N'artro problemino sulla palla (non ho il risultato!)

[Giova411]

Una palla che cade da un'altezza $h$ ha la proprietà di rimbalzare esattamente ad un'altezza $rh$ dove $0

a) Assumendo che la palla rimbalzi indefinitamente, calcolare la distanza che percorre;
b) calcolare il tempo totale di moto della palla;
c) supponendo che ogni volta che la palla tocca terra con velocità $v$, essa rimbalzi con velocità $-kv$, con $0

[_nicola de rosa]

"Giova411":Una palla che cade da un'altezza $h$ ha la proprietà di rimbalzare esattamente ad un'altezza $rh$ dove $0

a) Assumendo che la palla rimbalzi indefinitamente, calcolare la distanza che percorre;
b) calcolare il tempo totale di moto della palla;
c) supponendo che ogni volta che la palla tocca terra con velocità $v$, essa rimbalzi con velocità $-kv$, con $0

è simile al precedente. perchè ti blocchi? e su cosa?

[Giova411]

ciao!
Il punto a forse lo riesco a fare. Il b e il c non credo.
Ho postato per avere dei risultati esatti perché ho trovato il testo e basta.

[_nicola de rosa]

"Giova411":ciao!
Il punto a forse lo riesco a fare. Il b e il c non credo.
Ho postato per avere dei risultati esatti perché ho trovato il testo e basta.

nel punto b devi supporre la velocità di rimbalzo della palla costante per cui il tempo totale è $t=s/v$ dove $s$ è lo spazio totale percorso calcolato al punto a e la velocità
poi al punto c la velocità è una serie geometrica la cui somma va calcolata

[Giova411]

Ok grazie,
doma ci provo e poi posto ciò che ho trovato!
Ma anche il punto b è una serie?

[_nicola de rosa]

"Giova411":Ok grazie,
doma ci provo e poi posto ciò che ho trovato!
Ma anche il punto b è una serie?

il punto b non è una serie, nel senso che non devi fare alcun conto però si basa sulla serie del punto a che calcoli per ricavare la distanza totale percorsa

[Giova411]

a)

$s= h + 2*sum_{n=1}^{oo} (r*h)^n = h + 2*1/(1-rh) $ $ = (h - rh^2+2)/(1-rh)$

[_nicola de rosa]

"Giova411":a)

$h + 2*sum_{n=1}^{oo} (r*h)^n = h + 2*1/(1-rh) $

l'altezza iniziale è $H$. poi
$sum_{n=1}^{+infty)(rh)^n=sum_{n=0}^{+infty)(rh)^n-1=1/(1-rh)-1=(rh)/(1-rh)$ per cui
$s=H+(2rh)/(1-rh)$

[Giova411]

"nicola de rosa":[quote="Giova411"]a)

$h + 2*sum_{n=1}^{oo} (r*h)^n = h + 2*1/(1-rh) $

l'altezza iniziale è $H$. poi
$sum_{n=1}^{+infty)(rh)^n=sum_{n=0}^{+infty)(rh)^n-1=1/(1-rh)-1=(rh)/(1-rh)$ per cui
$s=H+(2rh)/(1-rh)$[/quote]


$sum_{n=1}^{+infty)(rh)^n=sum_{n=0}^{+infty)(rh)^n-1$ Non mi è chiarissimo.
Hai tolto $1$ poiché la prima caduta non deve essere considerata perché poi aggiungeremo $H$?

[_nicola de rosa]

"Giova411":[quote="nicola de rosa"][quote="Giova411"]a)

$h + 2*sum_{n=1}^{oo} (r*h)^n = h + 2*1/(1-rh) $

l'altezza iniziale è $H$. poi
$sum_{n=1}^{+infty)(rh)^n=sum_{n=0}^{+infty)(rh)^n-1=1/(1-rh)-1=(rh)/(1-rh)$ per cui
$s=H+(2rh)/(1-rh)$[/quote]


$sum_{n=1}^{+infty)(rh)^n=sum_{n=0}^{+infty)(rh)^n-1$ Non mi è chiarissimo.
Hai tolto $1$ poiché la prima caduta non deve essere considerata perché poi aggiungeremo $H$?[/quote]
no perchè $sum_{n=0}^{+infty)(rh)^n=1/(1-rh)$ ma tu hai la serie che parte da $n=1$ , allora tu la fai partire da $n=0$ e togli il termine corrispomdemte ad $n=0$ che è $(rh)^0=1$. come hai fatto nell'esercizio precedente a dire che la distanza totale era di 7 metri? anche in tal caso avevi una serie che partiva da $n=1$ e ragione $3/4$

[Giova411]

"nicola de rosa":
no perchè $sum_{n=0}^{+infty)(rh)^n=1/(1-rh)$ ma tu hai la serie che parte da $n=1$ , allora tu la fai partire da $n=0$ e togli il termine corrispomdemte ad $n=0$ che è $(rh)^0=1$. come hai fatto nell'esercizio precedente a dire che la distanza totale era di 7 metri? anche in tal caso avevi una serie che partiva da $n=1$ e ragione $3/4$

Nell'altro esempio la formula finale partiva da $1$. Così facendo si toglieva il primo termine. Si poteva far partire da zero e togliere la ragione^0 (cioé era 1). CMq mi sembra di aver capito.
Ora provo b e c.

