[MQ]Vettore di operatori

[dissonance]

Quando in MQ leggo una scrittura in grassetto come \(\mathbf{x}\) o \(\mathbf{K}\), per esempio nell'equazione (1.6.26) del Sakurai:

\[\tag{1.6.26}-i \mathbf{x}\mathbf{K}\cdot d\mathbf{x}'+i\mathbf{K}\cdot d\mathbf{x}'\mathbf{x}'=d\mathbf{x}', \]

oppure, qualcosa di più semplice

\[\mathbf{x} |\mathbf{x}'\rangle= \mathbf{x}'|\mathbf{x}'\rangle,\]

si intende che stiamo parlando di un "vettore di operatori", ovvero di una terna \(\mathbf{x}=(x,y,z)\) o \(\mathbf{K}=(K_x, K_y, K_z)\) di operatori che si trasforma bene per rotazioni spaziali? E' corretta questa maniera di interpretare la scrittura?

[elgiovo]

Si, è corretta, si tratta di operatori vettoriali. Ad esempio, guarda qui come viene esplicitato \(\displaystyle \mathbf{L} \).

[dissonance]

Grazie!

[dissonance]

Eh no però aspetta aspetta che mi sa di avere detto una cavolata.

si intende che stiamo parlando di un "vettore di operatori", ovvero di una terna x=(x,y,z) o K=(Kx,Ky,Kz) di operatori che si trasforma bene per rotazioni spaziali?

Non è la terna in sè a modificarsi per rotazioni. Per esempio, prendiamo un sistema di spin \(1/2\) (cioè, costituito da una sola particella di spin \(1/2\) il cui unico grado di libertà sia lo spin). Se lo spazio degli stati è rappresentato da spinori a due componenti, l'osservabile \(\mathbf{S}\) è rappresentata dalla terna di matrici di Pauli \(\mathbf{\sigma}/2\). Ora non è che questa terna "cambia" per rotazioni. Uno ruota lo spazio, e le matrici di Pauli sempre quelle sono. Invece, il valore di aspettazione di \(\mathbf{S}\), quello si, si trasforma come un vero vettore. E quindi, è un vero vettore.

Spero di non avere detto ulteriori scemenze!

[elgiovo]

Direi che è giusto. Il fatto è che \(\displaystyle \mathbf S \) è proprio il generatore delle rotazioni, come lo è \(\displaystyle \mathbf L \) o qualsivoglia momento angolare. Nel Sakurai (nel mio è sotto "Rotazioni nel formalismo a due componenti") lo spiega: le matrici di Pauli sono invarianti per rotazioni, piuttosto è \(\displaystyle \chi^\dagger \bf{\sigma } \chi\) a trasformarsi e a ruotare come un vettore, dove \(\displaystyle \chi \) è uno spinore. In effetti, il fatto che un sistema fisico subisca una rotazione lo verifichi proprio andando a vedere quanto valgono i valori di aspettazione di \(\displaystyle S_x \), \(\displaystyle S_y \) e \(\displaystyle S_z \).

[dissonance]

M'ero scordato di ringraziarti per la risposta. Ho capito e mi sono convinto.

Aggiungo però una domanda. Leggo adesso sul libro di fisica teorica un commento a questa relazione di commutazione:

\[[J^i, K^j]=i\varepsilon^{ijk}K^k\]

e ad altre simili, come

\[[J^i, P^j]=i \varepsilon^{ijk}P^k,\]

dove \(\mathbf{J}\) sono i generatori delle rotazioni: secondo l'autore queste relazioni ci informano che \(\mathbf{K}\) e \(\mathbf{P}\) "sono vettori per rotazioni", o "sono vettori spaziali".

Questo non riesco a decifrarlo. Qualcuno mi può dare una mano?

[yoshiharu]

"dissonance":
\[[J^i, K^j]=i\varepsilon^{ijk}K^k\]

...

\[[J^i, P^j]=i \varepsilon^{ijk}P^k,\]

dove \(\mathbf{J}\) sono i generatori delle rotazioni: secondo l'autore queste relazioni ci informano che \(\mathbf{K}\) e \(\mathbf{P}\) "sono vettori per rotazioni", o "sono vettori spaziali".

Questo non riesco a decifrarlo. Qualcuno mi può dare una mano?

