Prendiamo l'hermitiano coniugato di
\(|\phi\rangle A \rightarrow A^{\dagger}\langle \phi |\)
?
Wave function: A wave function or wavefunction is a probability amplitude in quantum mechanics describing the quantum state of a particle and how it behaves. Typically, its values are complex numbers and, for a single particle, it is a function of space and time.
Il Cohen-Tannoudji dice che lo spazio delle funzioni d'onda è un insieme \(F \subseteq L^2\) con funzioni
$a.$ continue
$b.$ infinitamente differenziabili
$c.$ definite ovunque
$d.$ con dominio limitato
Sarebbe \(F=C_{0}^{\infty}(\mathbb{R}^{3}\times A)\) con \(t \in A\) ? Vorrei una definizione più precisa. Poi, consideriamo uno spazio di Hilbert $\mathcal{H}$ e $x \in mathcal{H}$ ed il funzionale antilineare e continuo \(A:x\mapsto \langle x,\cdot \rangle\):\(\mathcal{H}\mapsto \mathcal{H}^{*}\). Esso è iniettivo, suriettivo, quindi invertibile. Uno spazio di Hilbert ed il suo duale topologico sono isomorfi.
Consideriamo la corrispondenza \(\varphi \mapsto |\varphi\rangle:F\mapsto \mathcal{E}\) che associa ad ogni funzione d'onda un ket. Non mi è chaira la natura ed il senso di questa applicazione. \(\mathcal{E}\) è uno spazio di Hilbert ed è quindi dotato di prodotto scalare \((\cdot,\cdot)\). Riguardo ai bra, se \(\mathcal{E}\) e \(\mathcal{E}^{*}\) sono isomorfi allora per ogni funzionale lineare e continuo \(A\) possiamo scrivere \(A|\psi\rangle=(|\varphi\rangle,|\psi\rangle):=\langle \varphi|\psi\rangle\). Perché il libro dice che non è vero che ad ogni bra corrisponde un ket? Che senso ha dato l'isomorfismo precedente?
cit. Although to every ket there corresponds a bra, we shall see in two examples chosen in \(F\) that is possible to find bras which have no corresponding kets.
Sarà che i bra sono definiti anche per applicazioni non continue e quindi sto parlando impropriamente di duale topologico mentre dovrei considerare quello algebrico? Se considero il duale algebrico e la corrispondenza \(A:x\mapsto \langle x,\cdot \rangle\):\(\mathcal{H}\mapsto \mathcal{H}^{*}\) allora dato che manca la suriettività non è detto che ad ogni bra corrisponda un ket. E' così?
Aggiungo un'altra cosa. Sempre nel Cohen dice che l'hermitiano coniugato per
$1.$ un ket è un bra e viceversa
$2.$ un operatore è il suo aggiunto
$3.$ un numero complesso è il suo coniugato
Per le ultime due basta scrivere
$2.$ \((|\phi\rangle,A|\varphi\rangle )=(A^{\dagger}|\phi\rangle,|\varphi\rangle)\)
$3.$ \((|\phi\rangle,\lambda|\varphi\rangle )=(\overline{\lambda}|\phi\rangle,|\varphi\rangle)\)
E per la prima? Che senso ha dire ad esempio: Prendiamo l'hermitiano coniugato di
\(|\phi\rangle A \rightarrow A^{\dagger}\langle \phi |\)
?
Risposte
Non capisco come tu possa considerare una funzione definita ovunque a dominio limitato; e.g.: su \(\mathbb{R}\) come puoi definire una funzione su tutto \(\mathbb{R}\) a dominio limitato? 
Chi è \(\mathcal{E}\)?
Chi è \(\mathcal{E}\)?
Il dominio naturale di $f(x)=e^{x}$ è $\mathbb{R}$ ma possiamo restringerlo a $K\subset\mathbb{R}$. Se dobbiamo descrivere una particella in genere ci interessa uno spazio limitato (lo dice il Cohen) e probabilmente non ha senso che la particella non sia definita altrove (boh, questo lo dico io). E' per questo che ho pensato a $C_{0}^{\infty}$.
cit.
-We can only retain functions which are everywhere defined
-It is also possible to confine ourselves to wave functions which have a bounded domain
$\mathcal{E}=\mathcal{E}_{r}$ è lo spazio degli stati.
cit.
-We can only retain functions which are everywhere defined
-It is also possible to confine ourselves to wave functions which have a bounded domain
$\mathcal{E}=\mathcal{E}_{r}$ è lo spazio degli stati.
Se con \(C_0^{\infty}\) intendi lo spazio delle funzioni liscie a supporto compatto sei apposto, in quanto è un insieme denso in \(L^2\)!
Per il resto... ora non ce la faccio. Notte
Per il resto... ora non ce la faccio. Notte
"j18eos":
Se con \(C_0^{\infty}\) intendi lo spazio delle funzioni liscie a supporto compatto sei apposto,
in quanto è un insieme denso in \(L^2\)!Non ho capito il nesso. La domanda è, qual è lo spazio delle funzioni d'onda? Con che cosa identificano $F$ nei libri di fisica-matematica?
Se vuoi sapere chi è \(F\) da quanto leggo è \(C^{\infty}_0\); il quale in \(L^2\) è un insieme denso, quindi definita una qualsiasi applicazione continua su \(F\) la puoi estendere univocamente a tutto \(L^2\)!
Se, invece, vuoi sapere perché si sceglie \(F\) così ti rispondo semplicemente che non lo so!
Se, invece, vuoi sapere perché si sceglie \(F\) così ti rispondo semplicemente che non lo so!
"j18eos":Posso sapere in quale libro/dispensa?
Se vuoi sapere chi è \(F\) da quanto leggo è \(C^{\infty}_0\)
Lo sto evincendo da quanto scrivi... 
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