Nastro che si srotola
Qualcuno potrebbe aiutarmi con questo problema? Non riesco a capire come considerare il fatto che la massa cambia via via che il nastro si srotola. 
Un nastro flessibile di lunghezza $ l $ è avvolto strettamente. Se esso viene lasciato libero di srotolarsi mentre rotola lungo un piano inclinato che forma un angolo $ \theta $ con l'orizzontale, con l'estremo superiore inchiodato (fig 12-31), dimostrare che il nastro si srotola nel tempo $ T = \sqrt{\frac{3l}{g}} \cdot sin\theta \quad $
Un nastro flessibile di lunghezza $ l $ è avvolto strettamente. Se esso viene lasciato libero di srotolarsi mentre rotola lungo un piano inclinato che forma un angolo $ \theta $ con l'orizzontale, con l'estremo superiore inchiodato (fig 12-31), dimostrare che il nastro si srotola nel tempo $ T = \sqrt{\frac{3l}{g}} \cdot sin\theta \quad $
Risposte
Mi hanno fatto sorgere il dubbio che potrebbe essere $ T = \sqrt{\frac{3l}{g \cdot sin\theta}} $.
Per questo posto la scansione del testo.
Per questo posto la scansione del testo.
Secondo te, qualitativamente, a prescindere dalla soluzione, quale delle 2 ti sembra corretta?
In effetti non ci avevo riflettuto, ma non è possibile che $ sin\theta $ sia a numeratore perché se così fosse $ T $ crescerebbe al crescere dell'inclinazione del piano. E questo, chiaramente, non è vero.
Il mio problema e che non so come considerare il fatto che il raggio del nastro avvolto cambia durante lo srotolamento.
Il mio problema e che non so come considerare il fatto che il raggio del nastro avvolto cambia durante lo srotolamento.
Mi sembra un problema simile a quello del razzo per la perdita di massa... in ogni caso se non ti forniscono una velocità di srotolamento, ovvero quella di perdita di massa, non puoi abbozzare nemmeno una equazione oraria per avere il tempo nella distanza l del problema.
Apparentemente la variazione della massa non è un problema ...
Sul rotolo agiscono due forze: il peso e la reazione vincolare del piano; compensata quest'ultima, al netto rimane $mgsin(theta)$.
L'accelerazione del rotolo è, quindi $a=(mgsin(theta))/m=g*sin(theta)$ e la massa è sparita!
Se il mio ragionamento è corretto, l'accelerazione è costante perciò il moto del rotolo è uniformemente accelerato e conseguentemente, dato che lo spostamento, lungo il piano inclinato, del centro del rotolo è pari a $l$, avremo $l=1/2at^2\ =>\ t=sqrt((2l)/(gsin(theta)))$.
Dove sbaglio?
Cordialmente, Alex
Sul rotolo agiscono due forze: il peso e la reazione vincolare del piano; compensata quest'ultima, al netto rimane $mgsin(theta)$.
L'accelerazione del rotolo è, quindi $a=(mgsin(theta))/m=g*sin(theta)$ e la massa è sparita!
Se il mio ragionamento è corretto, l'accelerazione è costante perciò il moto del rotolo è uniformemente accelerato e conseguentemente, dato che lo spostamento, lungo il piano inclinato, del centro del rotolo è pari a $l$, avremo $l=1/2at^2\ =>\ t=sqrt((2l)/(gsin(theta)))$.
Dove sbaglio?
Cordialmente, Alex
Secondo me il nastro che si srotola è come un sistema a massa variabile che evolve secondo l'equazione $mgsintheta+v(dm)/(dt)=m(dv)/(dt)$
Essendo $v$ la velocità del nastro in un dato istante e m la massa di nastro rimanente alll stesso istante, supponendo che il nastro abbia densità lineare omogenea si arriva a una equazione differenziale abbastanza complicata che mi fa pensare che il mio ragionamento sia del tutto sbagliato.
Essendo $v$ la velocità del nastro in un dato istante e m la massa di nastro rimanente alll stesso istante, supponendo che il nastro abbia densità lineare omogenea si arriva a una equazione differenziale abbastanza complicata che mi fa pensare che il mio ragionamento sia del tutto sbagliato.
Ci stavo pensando ieri, in effetti. Mi sembra anche a me che qualcolsa non va.
In un riferimento con asse x parallelo al piano deve valere, detta x la coordinata del centro e assumendo che il nastro abbia spessore $d$, e densita omogenea unitaria, deve valere istante per istante:
$xd+piR^2=Ld$ (1)(la massa srotolata a terra + la massa ancora avvolta e' pari alla massa totale)
La condizione di puro rotolamento $x=Rvarphi$ (2)
L'equazione dei momenti risulta
$mgsinthetaR=(mR^2)/2ddotvarphi$, ovvero
$gsintheta=(R)/2ddotvarphi$
Ora, da (2), derivando, $dotvarphi=(dotxR-xdotR)/R^2$ e derviando ancora
$ddotvarphi=((ddotxR+dotxddotR-dotxdotR-xddotR)R^2-2(dotxR-xdotR)RdotR)/R^4$
Derivando la (1)
$dotxd+2piRdotR=0$
Ora, se sostituendo si semplifica non lo so, varrebbe la pena controllare, ma ho la vaga sensazione che non lo faccia......