Vuol dire che se vuoi fare una rotazione infinitesima sul vettore in questione, puoi fare il commutatore col momento angolare $J_i$: la relazione ti garantisce che cio' che ottieni e' lo stesso risultato che se tu avessi fatto la rotazione "sull'indice" (per cosi' dire), quindi applicando la matrice di rotazione infinitesima. Per cui sia $P^i$ che $K^i$ sono vettori nel vero senso del termine (i.e. vivono in una rappr. tridimensionale del gruppo delle rotazioni).
Devo dire che non sono molto d'accordo su alcune cose che sono state dette in questo thread, ma ci sono capitato solo ora, e non vorrei creare casino

[elgiovo]

Ma figurati, rispondi a tutti i suoi dubbi "calpestandomi". Non mi offendo, giuro, anzi se posso capire meglio sono più contento.

[yoshiharu]

"elgiovo":Ma figurati, rispondi a tutti i suoi dubbi "calpestandomi". Non mi offendo, giuro, anzi se posso capire meglio sono più contento.

Ma guarda la questione e' semplice: immagina una rotazione che mandi l'asse $z$ nell'asse $x$, $y$ in $z$ e $x$ in $y$.
Adesso, quale asse lasciano invariante le rotazioni generate con $\sigma_z$?
Quindi e' vero che le matrici di Pauli rimangono sempre le stesse, ma tu "trasformi l'indice" [jargon] con la rotazione: l'asse che prima coincideva fisicamente con l'asse $z$ adesso concide con l'asse $y$.

Per l'esattezza cosa dice il Sakurai a riguardo? Mi riferisco al pezzo che hai citato riguardo all'invarianza delle matrici di Pauli sotto rotazioni. Forse e' solo una questione di termini...

[elgiovo]

Quindi se ho capito ciò che stai dicendo, le matrici di Pauli restano le stesse ma varia l'operatore che rappresentano. Il Sakurai dice così:

Per rotazioni \(\displaystyle \chi \) (lo spinore) cambia nel modo seguente:

\(\displaystyle \chi \to \exp\left(\frac{-i \mathbf{\sigma} \cdot \mathbf{n} \phi}{2}\right)\chi \)

D'altra parte le \(\displaystyle \sigma_k \) non cambiano per rotazioni. Così, nonostante le apparenze \(\displaystyle \mathbf{\sigma} \) non va visto come un vettore; piuttosto è\(\displaystyle \chi^{\dagger} \sigma \chi \)che si trasforma come un vettore

\(\displaystyle \chi^{\dagger} \sigma \chi \to \sum_l R_{kl} \chi^{\dagger} \sigma_l \chi \)

Ogni \(\displaystyle \sigma \) senza pedici è da intendere grassetto, non so perché ma non lo renderizza. Si tratta del "vettore di matrici" \(\displaystyle (\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3)^T \).

[yoshiharu]

"elgiovo":Quindi se ho capito ciò che stai dicendo, le matrici di Pauli restano le stesse ma varia l'operatore che rappresentano.

In un certo senso si'.
Le matrici di Pauli sono una rappresentazione di un gruppo ben preciso, con una rotazione in un certo senso cambi rappresentazione (restando nella stessa classe di equivalenza per definizione).
Quindi le matrici restano le stesse, ma gli cambi la rappresentazione "a loro insaputa" (mica e' reato ).

Probabilmente e' il modo piu' pulito di vedere la questione, anche se non so a quanto possa servire.

Il Sakurai dice così:

[quote]Per rotazioni \(\displaystyle \chi \) (lo spinore) cambia nel modo seguente:

\(\displaystyle \chi \to \exp\left(\frac{-i \mathbf{\sigma} \cdot \mathbf{n} \phi}{2}\right)\chi \)

D'altra parte le \(\displaystyle \sigma_k \) non cambiano per rotazioni. Così, nonostante le apparenze \(\displaystyle \mathbf{\sigma} \) non va visto come un vettore; piuttosto è\(\displaystyle \chi^{\dagger} \sigma \chi \)che si trasforma come un vettore

\(\displaystyle \chi^{\dagger} \sigma \chi \to \sum_l R_{kl} \chi^{\dagger} \sigma_l \chi \)

[/quote]

Ok, nota pero' che la matrice $R_{kl}$ e' contratta con gli indici di [tex]\mathbf{\sigma}[/tex], in un certo senso e' un po' un trucco verbale: a me sembra che non spieghi un granche', se devo essere sincero.

[dissonance]

Sono entrato un po' in confusione, ragazzi. Questo è un primo punto non chiaro:

Vuol dire che se vuoi fare una rotazione infinitesima sul vettore in questione, puoi fare il commutatore col momento angolare Ji: la relazione ti garantisce che cio' che ottieni e' lo stesso risultato che se tu avessi fatto la rotazione "sull'indice" (per cosi' dire), quindi applicando la matrice di rotazione infinitesima. Per cui sia Pi che Ki sono vettori nel vero senso del termine (i.e. vivono in una rappr. tridimensionale del gruppo delle rotazioni).

