[MQ] Questione ladder operator
Ciao a tutti, avrei una domanda semplice ma che non mi è del tutto chiaro come rispondermi.
In particolare è sui ladder operators della MQ. Il ragionamento è dovuto allo studio di un oscillatore armonico quantistico e sto muovendo i primi passi nella MQ quindi scusatemi se dirò castronerie notevoli.
Indico con h l'h tagliato che non riesco a capire come diamine scrivere
Con vari passaggi mi si è mostrato che: $Ha^+psi=(E+homega)(a^+psi)$ e da ciò dedotto che $a^+psi$ essendo ancora autofunzione dell'operatore Hamiltoniana vuol dire che $a^+$ agisce su psi aumentandone l'energia del fattore $h omega$ (basti appunto vedere la formula scritta sopra in cui c'è evidentemente l'autovalore $E$ più $h omega$)
Si mostra poi che le energie sono $E_n$ con n interi e...
procedendo nei discorsi dice che assumendo $psi_n$ l'operatore costruzione farà si che: $a^+psi_n=c_npsi_(n+1)$ con $c_n$ un coefficiente di proporzionalità.
Ma non capisco bene/per nulla da cosa si deduca tale legame di proporzionalità sulle autofunzioni, infatti in teoria io ho solo mostato che $H(a^+psi)=(E+homega)(a^+psi)$ e quindi $a^+$ lavora sull'autovalore dell'energia corrispondende ad $a^+psi$ ma non ho dedotto nessun risultato su come lavori $a^+$ sull'autofunzione psi n, solo sapendo come lavora infatti potrei trovare un eventuale legame di proporzionalità tra autofunzioni psi, no?
Non riesco proprio a capire, ho trovato un ragionamento simile sul griffiths (e ho adattato la notazione del professore a questo testo per spiegarvi il dubbio in questo thread, così leggendo quelle pagine si capisce subito) ma anche lì non mi è per nulla chiaro:
pag 45[nota]e in un suo intorno, per il ragionamento completo[/nota] 3 edizione
e ivi introduce proprio $c_n$
Qualcuno saprebbe gentilmente aiutarmi
EDIT: typo che mi era sfuggito
In particolare è sui ladder operators della MQ. Il ragionamento è dovuto allo studio di un oscillatore armonico quantistico e sto muovendo i primi passi nella MQ quindi scusatemi se dirò castronerie notevoli.
Indico con h l'h tagliato che non riesco a capire come diamine scrivere
Con vari passaggi mi si è mostrato che: $Ha^+psi=(E+homega)(a^+psi)$ e da ciò dedotto che $a^+psi$ essendo ancora autofunzione dell'operatore Hamiltoniana vuol dire che $a^+$ agisce su psi aumentandone l'energia del fattore $h omega$ (basti appunto vedere la formula scritta sopra in cui c'è evidentemente l'autovalore $E$ più $h omega$)
Si mostra poi che le energie sono $E_n$ con n interi e...
procedendo nei discorsi dice che assumendo $psi_n$ l'operatore costruzione farà si che: $a^+psi_n=c_npsi_(n+1)$ con $c_n$ un coefficiente di proporzionalità.
Ma non capisco bene/per nulla da cosa si deduca tale legame di proporzionalità sulle autofunzioni, infatti in teoria io ho solo mostato che $H(a^+psi)=(E+homega)(a^+psi)$ e quindi $a^+$ lavora sull'autovalore dell'energia corrispondende ad $a^+psi$ ma non ho dedotto nessun risultato su come lavori $a^+$ sull'autofunzione psi n, solo sapendo come lavora infatti potrei trovare un eventuale legame di proporzionalità tra autofunzioni psi, no?
Non riesco proprio a capire, ho trovato un ragionamento simile sul griffiths (e ho adattato la notazione del professore a questo testo per spiegarvi il dubbio in questo thread, così leggendo quelle pagine si capisce subito) ma anche lì non mi è per nulla chiaro:
pag 45[nota]e in un suo intorno, per il ragionamento completo[/nota] 3 edizione
You can even get the normalization algebraically, but it takes some fancy footwork, so watch
closely. We know that ˆa±ψn is proportional to ψn±1
e ivi introduce proprio $c_n$
Qualcuno saprebbe gentilmente aiutarmi
EDIT: typo che mi era sfuggito
Risposte
[tex]\begin{gather*}H(a^\dagger\psi_n)=(E_n+\hbar\omega)(a^\dagger\psi_n)=E_{n+1}(a^\dagger\psi_{n})\\
H\psi_{n+1}=E_{n+1}\psi_{n+1}\end{gather*}[/tex]
H\psi_{n+1}=E_{n+1}\psi_{n+1}\end{gather*}[/tex]
Poiché non c'è degenerazione per gli stati legati in dimensione 1[nota]Vedi qui.[/nota], l'autospazio [tex]V_{n+1}[/tex] ha dimensione 1, quindi i due autovettori sono proporzionali
[tex]a^\dagger\psi_n=c_{n+1}\psi_{n+1}[/tex]
per qualche costante [tex]c_{n+1}[/tex].
[ot]La costante di Planck ridotta si scrive [tex]\hbar[/tex]
\hbar[/ot]
Grazie per la risposta. Da quel che scrivi ho capito e in effetti non avevo pensato al fatto fosse non degenere e quindi sfruttare la dimensione 1 dello spazio, cioè lo sapevo ma non ho utilizzato l'idea 
C'è un punto però che non capisco, ovvero che calcolando $H(a^†ψ_n)$ a me risulta $(E_n+ℏω)(a^†ψ_n)$ che quindi non è $E_(n+1)$ (come nel terzo termine della tua prima formula scritta), tra l'altro anche il libro mi sembra confermare tale calcolo senza il "mezzi".
mi sono perso
C'è un punto però che non capisco, ovvero che calcolando $H(a^†ψ_n)$ a me risulta $(E_n+ℏω)(a^†ψ_n)$ che quindi non è $E_(n+1)$ (come nel terzo termine della tua prima formula scritta), tra l'altro anche il libro mi sembra confermare tale calcolo senza il "mezzi".
mi sono perso
"giangianni":
C'è un punto però che non capisco, ovvero che calcolando H(a†ψn) a me risulta (En+ℏω)(a†ψn) che quindi non è [tex]E_{n+1}[/tex] (come nel terzo termine della tua prima formula scritta), tra l'altro anche il libro mi sembra confermare tale calcolo senza il "mezzi".
Scusa, typo, il "mezzi" non c'è. Dovrebbe essere
[tex]E_n=\hbar\omega\big(n+\frac12\big)[/tex]
da cui
[tex]E_{n+1}=\hbar\omega\big(n+1+\frac12\big)=E_n+\hbar\omega,[/tex]
corretto?
Yep torna , Pensavo solo di aver sbagliato altro io XD.
In ogni caso il ragionamento fondamentale era quello della proporzionalità che è chiarissimo.
grazie mille
, Pensavo solo di aver sbagliato altro io XD.In ogni caso il ragionamento fondamentale era quello della proporzionalità che è chiarissimo.
grazie mille
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