MQ potenziale a $\delta$ di Dirac
Salve, sto cercando di risolvere il problema di Schroedinger con un potenziale deltiforme : \(\displaystyle V(x)=\frac{\hbar^2\Omega}{m}\delta(x) \)
Per $x!=0$ l'equazione è \(\displaystyle \frac{d^2\phi}{dx^2}+k^2\phi=0 \) dove \(\displaystyle k^2=\frac{2mE}{\hbar^2} \)
la soluzione generale è $\phi(x)={(Ae^(ikx)+Be^(-ikx),if x>0),(\barAe^(-ikx)+\barBe^(ikx),if x<0):}$
So che ho soluzioni solo per $E>0$ e dal teorema di stuttura spettrale so che lo spettro è contunuo e 2-degenere.
Il mio problema è che non riesco a trovare un'espressione nelle autofunzioni dell'energia che mi mostri che a ogni valore dell'energia corrispondono 2 funzioni d'onda.
Il mio professore risolve il problema imponendo che le soluzioni abbiano parità definita, e quindi a ogni valore di $k$, quindi di $E$, corrispondano 2 autofunzioni, una pari e l'altra dispari.
Mi chiedevo se ci fosse un'altro modo di procedere, e trovare la parità invece che imporla.
Imponendo la continuità di $\phi$ in zero e la condizione $\phi_x(\epsilon)-\phi_x(-\epsilon)=2\Omega\phi(0) \qquad per \qquad \epsilon ->0^+$
trovo $\barA = A(1-\Omega/(ik))-\Omega/(ik)B \qquad\qquad\qquad \barB = B(1+\Omega/(ik))+\Omega/(ik)A$
Ma a questo punto non riesco a procedere.
Anche imponendo la parità/disparità a questo punto (cosa che come ho detto vorrei ricavare dai calcoli e non imporre) non mi torna il risultato , cosa che mi sembra davvero molto strana, ma non capisco dove sbaglio.
Grazie a tutti
Per $x!=0$ l'equazione è \(\displaystyle \frac{d^2\phi}{dx^2}+k^2\phi=0 \) dove \(\displaystyle k^2=\frac{2mE}{\hbar^2} \)
la soluzione generale è $\phi(x)={(Ae^(ikx)+Be^(-ikx),if x>0),(\barAe^(-ikx)+\barBe^(ikx),if x<0):}$
So che ho soluzioni solo per $E>0$ e dal teorema di stuttura spettrale so che lo spettro è contunuo e 2-degenere.
Il mio problema è che non riesco a trovare un'espressione nelle autofunzioni dell'energia che mi mostri che a ogni valore dell'energia corrispondono 2 funzioni d'onda.
Il mio professore risolve il problema imponendo che le soluzioni abbiano parità definita, e quindi a ogni valore di $k$, quindi di $E$, corrispondano 2 autofunzioni, una pari e l'altra dispari.
Mi chiedevo se ci fosse un'altro modo di procedere, e trovare la parità invece che imporla.
Imponendo la continuità di $\phi$ in zero e la condizione $\phi_x(\epsilon)-\phi_x(-\epsilon)=2\Omega\phi(0) \qquad per \qquad \epsilon ->0^+$
trovo $\barA = A(1-\Omega/(ik))-\Omega/(ik)B \qquad\qquad\qquad \barB = B(1+\Omega/(ik))+\Omega/(ik)A$
Ma a questo punto non riesco a procedere.
Anche imponendo la parità/disparità a questo punto (cosa che come ho detto vorrei ricavare dai calcoli e non imporre) non mi torna il risultato , cosa che mi sembra davvero molto strana, ma non capisco dove sbaglio.
Grazie a tutti
Risposte
Mi chiedevo se ci fosse un'altro modo di procedere, e trovare la parità invece che imporla.
Forse non ho capito bene la tua domanda, ma magari questo ti può aiutare:
da quello che scrivi, credo che tu sappia che ogni qual volta il potenziale è una funzione pari ( in problemi 1-d), allora è ovvio che
$ [H,P]=0 $
dove P è l' operatore parità.
E' ora chiaro che esistono autofunzioni comuni a questi due operatori e se
$ psi(x) $ è soluzione , lo sarà anche $ psi(-x) $
In effetti poi mi viene in mente anche altro. Per spiegarmi uno spettro 2-degenere in questo caso penso al fatto che posso lanciare ,aspettandomi gli stessi risultati, il fascio di particelle sia da sinistra che da destra della barriera delta.