Per me l'ultima frase significa questo: se si ruota lo spazio, mediante la matrice \(R^i_{\ j}\), \(P^i\) (e similmente \(K^i\)) si trasforma così:

\[P^i \to R^i_{\ j}P^j.\]

Questa poi è la stessa trasformazione che Sakurai applica (nascostamente) alla terna \((\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3)\) (@elgiovo: è vero, manca il boldface per le lettere greche, bisogna chiedere a stan se si può fare qualcosa). Non riesco a capire cosa c'entri il commutatore.

Io poi vedo che l'analogia è spinta anche molto oltre. Per favore, possiamo discutere un altro esempio, che è quello su cui mi sto concentrando? Si tratta di \(P^{\mu}\), il generatore delle traslazioni in una rappresentazione del gruppo di Poincaré. Questo oggetto è una quaterna di operatori. Tuttavia il libro che sto leggendo prende a trattarlo proprio come fosse un 4-vettore "standard", e la cosa mi lascia un po' scosso: ecco, per esempio, cosa significa la scrittura

\[P_\mu P^\mu=m^2?\]

Ho capito che si tratta di una relazione relativistica per la massa, ma io vedo a sinistra un guazzabuglio di operatori e a destra un numerino: com'è che questa relazione sta in piedi?

[yoshiharu]

"dissonance":Sono entrato un po' in confusione, ragazzi.

Ecco, lo sapevo che si faceva confusione...

Per me l'ultima frase significa questo: se si ruota lo spazio, mediante la matrice \(R^i_{\ j}\), \(P^i\) (e similmente \(K^i\)) si trasforma così:

\[P^i \to R^i_{\ j}P^j.\]


...
Non riesco a capire cosa c'entri il commutatore.

Il commutatore e' il cambio per trasformazione infinitesima. Il quadrimpulso $P^\mu$ e' una quaterna di operatori. Come tali applichi su di essi una trasformazione facendo un "panino", cioe' coniugando l'impulso con l'elemento del gruppo che costituisce la trasformazione che vuoi fare: (uso il cappello per le quantita' fisiche che sono operatori)

[tex]\hat P^\mu \mapsto U \hat P^\mu U^\dagger[/tex]

Scriviamo la trasformazione $U$ come esponenziale di una trasformazione infinitesima, allora la trasformazione di sopra si scrive al primo ordine (i $\hat T_a$ sono operatori hermitiani, $q_a$ sono i parametri della trasformazione, dei numeri)

[tex]\hat P^\mu \mapsto e^{i \hat T_a q_a } \hat P^\mu e^{-i \hat T_a q_a } = \hat P^\mu + i q_a [\hat T_a,\hat P^\mu] + \mathcal{O}(q_a)[/tex]

Quindi quando hai una coniugazione con una trasf. unitaria finita, la sua versione infinitesima e' un commutatore con opportuno operatore hermitiano. A sx. nelle relazioni che avevi postato c'e' il commutatore. Adesso a destra c'e' un $\epsilon$ che corrisponde ad una rotazione infinitesima, che opera "sull'indice" di $P^\mu$. Questo perche' e' la versione infinitesima di una trasformazione ortogonale. Guarda, fai prima a farti il conto su un foglio di carta che a pensarci in astratto, IMHO.

Il resto lo scrivo dopo, cosi' affrontiamo un problema per volta (inoltre adesso devo andare )

[yoshiharu]

"dissonance":
Io poi vedo che l'analogia è spinta anche molto oltre. Per favore, possiamo discutere un altro esempio, che è quello su cui mi sto concentrando? Si tratta di \(P^{\mu}\), il generatore delle traslazioni in una rappresentazione del gruppo di Poincaré. Questo oggetto è una quaterna di operatori. Tuttavia il libro che sto leggendo prende a trattarlo proprio come fosse un 4-vettore "standard", e la cosa mi lascia un po' scosso: ecco, per esempio, cosa significa la scrittura

\[P_\mu P^\mu=m?\]

Ho capito che si tratta di una relazione relativistica per la massa, ma io vedo a sinistra un guazzabuglio di operatori e a destra un numerino: com'è che questa relazione sta in piedi?

Supponi di avere una particella libera di massa $m$. Classicamente hai che la norma al quadrato del suo quadrimpulso e' l'invariante $m^2$.
Lo stato di questa particella sara' rappresentato quantisticamente da un vettore in un apposito spazio di Hilbert.
Se applichi $\hat P^\mu \hat P_\mu$ allo stato in questione, scopri che questo e' un autostato di tale operatore relativo all'autovalore $m^2$. In effetti le rappresentazioni irriducibili del gruppo di Poincare sono etichettate con la massa e il valore dello spin (momento angolare intrinseco: per la verita' si tratta dell'autovalore di $\hat s \cdot \hat s$).
[Nota: la condizione di sopra e' la famosa "condizione di mass-shell"].

