[MQ]Rappresentazioni: coordinate, momenti

[dissonance]

Supponiamo di avere un sistema quantistico [tex]\mathfrak{E}_{\rm{qm}}[/tex] il cui spazio degli stati sia [tex]L^2(\mathbb{R}^n)[/tex] e in cui siano definiti gli operatori

[*:7yqjml6n]posizione: [tex]\hat{q}_j\psi=q_j\psi(q_1\ldots q_n)[/tex]; [/*:m:7yqjml6n]
[*:7yqjml6n]momento: [tex]\hat{p}_j \psi= -i \hbar \frac{\partial}{\partial q_j}\psi[/tex].[/*:m:7yqjml6n][/list:u:7yqjml6n]
Ogni funzione d'onda la pensiamo come [tex]\psi=\psi(q_1 \ldots q_n)[/tex] (sto escludendo la dipendenza dal tempo). Il libro che sto leggendo chiama questa una coordinate representation del sistema.

Se introduciamo la seguente variante della trasformata di Fourier

[tex]$\tilde\psi(p_1 \ldots p_n)=(2\pi \hbar)^{(-n/2)}\int_{\mathbb{R}^n}\psi(\mathbf{q})e^{-\frac{i}{\hbar}\mathbf{p}\cdot\mathbf{q}}\, dq_1\ldots dq_n,[/tex]

osserviamo che questa trasformazione scambia l'operatore momento con l'operatore posizione e dà luogo ad una rappresentazione alternativa del sistema in termini di [tex]\tilde\psi=\tilde\psi(p_1 \ldots p_n)[/tex], che il libro chiama una momentum representation.

Ora quello che non capisco. In un contesto di meccanica classica, conoscere in un istante fissato i momenti di ogni particella del sistema significa conoscerne le velocità e questo non è sufficiente ad identificare lo stato del sistema. Mentre da questo che ho appena letto capisco che è possibile scrivere le funzioni d'onda come funzioni delle [tex]p_1 \ldots p_n[/tex], il che mi pare cozzare con il caso classico in modo non normale. Sicuramente c'è qualche errore di interpretazione da parte mia. Mi potete dare una mano?

[alle.fabbri]

Ma il punto è proprio che le coordinate (o i momenti) sono dei parametri. Lo stato del sistema è descritto dalla funzione d'onda. Il fatto che tu possa scegliere o l'una o l'altra rappresentazione dipende dal fatto che gli operatori associati non commutano e quindi non puoi specificarli contemporaneamente, che è il principio di indeterminazione se vuoi vederla in modo più fisico.

[dissonance]

Ho capito. Mi sono sbagliato perché sto ragionando in termini classici: conosco [tex]q_1 \ldots q_n[/tex] allora conosco lo stato del sistema: no. Invece per conoscere lo stato del sistema devo conoscere [tex]\psi[/tex], che poi la voglio vedere come funzione di [tex]q_1 \ldots q_n[/tex] o come funzione di [tex]p_1 \ldots p_n[/tex] fa lo stesso.

Penso che vada meglio. Grazie!