Grazie della risposta.
Si so che la parità del potenziale inplica che le autofunzioni hanno parità definita, quello che mi chiedevo è:
Se a partire dalla soluzione generale impongo tutte le condizioni che si devono imporre arrivo a trovare delle autofunzioni dell' energia pari/dispari? E arrivo a trovare uno spettro doppio degenere che "vedo" dalle equazione? Poi l altro dubbio che mi è sorto è che imponendo le condizioni in 0 trovo $\barA,\barB$ in funzione di $A,B$ e in seguito ponendo la parità,non arrivo allo stesso risultato che ottengo imponendo prima la parità e poi le condizioni.
Spero che si capisca qual'è la mia richiesta in mezzo a queste chiacchiere
Si so che la parità del potenziale inplica che le autofunzioni hanno parità definita, quello che mi chiedevo è:
Se a partire dalla soluzione generale impongo tutte le condizioni che si devono imporre arrivo a trovare delle autofunzioni dell' energia pari/dispari? E arrivo a trovare uno spettro doppio degenere che "vedo" dalle equazione? Poi l altro dubbio che mi è sorto è che imponendo le condizioni in 0 trovo $\barA,\barB$ in funzione di $A,B$ e in seguito ponendo la parità,non arrivo allo stesso risultato che ottengo imponendo prima la parità e poi le condizioni.
Spero che si capisca qual'è la mia richiesta in mezzo a queste chiacchiere
Quello che vedo ovunque è che viene considerato un problema di scattering per $E>0$ , in realtà io vorrei trovare le autofunzioni dell'energia,non i coefficienti di trasmissione-riflessione, e dovrebbero essere 2-degeneri e pari o dispari. Ma non riesco a fare questo , a meno che non imponga a mano la condizione $\phi(-x)=\pm\phi(x)$
Procedendo invece a ricavare i coefficienti $\barA,\barB$ in funzione di $A,B$ non riesco a venirne a capo, nemmeno imponendo $\phi(-x)=\pm\phi(x)$
In pratica se faccio le cose con questo ordine:
-dalla soluzione generale scritta sopra $\phi(x)$ impongo $\phi(-x)=\pm\phi(x)$ , trovo (con le 3 equazioni e 4 incognite derivanti dalla parità definita e dalle condizioni su $\phi(0),\phi_x(0)$) $B,\barA,\barB$ in funzione di $A$
trovo le autofunzioni 2 degeneri, dove a ogni valore dell'energia corrispondono 2 autofunzioni: quella pari e quella dispari.
Se invece faccio :
-dalla soluzione generale trovo $\barA,\barB$ in funzione di $A,B$ , impongo $\phi(-x)=\pm\phi(x)$ (cosa che tra l'altro, come detto, vorrei evitare di imporre e trovare dalla soluzione delle equazioni) , non arrivo a nessuna conlusione.
Volevo quindi chiedere quale ragionamento (o calcolo) errato sto facendo
Procedendo invece a ricavare i coefficienti $\barA,\barB$ in funzione di $A,B$ non riesco a venirne a capo, nemmeno imponendo $\phi(-x)=\pm\phi(x)$
In pratica se faccio le cose con questo ordine:
-dalla soluzione generale scritta sopra $\phi(x)$ impongo $\phi(-x)=\pm\phi(x)$ , trovo (con le 3 equazioni e 4 incognite derivanti dalla parità definita e dalle condizioni su $\phi(0),\phi_x(0)$) $B,\barA,\barB$ in funzione di $A$
trovo le autofunzioni 2 degeneri, dove a ogni valore dell'energia corrispondono 2 autofunzioni: quella pari e quella dispari.
Se invece faccio :
-dalla soluzione generale trovo $\barA,\barB$ in funzione di $A,B$ , impongo $\phi(-x)=\pm\phi(x)$ (cosa che tra l'altro, come detto, vorrei evitare di imporre e trovare dalla soluzione delle equazioni) , non arrivo a nessuna conlusione.
Volevo quindi chiedere quale ragionamento (o calcolo) errato sto facendo
Voglio dirti che sto pensando al problema come te in questi giorni perchè mi ha interessato. Non ho la "soluzione" , ne libri con me, tra l'altro qui la connessione qui mi permette poco. Magari però ci si può arrivare insieme.