Se rappresenti l'impulso con le derivate ottieni peraltro l'equazione d'onda per una particella massiva

[tex]\square \phi + m^2 \phi = 0[/tex]

Prendiamo un esempio piu' casalingo: supponiamo di studiare la rappresentazione di momento angolare $l$ del momento angolare: la condizione che seleziona quella rappresentazione come sottospazio dello spazio di Hilbert per il sistema e' assolutamente analoga a quella di prima:

[tex]\sum_i \hat L_i^2 = l(l+1)[/tex]

Spero che questo renda l'altro caso piu' chiaro.

[dissonance]

Hai risposto esattamente ai miei dubbi. Non mi sento ancora perfettamente a mio agio, ci devo pensare un po' su, ma intanto ti ringrazio!

[dissonance]

Ho letto un po' sul Sakurai della Heisenberg picture e adesso il discorso sul commutatore è decisamente più chiaro. Tra l'altro la cosa getta luce anche sulla domanda "che cos'è il commutatore" dell'altro topic.

Però c'è un fatto tecnico che proprio non capisco e il remark di Sakurai citato da elgiovo mi confonde. Il punto è questo: spesso si ha a che fare con "vettori di matrici", specialmente matrici di Pauli o matrici \(\gamma\) di Dirac - ebbene, come si trasformano sotto Lorentz questi oggetti? Non mi è chiaro. Infatti secondo logica dovrebbero trasformarsi come operatori, ovvero mediante panino: ad esempio, se \(x^\mu \to \Lambda^\mu{ }_\nu x^{\mu}\), le \(4\)-uple \(\sigma^\mu, \gamma^\mu\) dovrebbero trasformarsi come

\[\tag{1}\sigma^\mu \to \Lambda^T \sigma^\mu \Lambda, \qquad \gamma^\mu \to \Lambda^T \gamma^\mu \Lambda.\]

Ma questo deve essere un errore, perché così non mi tornano i conti (che però potrei sbagliare in qualche altro punto). Per fare qualche esempio, secondo il mio libro, dato uno spinore di Weyl right-handed \(\psi_R\) il seguente è un 4-vettore:

\[\psi_R^\dagger \sigma^\mu\psi_R; \]

fatto che riesco a dimostrare supponendo che \(\sigma^\mu \to \sigma^\mu\) per Lorentz, mentre mi risulta falso applicando la \((1)\). Lo stesso dicasi per questo 4-vettore ottenuto a partire da uno spinore di Dirac:

\[\bar{\Psi}\gamma^\mu\Psi.\]

Mi potreste dare una mano? Grazie!

[yoshiharu]

"dissonance":
...
spesso si ha a che fare con "vettori di matrici", specialmente matrici di Pauli o matrici \(\gamma\) di Dirac - ebbene, come si trasformano sotto Lorentz questi oggetti? Non mi è chiaro. Infatti secondo logica dovrebbero trasformarsi come operatori, ovvero mediante panino: ad esempio, se \(x^\mu \to \Lambda^\mu{ }_\nu x^{\mu}\), le \(4\)-uple \(\sigma^\mu, \gamma^\mu\) dovrebbero trasformarsi come

\[\tag{1}\sigma^\mu \to \Lambda^T \sigma^\mu \Lambda, \qquad \gamma^\mu \to \Lambda^T \gamma^\mu \Lambda.\]

Ma questo deve essere un errore, perché così non mi tornano i conti (che però potrei sbagliare in qualche altro punto).

Occhio che devi usare la rappresentazione giusta.
E' vero che le matrici $\gamma$ in 4d hanno dim 4x4, ma gli indici sono spinoriali, diversi dagli indici di Lorentz.
Questo matematicamente corrisponde al fatto che sono si' operatori, ma sullo spazio di una rappresentazione ben precisa del gruppo di Poincare'.
Per cui hai la relazione
[tex]\gamma^\mu \mapsto S(\Lambda)\gamma^\mu S(\Lambda)^{-1} = (\Lambda^{-1})^\mu\,_\nu \, \gamma^\nu[/tex]

Lo stesso discorso vale per i bilineari che menzionavi prima, a ognuno la sua rappresentazione.
Se non mantieni questa relazione, peraltro, vedi che nemmeno l'equazione di Dirac sarebbe invariante.
E noi non lo vogliamo

[dissonance]

Ci sto pensando eh. Ho messo la questione in stand-by per via dell'esame, ma appena trovo un po' di tempo vedo di convincermi anche di quanto suggerisci tu.