In un riferimento con asse x parallelo al piano deve valere, detta x la coordinata del centro e assumendo che il nastro abbia spessore $d$, e densita omogenea unitaria, deve valere istante per istante:
$xd+piR^2=Ld$ (1)(la massa srotolata a terra + la massa ancora avvolta e' pari alla massa totale)
La condizione di puro rotolamento $x=Rvarphi$ (2)
L'equazione dei momenti risulta
$mgsinthetaR=(mR^2)/2ddotvarphi$, ovvero
$gsintheta=(R)/2ddotvarphi$
Ora, da (2), derivando, $dotvarphi=(dotxR-xdotR)/R^2$ e derviando ancora
$ddotvarphi=((ddotxR+dotxddotR-dotxdotR-xddotR)R^2-2(dotxR-xdotR)RdotR)/R^4$
Derivando la (1)
$dotxd+2piRdotR=0$
Ora, se sostituendo si semplifica non lo so, varrebbe la pena controllare, ma ho la vaga sensazione che non lo faccia......
Se poi usiamo Lagrange
$dotmdotx+mddotx=mgsintheta$, con $dotxd+dotm=0$, anche questa non mi sembra risolvibile per via analitica.
$dotmdotx+mddotx=mgsintheta$, con $dotxd+dotm=0$, anche questa non mi sembra risolvibile per via analitica.
Mi sembra che questo problema si stia rilevando un po' più complesso del previsto
Le equazioni differenziali scritte da professorkappa non sono alla mia portata
Io avevo pensato, ma non so bene come proseguire, ad una equazione di conservazione dell'energia del tipo
$ mgh = $ a primo membro, ma non sono molto sicuro su cosa mettere al secondo membro .
Ha un senso o sono fuori strada?
Le equazioni differenziali scritte da professorkappa non sono alla mia portata
Io avevo pensato, ma non so bene come proseguire, ad una equazione di conservazione dell'energia del tipo
$ mgh = $ a primo membro, ma non sono molto sicuro su cosa mettere al secondo membro
.Ha un senso o sono fuori strada?
Non so a che punto sei dei tuoi studi, ma guarda che le equazioni che ho scritto sono banalissime derivate.
Il punto e' che non puoi integrarle per via analitica.
La prima ti dice che quando il centro della sfera ha percorso x, la massa lasciata a terra e' xd (lunghezza x spessore d). Naturalmente abbiamo assunto che sia la densita' che la larghezza della fettuccia sono unitarie).
La massa rimasta e' $piR^2$. Quindi la massa totale Ld, che ovviamente si conserva, deve essere la somma dei due termini sopra.
La seconda, e' la condizione di puro rotolamento, ma qui R varia col tempo. Quindi quando derivi $varphi$ devi fare la derivata del quoziente di funzioni $f(t)/g(t)=[f'(t)g(t)-f(t)g'(t)]/g^2(t)$
La terza e' un'equazione di momento delle forze rispetto al punto di contatto.
Non credo che si possa risolvere: a prescindere dall'approccio, tutti i metodi ti riportano alla stessa equazione differenziale.
A meno che siamo noi a complicare le cose, non mi sembra un problema banale in termini di calcoli
Il punto e' che non puoi integrarle per via analitica.
La prima ti dice che quando il centro della sfera ha percorso x, la massa lasciata a terra e' xd (lunghezza x spessore d). Naturalmente abbiamo assunto che sia la densita' che la larghezza della fettuccia sono unitarie).
La massa rimasta e' $piR^2$. Quindi la massa totale Ld, che ovviamente si conserva, deve essere la somma dei due termini sopra.
La seconda, e' la condizione di puro rotolamento, ma qui R varia col tempo. Quindi quando derivi $varphi$ devi fare la derivata del quoziente di funzioni $f(t)/g(t)=[f'(t)g(t)-f(t)g'(t)]/g^2(t)$
La terza e' un'equazione di momento delle forze rispetto al punto di contatto.
Non credo che si possa risolvere: a prescindere dall'approccio, tutti i metodi ti riportano alla stessa equazione differenziale.
A meno che siamo noi a complicare le cose, non mi sembra un problema banale in termini di calcoli
Non ho letto tutti i contributi (purtroppo il tempo per dedicarmi al forum è molto poco rispetto a un ....tempo 
), tuttavia credo che qualche utile spunto lo possa dare anche questa bistrattata discussione iniziata da Falco5x.
), tuttavia credo che qualche utile spunto lo possa dare anche questa bistrattata discussione iniziata da Falco5x.