[_nicola de rosa]

"Giova411":[quote="nicola de rosa"]
no perchè $sum_{n=0}^{+infty)(rh)^n=1/(1-rh)$ ma tu hai la serie che parte da $n=1$ , allora tu la fai partire da $n=0$ e togli il termine corrispomdemte ad $n=0$ che è $(rh)^0=1$. come hai fatto nell'esercizio precedente a dire che la distanza totale era di 7 metri? anche in tal caso avevi una serie che partiva da $n=1$ e ragione $3/4$

Nell'altro esempio la formula finale partiva da $1$. Così facendo si toglieva il primo termine. Si poteva far partire da zero e togliere la ragione^0. CMq mi sembra di aver capito.
Ora provo b e c.[/quote]
è quello che ho fatto io

[Giova411]

Si ma per me non è semplice. Sono toste ste cosette!
Ma quindi nell'esercizio di ieri sarebbe stato + corretto scrivere:

$1+ 2*sum_(i=0)^(+infty) (3/4)^i - 1 = 2*sum_(i=0)^(+infty) (3/4)^i $ ?

[_nicola de rosa]

"Giova411":Si ma per me non è semplice. Sono toste ste cosette!
Ma quindi nell'esercizio di ieri sarebbe stato + corretto scrivere:

$1+ 2*sum_(i=0)^(+infty) (3/4)^i - 1 = 2*sum_(i=0)^(+infty) (3/4)^i $ ?

$1+ 2*(sum_(i=0)^(+infty) (3/4)^i - 1)=1+2*(1/(1-3/4)-1)=1+2*(4-1)=1+2*3=7$ ecco da dove esce $7$ metri

[Giova411]

Io ieri avevo fatto con la formula di Luca:

$L=1+2sum_(i=1)^(+infty) (3/4)^i$

$a_1 = 3/4, a_2 = 9/16 $ ....

$(3/4)/(1-x) = 9/16 => 1/(1-x) = 3/4$ quindi $(3/4) / (1-3/4)= 3$

$L = 1+2*3$

Ci ero arrivato così a $7$ metri, ma avevo la pappetta pronta...

[_nicola de rosa]

"Giova411":Io ieri avevo fatto con la formula di Luca:

$L=1+2sum_(i=1)^(+infty) (3/4)^i$

$a_1 = 3/4, a_2 = 9/16 $ ....

$(3/4)/(1-x) = 9/16 => 1/(1-x) = 3/4$ quindi (3/4) / (1-3/4)= 3$

$L = 1+2*3$


Ci ero arrivato così a $7$ metri, ma avevo la pappetta pronta...

ed è la stessissima cosa

[Giova411]

Ma l'ho capito in questo preciso momento. Ho capito come cambia quando parte da numeri diversi. (Grazie a te!)
Quindi è giusto pure trovare questa serie e tenere questa partenza da 1.
$sum_{n=1}^{+infty)(rh)^n$
Se si vuole far partire da 0 bisogna tenerne conto e togliere il valore della serie col valore 0.

[_nicola de rosa]

"Giova411":Ma l'ho capito in questo preciso momento. Ho capito come cambia quando parte da numeri diversi. (Grazie a te!)
Quindi è giusto pure trovare questa serie e tenere questa partenza da 1.
$sum_{n=1}^{+infty)(rh)^n$
Se si vuole far partire da 0 bisogna tenerne conto e togliere il valore della serie col valore 0.

certo

[Giova411]

Mitico! Ti devo pagare! Altro che CEPU!
Doma provo a fare b e c.

[Giova411]

s trovata in punto a)

b)

$t = s/v = (H+(2rh)/(1-rh))/ (v-kv) $


c)

$t = s/v + (sum_{v=1}^{oo} (s/(v(1-k))) - s/(1-k))$

Nel punto c ho scelto questo tipo di serie che sicuro converge...

[_nicola de rosa]

"Giova411":s trovata in punto a)

b)

$t = s/v = (H+(2rh)/(1-rh))/ (v-kv) $


c)

$t = s/v + (sum_{v=1}^{oo} (s/(v(1-k))) - s/(1-k))$

Nel punto c ho scelto questo tipo di serie che sicuro converge...

nel punto b la velocità devi assumerla costante dal momento che non hai alcun dato per cui
b)$t=(H+(2rh)/(1-rh))/v$

c) la palla si arresta quando la velocità è nulla. ora
$V=v+2*sum_{n=1}^{+infty}(-kv)^n=v+2*(sum_{n=0}^{+infty}(-kv)^n-1)=v+2*(1/(1+kv)-1)=v-(2kv)/(1+kv)$=
$(kv^2-2kv+v)/(1+kv)=(kv^2-v(2k-1))/(1+kv)$ con ovviamente $|kv|<1$.
Ora $V=0->(kv^2-v(2k-1))/(1+kv)=0->v=0,v=(2k-1)/k$. La soluzione $v=0$ banale la escludiamo per cui quella accettabile è $v=(2k-1)/k$ cui corrisponde $t=s/v=k/(2k-1)*(H+(2rh)/(1-rh))$