Io penso che per risolvere questa situazione dobbiamo mettere più fisica nel problema. Stiamo parlando di scattering alla fine, quindi, tu che te lo puoi permettere, vatti a leggere qualcosa sulla parità degli stati di scattering e fammi sapere, se puoi .
Ora se penso a questo sistema
$ \phi(x)={(Ae^(ikx)+Be^(-ikx),if x>0),(\Ce^(-ikx)+De^(ikx),if x<0):} $
so che questi sono i comportamenti asintotici delle funzioni d'onda, imponendo le condizioni in 0 trovo 2 equazioni in 4 incognite. Non va bene, così non risolvo niente. Ma cosa sono A,B,C,D?
Se penso al significato di questi coefficienti, posso prima di tutto risolvere il sistema una volta per tutte nel caso di onda proveniente da destra(sinistra),imponendo C=0(A=0) e a questo punto è chiaro che A(C) sono paramentri regolabili. Bene ho 2 equazioni in due incognite!
Ora il sistema è questo
$ \phi(x)={(Ae^(ikx)+Be^(-ikx),if x>0),(\De^(ikx),if x<0):} $
con A noto.
L'equazione di Schrödinger è reale, ma allora posso prendere $ bar(phi(x)) $
e ottenere un' altra soluzione
$ \bar(phi(x)) ={(bar(A) e^(-ikx)+bar(B) e^(ikx),if x>0),(\bar(D) e^(-ikx),if x<0):} $
Mi rendo conto di non aver parlato affatto di parità.
Da quel che ho detto fin'ora però, mi viene naturale definire due differenti funzioni d'onda di scattering:
una che si muove da destra a sinistra e l'altra da sinistra a destra.
Queste sono due soluzioni complesse indipendenti della nostra equazione di Schrödinger .
Considero allora onde $I$(incoming) e onde $O$ (outgoing) rispetto alla barriera chiaramente ,
sono autofunzioni dell'operatore parità è abbastanza evidente, prova a fare il disegno. Possono essere quindi etichettate con $+-$ per i due diversi tipi di parità, come del resto il vettore d'onda $k$ e conseguentemente le energie.
Io sono abbastanza soddisfatto. Se proprio voglio vedere come sono fatte queste autofunzioni a parità definita, basta che prendo le autofunzioni che ho definito prima, quelle che ho etichettato in base al verso del "movimento" principale(i.e. onde che si muovono da destra a sinistra,o viceversa) e con combinazione lineari di queste posso arrivare velocemente al risultato.
Che ne pensi ?
Io penso che per risolvere questa situazione dobbiamo mettere più fisica nel problema. Stiamo parlando di scattering alla fine, quindi, tu che te lo puoi permettere, vatti a leggere qualcosa sulla parità degli stati di scattering e fammi sapere, se puoi .
Ora se penso a questo sistema
$ \phi(x)={(Ae^(ikx)+Be^(-ikx),if x>0),(\Ce^(-ikx)+De^(ikx),if x<0):} $
so che questi sono i comportamenti asintotici delle funzioni d'onda, imponendo le condizioni in 0 trovo 2 equazioni in 4 incognite. Non va bene, così non risolvo niente. Ma cosa sono A,B,C,D?
Se penso al significato di questi coefficienti, posso prima di tutto risolvere il sistema una volta per tutte nel caso di onda proveniente da destra(sinistra),imponendo C=0(A=0) e a questo punto è chiaro che A(C) sono paramentri regolabili. Bene ho 2 equazioni in due incognite!
Ora il sistema è questo
$ \phi(x)={(Ae^(ikx)+Be^(-ikx),if x>0),(\De^(ikx),if x<0):} $
con A noto.
L'equazione di Schrödinger è reale, ma allora posso prendere $ bar(phi(x)) $
e ottenere un' altra soluzione
$ \bar(phi(x)) ={(bar(A) e^(-ikx)+bar(B) e^(ikx),if x>0),(\bar(D) e^(-ikx),if x<0):} $
Mi rendo conto di non aver parlato affatto di parità.
Da quel che ho detto fin'ora però, mi viene naturale definire due differenti funzioni d'onda di scattering:
una che si muove da destra a sinistra e l'altra da sinistra a destra.
