Nabla e coordinate non cartesiane
In genere ci si riferisce a divergenza e rotore con i simboli $nabla*vec{v}, nablatimesvec{v}$. Coerentemente con questa scrittura, in coordinate cartesiane possiamo esplicitare i due operatori facendo finta che $nabla$ sia un vero vettore ($del/(delx)vec{i}+del/(dely)vec{j}+del/(delz)vec{k}$).
Ora io vedo che le due scritture $nabla*vec{v}, nablatimesvec{v}$ si usano anche in riferimento ad altri sistemi di coordinate. Ma in questi casi funziona ancora il trucco mnemonico di trattare $nabla$ come un vettore?
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Io direi di no: [EDIT] Metto in spoiler i conti che seguono per non appesantire troppo il post.
Ora io vedo che le due scritture $nabla*vec{v}, nablatimesvec{v}$ si usano anche in riferimento ad altri sistemi di coordinate. Ma in questi casi funziona ancora il trucco mnemonico di trattare $nabla$ come un vettore?
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Io direi di no: [EDIT] Metto in spoiler i conti che seguono per non appesantire troppo il post.
Risposte
No, sbaglio qualcosa io. Su altre fonti ho trovato riferimenti al "prodotto scalare" tra $nabla$ e un campo vettoriale, il tutto espresso in coordinate non cartesiane.
Mi farebbe piacere se qualcuno mi spiegasse questo calcolo su un esempio concreto, per esempio le coordinate cilindriche che sono più semplici. Le equazioni di passaggio da coordinate cilindriche a cartesiane sono:
${(x=rhocostheta), (y=rhosintheta), (z=z):}$, i versori fondamentali sono ${(vec(u_rho)=costhetavec(i)+sinthetavec(j)), (vec(u_theta)=-sinthetavec(i)+costhetavec(j)), (vec(u_z)=vec(k)):}$; infine $nabla=del/(delrho)vec{u_rho}+1/rhodel/(deltheta)\vec{u_theta}+del/(delz)\vec{u_z}$.
Supponiamo di avere un campo di vettori $vec(v)=v_rho vec(u_rho) +v_theta vec(u_theta)+v_zvec(u_z)$. Qualcuno mi potrebbe spiegare come calcolare $nabla*vec(v)$ senza incappare nell'errore del post precedente (quello nel riquadro nascosto)? So che è una seccatura scrivere tutti i calcoli, mi basterebbe capire dove sbaglio.
Mi farebbe piacere se qualcuno mi spiegasse questo calcolo su un esempio concreto, per esempio le coordinate cilindriche che sono più semplici. Le equazioni di passaggio da coordinate cilindriche a cartesiane sono:
${(x=rhocostheta), (y=rhosintheta), (z=z):}$, i versori fondamentali sono ${(vec(u_rho)=costhetavec(i)+sinthetavec(j)), (vec(u_theta)=-sinthetavec(i)+costhetavec(j)), (vec(u_z)=vec(k)):}$; infine $nabla=del/(delrho)vec{u_rho}+1/rhodel/(deltheta)\vec{u_theta}+del/(delz)\vec{u_z}$.
Supponiamo di avere un campo di vettori $vec(v)=v_rho vec(u_rho) +v_theta vec(u_theta)+v_zvec(u_z)$. Qualcuno mi potrebbe spiegare come calcolare $nabla*vec(v)$ senza incappare nell'errore del post precedente (quello nel riquadro nascosto)? So che è una seccatura scrivere tutti i calcoli, mi basterebbe capire dove sbaglio.
Secondo me il fatto è che non stai derivando i versori. Per i sistemi cartesiani non ci sono problemi ma qui invece le cose cambiano. Ti faccio l'esempio nel piano. L'operatore di gradiente è dato da (ometto il simbolino di vettore tanto sappiamo che gli unici vettori sono i versori $u_r$ e $u_\theta$)
$\nabla = u_r \partial_r + u_\theta 1/r \partial_\theta$
così dovremmo calcolare
$\nabla * \vec v = (u_r \partial_r + u_\theta 1/r \partial_\theta) * (v_r u_r + v_\theta u_\theta ) = u_r * \partial_r (v_r u_r ) + u_r * \partial_r (v_\theta u_\theta ) + u_\theta * 1/r \partial_\theta (v_r u_r) + u_\theta * 1/r \partial_\theta (v_\theta u_\theta )$
i versori, per come sono definiti, non dipendono da $r$ quindi nei primi due termini possiamo fare uscire il versore dalla derivata e siccome sono a prodotto scalare con $u_r$ sopravvive solo $\partial_r v_r$, per l'ortogonalità. Per gli altri due termini invece calcoli prima
$\partial_\theta u_r = - u_\theta$
$\partial_\theta u_\theta = u_r$
Allora puoi valutare
$u_\theta * 1/r \partial_\theta (v_r u_r) = u_\theta * 1/r (\partial_\theta v_r) u_r + u_\theta * 1/r v_r (\partial_\theta u_r) = 1/r v_r$
e l'altro
$u_\theta * 1/r \partial_\theta (v_\theta u_\theta ) = u_\theta * 1/r (\partial_\theta v_\theta ) u_\theta + u_\theta * 1/r v_\theta (\partial_\theta u_\theta ) = 1/r \partial_\theta v_\theta$
mettendo tutto insieme
$\nabla*\vec v = \partial_r v_r + 1/r v_r + 1/r \partial_\theta v_\theta = 1/r \partial_r (r v_r) + 1/r \partial_\theta v_\theta$
Ti convince?
$\nabla = u_r \partial_r + u_\theta 1/r \partial_\theta$
così dovremmo calcolare
$\nabla * \vec v = (u_r \partial_r + u_\theta 1/r \partial_\theta) * (v_r u_r + v_\theta u_\theta ) = u_r * \partial_r (v_r u_r ) + u_r * \partial_r (v_\theta u_\theta ) + u_\theta * 1/r \partial_\theta (v_r u_r) + u_\theta * 1/r \partial_\theta (v_\theta u_\theta )$
i versori, per come sono definiti, non dipendono da $r$ quindi nei primi due termini possiamo fare uscire il versore dalla derivata e siccome sono a prodotto scalare con $u_r$ sopravvive solo $\partial_r v_r$, per l'ortogonalità. Per gli altri due termini invece calcoli prima
$\partial_\theta u_r = - u_\theta$
$\partial_\theta u_\theta = u_r$
Allora puoi valutare
$u_\theta * 1/r \partial_\theta (v_r u_r) = u_\theta * 1/r (\partial_\theta v_r) u_r + u_\theta * 1/r v_r (\partial_\theta u_r) = 1/r v_r$
e l'altro
$u_\theta * 1/r \partial_\theta (v_\theta u_\theta ) = u_\theta * 1/r (\partial_\theta v_\theta ) u_\theta + u_\theta * 1/r v_\theta (\partial_\theta u_\theta ) = 1/r \partial_\theta v_\theta$
mettendo tutto insieme
$\nabla*\vec v = \partial_r v_r + 1/r v_r + 1/r \partial_\theta v_\theta = 1/r \partial_r (r v_r) + 1/r \partial_\theta v_\theta$
Ti convince?
Ti convince?Come no. Ti ringrazio per esserti preso il disturbo di scrivere tutti quei conti! Immaginavo ci fosse sotto qualcosa del genere ma non riuscivo a interpretare correttamente quel simbolo di $*$.
Bè si....in effetti sarebbe stato meglio specificare che intendevo il prodotto scalare.....e forse anche mettere il segno di vettore.....vabbè....comunque il senso era quello. Ciao!
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