Troveresti la velocità finale dopo aver percorso la distanza l è vero ( impostando h=lsin(teta) ) ma per conoscere il tempo comunque dovresti usare una cosa tipo vf=at, ma la a sarebbe gsin(teta) e torniamo al punto di partenza. Secondo il risultato la a sarebbe invece g/3sin^2(teta)( formula inversa).
Energia meccanica del corpo all'inizio = 0
Energia meccanica del corpo quando ha srotolato di x e'
$1/2mdotx^2+1/2mr^2/2(dotx^2/r^2)-mgxsintheta$
Semplificando
$3/4dotx^2-gsintheta*x=0$
Da cui $dotx=dx/dt=sqrt((4gsintheta)/3)*x^(1/2)$
Separando le variabili e integrando
$ int_(0)^(L) x^[-1/2] dx=int_0^T sqrt((4gsintheta)/3)dt $ che risolto da
$2sqrtL=sqrt((4gsintheta)/3)*T$
da cui $T=sqrt(4L*3/(4gsintheta))=sqrt((3L)/(gsintheta))$
Per la serie avere la soluzione sotto il naso e non vederla....per un errore di semplificazione
Energia meccanica del corpo quando ha srotolato di x e'
$1/2mdotx^2+1/2mr^2/2(dotx^2/r^2)-mgxsintheta$
Semplificando
$3/4dotx^2-gsintheta*x=0$
Da cui $dotx=dx/dt=sqrt((4gsintheta)/3)*x^(1/2)$
Separando le variabili e integrando
$ int_(0)^(L) x^[-1/2] dx=int_0^T sqrt((4gsintheta)/3)dt $ che risolto da
$2sqrtL=sqrt((4gsintheta)/3)*T$
da cui $T=sqrt(4L*3/(4gsintheta))=sqrt((3L)/(gsintheta))$
Per la serie avere la soluzione sotto il naso e non vederla....per un errore di semplificazione
Grazie. Frequento il secondo liceo scientifico, ma studio fisica e matematica anche per i fatti miei. Derivate e integrali quindi li ho studiati (anche se solo le basi che mi servono per la fisica!), quindi la soluzione l'ho capita. GRAZIE. GRAZIE PER L'AIUTO. 
"professorkappa":
Per la serie avere la soluzione sotto il naso e non vederla....per un errore di semplificazione
Va bene però questa soluzione mi sembra sarebbe quella nel caso il nastro non perda massa srotolandosi, cioè è il tempo che impiega il nastro a percorrere una distanza $L$.
"professorkappa":
Energia meccanica del corpo all'inizio = 0
Perchè zero se è all'altezza $ hsin(theta) $ ? Potresti spiegarmi perchè poi c'è una somma di due velocità a quella energia meccanica finale? Grazie in anticipo
"Faussone":
[quote="professorkappa"]
Per la serie avere la soluzione sotto il naso e non vederla....per un errore di semplificazione
Va bene però questa soluzione mi sembra sarebbe quella nel caso il nastro non perda massa srotolandosi, cioè è il tempo che impiega il nastro a percorrere una distanza $L$.
[/quote]Anche a me puzza. Ma la massa istantaneamente si semplifica.
Se guardi i post precedenti cerco di fare una trattazione generale che tenga conto di massa e raggio in diminuzione, ma si arriva a un sistema di equazioni pauroso non semplificabile (a dire il vero non avevo voglia di fare i calcoli, puo'' darsi che sotto alcune ipotesi si semplifichi).
Lascia il dubbio anche a me, ti dico la verita'.
"franzcecco":
[quote="professorkappa"]Energia meccanica del corpo all'inizio = 0
Perchè zero se è all'altezza $ hsin(theta) $ ? Potresti spiegarmi perchè poi c'è una somma di due velocità a quella energia meccanica finale? Grazie in anticipo
[/quote]E' zero perche lo decido io. Lo zero potenziale lo metti dove ti pare.
Le due velocita' sono quella rotazionale e quella traslazionale.
@professorkappa
Non credo valga nel caso di nastro che si srotola. E' vero che nei termini di energia cinetica la massa è la stessa ma non nella energia potenziale quando hai srotolato di $x$, $m$ dipende da $x$ infatti (peraltro nel calcolo dell'energia potenziale andrebbe tenuto conto che parte del nastro è allineato sul piano).
Se il risultato che hai trovato torna con quello dell'esercizio, io tenderei a dire che il testo è inesatto.
Non credo valga nel caso di nastro che si srotola. E' vero che nei termini di energia cinetica la massa è la stessa ma non nella energia potenziale quando hai srotolato di $x$, $m$ dipende da $x$ infatti (peraltro nel calcolo dell'energia potenziale andrebbe tenuto conto che parte del nastro è allineato sul piano).
Se il risultato che hai trovato torna con quello dell'esercizio, io tenderei a dire che il testo è inesatto.
ciao a tutti. questo problema mi ricorda l'interessante e istruttivo quesito proposto dal buon Falco.
posting.php?mode=reply&f=19&t=152235
posting.php?mode=reply&f=19&t=152235
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