Queste sono due soluzioni complesse indipendenti della nostra equazione di Schrödinger .
Considero allora onde $I$(incoming) e onde $O$ (outgoing) rispetto alla barriera chiaramente ,
sono autofunzioni dell'operatore parità è abbastanza evidente, prova a fare il disegno. Possono essere quindi etichettate con $+-$ per i due diversi tipi di parità, come del resto il vettore d'onda $k$ e conseguentemente le energie.
Io sono abbastanza soddisfatto. Se proprio voglio vedere come sono fatte queste autofunzioni a parità definita, basta che prendo le autofunzioni che ho definito prima, quelle che ho etichettato in base al verso del "movimento" principale(i.e. onde che si muovono da destra a sinistra,o viceversa) e con combinazione lineari di queste posso arrivare velocemente al risultato.
Che ne pensi ?
Allora,
ho fatto i calcoli,per il primo caso, e non mi viene lo stesso risultato del prof. Mi viene
$ \phi(x)={(A[e^(ikx)-\frac{\Omega}{ik+\Omega}e^(-ikx)],if x>0),(A\frac{ik}{ik+\Omega}e^(ikx),if x<0):}$
Ma forse non ho capito cosa intendevi, quindi magari se puoi spiegarmi meglio come procedere, cerco di seguirti!
Mi rendo conto guardando un po i programmi e gli esercizi in altre università che il mio prof sta seguendo una via un po' insolita..
Per le alte energie solitamente si considera un problema di scattering dove c'è un fascio di particelle incidenti da $+\infty$ oppure $-\infty$ . Il mio professore invece per questi problemi ha ricavato le autofunzioni senza parlarci di questo processo, e lo ha potuto fare perchè ha considerato problemi con potenziale pari, e di conseguenza si aggiunge una equazione che "semplifica" il problema, imponendo $\phi(-x)=\pm\phi(x)$.
Un'altro dubbio che mi viene sullo scattering è questo:
mi è stato spiegato che nei processi di diffusione (mi metto nel caso in cui le particelle provengono da $-\infty$ ) si considerano le soluzioni delle equazioni di Scroedinger della forma
$exp(ikx) + r_k exp(−ikx)$ per $x->-\infty$
e
$t_k exp(ikx)$ per $x->-\infty$
che sono però relazioni asintotiche, ma allora anche tu quando annulli il coefficiente $C$ in realtà stai considerando implicitamente una relazione asintotica?
ho fatto i calcoli,per il primo caso, e non mi viene lo stesso risultato del prof. Mi viene
$ \phi(x)={(A[e^(ikx)-\frac{\Omega}{ik+\Omega}e^(-ikx)],if x>0),(A\frac{ik}{ik+\Omega}e^(ikx),if x<0):}$
Ma forse non ho capito cosa intendevi, quindi magari se puoi spiegarmi meglio come procedere, cerco di seguirti!
Mi rendo conto guardando un po i programmi e gli esercizi in altre università che il mio prof sta seguendo una via un po' insolita..
Per le alte energie solitamente si considera un problema di scattering dove c'è un fascio di particelle incidenti da $+\infty$ oppure $-\infty$ . Il mio professore invece per questi problemi ha ricavato le autofunzioni senza parlarci di questo processo, e lo ha potuto fare perchè ha considerato problemi con potenziale pari, e di conseguenza si aggiunge una equazione che "semplifica" il problema, imponendo $\phi(-x)=\pm\phi(x)$.
Un'altro dubbio che mi viene sullo scattering è questo:
mi è stato spiegato che nei processi di diffusione (mi metto nel caso in cui le particelle provengono da $-\infty$ ) si considerano le soluzioni delle equazioni di Scroedinger della forma
$exp(ikx) + r_k exp(−ikx)$ per $x->-\infty$
e
$t_k exp(ikx)$ per $x->-\infty$
che sono però relazioni asintotiche, ma allora anche tu quando annulli il coefficiente $C$ in realtà stai considerando implicitamente una relazione asintotica?
ma allora anche tu quando annulli il coefficiente C in realtà stai considerando implicitamente una relazione asintotica?
Io pongo C=0, in relazione al fatto che C è legato all'ampiezza di un onda viaggiante da sinistra a destra,
perché decido di trattare il caso di onda destro-viaggiante
( da destra a sinistra) non c' è nessun onda che viaggia da sinistra a destra e quindi C è zero.Allora,ho fatto i calcoli, e non mi viene lo stesso risultato...
