Non mi torna il momento di inerzia del cono.

[curioso54]

Ho provato a ricavare il momento di inerzia del cono PIENO, applicando la definizione ma mi sbaglio sempre di un fattore 2. Il cono deve avere (3/10)Mr^2. Io però voglio capire da dove deve saltare fuori quel (1/2) mancante. Sono 4 giorni che ci impreco sopra senza risultati. E sì, lo so che i dischi hanno il momento di 1/2Mr^2 nel caso vogliate scriverlo, ma il mio punto è che 1/2 qui non mi appare applicando i procedimenti dove ottengo il volume infinitesimo e la massa infinitesima. Io non voglio sapere che il disco ha la metà del prodotto tra il quadrato del raggio e la massa perché io non ho nemmeno pensato di integrare a dischi. Voglio sapere dove sbaglio algebricamente perché sto problema mi sta facendo dire l'indicibile.
Ringrazio per l'eventuale aiuto.

[ingres]

Credo che ci sia un problema di fondo, ovvero che la relazione z=r*H/R va interpretata come limite di integrazione e non sostituita banalmente nella formula del volume, perchè è una relazione valida solo sulla superficie laterale del cono. In particolare scritta come r=R*z/H ci dice che per ogni z l'integrazione per la r va estesa da 0 a R*z/H.

Quindi se si vuole applicare la definizione ovvero fare l'integrale sul volume si useranno le coordinate cilindriche per le quali risulta

dV=r dr dθ dz

e l'integrazione per il momento d'inerzia sarà data dall'integrale triplo

[math]\int_0^{H}\int_0^{Rz/H} \int_0^{2\pi} \rho\ r^3 dz dr d\theta[/math]

Nell'ordine prima si integrerà in θ, poi in r e infine in z.