[m.q] valor medio dell'energia in funzione del tempo
Buona domenica
Ho molti dubbi riguardo al trovare il valor medio dell'energia (ma anche dell'operatore posizione e momento...) in funzione del tempo (cosa molto richiesta nei compiti)
per la buca di potenziale, dato che è tutto in sin o cos applico l'operatore $E -> i h d/dt$ a $\Psi(x,t)$
ma per un oscillatore armonico? io so che $E_n = h \omega (n+1/2)$
quindi:
$_(\Psi(x,t)) = (\Psi(x,t),H \Psi(x,t))$
dove H la vado ad applicare ad ogni stato e cambiando di volta in volta n=0,1,2 ... ?
per la posizione e momento per la buca di potenziale applico rispettivamente $x$ e $-i h d/dx$, mentre per l'oscillatore gli operatori costruzione e distruzione ... va bene?
Ho molti dubbi riguardo al trovare il valor medio dell'energia (ma anche dell'operatore posizione e momento...) in funzione del tempo (cosa molto richiesta nei compiti)
per la buca di potenziale, dato che è tutto in sin o cos applico l'operatore $E -> i h d/dt$ a $\Psi(x,t)$
ma per un oscillatore armonico? io so che $E_n = h \omega (n+1/2)$
quindi:
$
dove H la vado ad applicare ad ogni stato e cambiando di volta in volta n=0,1,2 ... ?
per la posizione e momento per la buca di potenziale applico rispettivamente $x$ e $-i h d/dx$, mentre per l'oscillatore gli operatori costruzione e distruzione ... va bene?
Risposte
essere generali è difficile, se hai qualche esempio posso provare ad essere più specifico. anche perchè a seconda del caso potrebbe essere necessario usare anche altre tecniche (per esempio le equazioni di Heisenberg, vedi per esempio questo).
provo a risponderti per quello che hai chiesto:
non ho proprio ben capito cosa tu voglia fare. supponi di avere lo stato $\Psi = sqrt(2/3) |0> - sqrt(1/3) |1>$ quanto pensi valga il valore medio dell'energia?
non capisco nemmeno questo, scusa.
in genere però non si applicano così gli operatori e basta. si cerca di usare una delle due rappresentazioni (Heisenberg o Schroedinger).
per la prima parte vale l'ultimo commento, per l'oscillatore armonico, si in qualche modo usi loro, ma in che modo?
provo a risponderti per quello che hai chiesto:
"ludwigZero":
ma per un oscillatore armonico? io so che En=hω(n+12)
quindi:
Ψ(x,t)=(Ψ(x,t),HΨ(x,t))
dove H la vado ad applicare ad ogni stato e cambiando di volta in volta n=0,1,2 ... ?
non ho proprio ben capito cosa tu voglia fare. supponi di avere lo stato $\Psi = sqrt(2/3) |0> - sqrt(1/3) |1>$ quanto pensi valga il valore medio dell'energia?
"ludwigZero":
per la buca di potenziale, dato che è tutto in sin o cos applico l'operatore
non capisco nemmeno questo, scusa.
in genere però non si applicano così gli operatori e basta. si cerca di usare una delle due rappresentazioni (Heisenberg o Schroedinger).
"ludwigZero":
per la posizione e momento per la buca di potenziale applico rispettivamente x e −ihddx, mentre per l'oscillatore gli operatori costruzione e distruzione ... va bene?
per la prima parte vale l'ultimo commento, per l'oscillatore armonico, si in qualche modo usi loro, ma in che modo?
se dovessi trovare l'energia media per quello stato:
$ = 2/3 E_0 + 1/3 E_1$
se è un oscillatore armonico le $E_n = h \omega (n+1/2)$
per quanto riguarda l'evoluzione temporale, mi blocco ..
prima applico l'operatore $U(t,t_0)$ a $\Psi$ quindi:
$\Psi = sqrt(2/3) e^-(i E_0 t)/h \Psi_0 - sqrt(1/3) e^-(i E_1 t)/h \Psi_1$
quindi ...
$_t = (\Psi, E \Psi) = (\Psi, E (sqrt(2/3) e^-(i E_0 t)/h \Psi_0 - sqrt(1/3) e^-(i E_1 t)/h \Psi_1))$
quando vado a fare il prodotto scalare ...
$_t = (\Psi, E \Psi) = (\Psi, sqrt(2/3) e^-(i E_0 t)/h E_0 \Psi_0 - sqrt(1/3) e^-(i E_1 t)/h E_1 \Psi_1)$
$_t = (\Psi, E \Psi) = 2/3 E_0 + 1/3 E_1$
Quindi .. indipendente dal tempo.
questo discorso vale sia per una buca che un oscillatore?
Confermi?
quando allora il valor medio in funzione del tempo dell'energia è dipendente dal tempo? solo quando c'è la fase?
$
se è un oscillatore armonico le $E_n = h \omega (n+1/2)$
per quanto riguarda l'evoluzione temporale, mi blocco ..
prima applico l'operatore $U(t,t_0)$ a $\Psi$ quindi:
$\Psi = sqrt(2/3) e^-(i E_0 t)/h \Psi_0 - sqrt(1/3) e^-(i E_1 t)/h \Psi_1$
quindi ...
$
quando vado a fare il prodotto scalare ...
$
$
Quindi .. indipendente dal tempo.
questo discorso vale sia per una buca che un oscillatore?
Confermi?
quando allora il valor medio in funzione del tempo dell'energia è dipendente dal tempo? solo quando c'è la fase?
"ludwigZero":
Confermi?
tutto corretto. in questo caso volendo l'energia ad un istante di tempo successivo la si poteva calcolare anche con la matrice densità.
"ludwigZero":
quando allora il valor medio in funzione del tempo dell'energia è dipendente dal tempo? solo quando c'è la fase?
non vorrei dire una fesseria, ma a mio avviso ciò avviene quando l'hamiltoniana dipende esplicitamente dal tempo. se infatti questo non avviene l'energia è invariante per traslazioni temporali e dunque i suoi valori medi non dipendono dal tempo.
ad esempio ho fatto un esercizio con la buca di potenziale, il suo stato era combinazioni di due autostati ed uno aveva uno sfasamento del tipo $ e^(i \gamma)$, c'era una dipendenza temporale ... quindi pensavo valesse in generale.
''hamiltoniana dipende esplicitamente dal tempo'' del tipo $H=H(t)$? un esempio fisico quale sarebbe?
''hamiltoniana dipende esplicitamente dal tempo'' del tipo $H=H(t)$? un esempio fisico quale sarebbe?
"ludwigZero":
ad esempio ho fatto un esercizio con la buca di potenziale, il suo stato era combinazioni di due autostati ed uno aveva uno sfasamento del tipo eiγ, c'era una dipendenza temporale ... quindi pensavo valesse in generale.
potrebbe anche essere! non ricordo mi sia mai capitato a me in qualche esercizio, quindi sono proprio io che non ne so abbastanza a riguardo.
"ludwigZero":
''hamiltoniana dipende esplicitamente dal tempo'' del tipo H=H(t)? un esempio fisico quale sarebbe?
esatto. ci ho pensato anche in virtù del fatto che vale l'equazione di Schroedinger $i \hbar (\partial \Psi)/(\partial t)(x,t)=H(t)\Psi(x,t)$.
Un esempio concreto non ce l'ho, diciamo per esempio un'hamiltoniana del tipo: $H=\frac{p^2}{2m} + V(x,t)$
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