Potresti scrivermi la soluzione del tuo prof?
Proseguendo il mio ragionamento, ero arrivato a dire di essere ad un passo dalle autofunzioni simultanee di H e P. Ho detto che devo prendere combinazioni lineari degli stati nella base (D,S) , quella base in cui suddivido le onde in base a fatto che siano destro-viaggianti o sinistro-viaggianti. Se voglio evidenziare la parità di queste autofunzioni, mi basterà prenderne le giuste combinazioni lineari in modo da diagonalizzare anche P. Queste combinazioni si vedono molto bene dal disegnino del problema. Per i nostri scopi è conveniente classificare queste onde , piuttosto che nella base (D,S) di prima, in quella (I,O), ovvero incoming e outgoing , cioè onde che vanno verso la barriera e onde che se ne allontanano, rispettivamente.Queste sono ora autofunzioni sia di H che di P .
Ora vedo di capirci qualcosa in più su queste autofunzioni, non voglio proprio considerare il potenziale, il senso fisico che cerco è indipendente da questa scelta.
Allora, se non c'è potenziale di scattering l'onda di tipo I arriva nell'origine e diventa onda O senza subire modificazioni, per capirci
onda tipo I (incoming) con parità definita positiva sarà
$ I_+=e^(-ik|x|) $
onda di tipo O (outgoing) con parità definita positiva sarà
$ O_+=e^(ik|x|) $
e quindi finalmente
$ psi_+(x,k)=I_+(x,k)+O_+(x,k)=e^(ikx)+ e^(-ikx)$ , la parià positiva è evidente,
stesso discorso per l'autofunzione dispari.
Se ora c'è un potenziale , le onde di tipo I non se ne accorgono , invece quelle di tipo O si.
Infatti è abbastanza intuitivo pensare al fatto che se c' è un potenziale , ad esempio non simmetrico , allora un onda di tipo I a parità definita potrebbe subire scattering tale da generare un onda di tipo O anche con parità definita si, ma non necessariamente la stessa della I che l'ha generata.
Nel nostro caso V è simmetrico, quindi costruendo la matrice S ci accorgeremo della conservazione della parità in questo processo, i.e. per onde $I_+$ o $I_-$ si generano onde $O_+$ e $O_-$ rispettivamente.
Ometto di proposito i calcoli relativi alle variazioni delle fasi e ampiezze delle onde di tipo O, che servirebbero proprio se tu stessi cercando i coefficienti di riflessione e trasmissione ad esempio, ma si è capito che non siamo interessati a questo. Per la parità qui la cosa si fa veramente bella.
E' incredibilmente interessante secondo me, il fatto che nel fare questi conti,
ci renderemo conto che la matrice S è diagonale e quindi non mischia stati di diversa parità,
nel caso di potenziale simmetrico.
Riesco a seguirti fino ad un certo punto, perchè alcune cose che dici non le ho ancora affrontate (non abbiamo ancora visto il formalismo bra,ket, e non so cosa intendi quando dici di diagonalizzare $H,P\quad$ , nè quando parli di matrice S ) anche se credo di aver capito a grandi linee cosa vuoi dire, e ti ringrazio per l'aiuto!
La soluzione che ho io è:
$\phi^+(x) = A^+[e^(ik|x|)+\frac{ik-\Omega}{ik+\Omega}e^(-ik|x|)]$
$\phi^(-)(x)=A^(-)sign(x)[e^(ik|x|)+e^(-ik|x|)]$
dove con apice + e - indico parità positiva e negativa.
) anche se credo di aver capito a grandi linee cosa vuoi dire, e ti ringrazio per l'aiuto!La soluzione che ho io è:
$\phi^+(x) = A^+[e^(ik|x|)+\frac{ik-\Omega}{ik+\Omega}e^(-ik|x|)]$
$\phi^(-)(x)=A^(-)sign(x)[e^(ik|x|)+e^(-ik|x|)]$
dove con apice + e - indico parità positiva e negativa.
Se guardi
$ \phi^+(x) = A^+[e^(ik|x|)+\frac{ik-\Omega}{ik+\Omega}e^(-ik|x|)] $
e la mia
$ psi_+(x,k)=e^(ikx)+ e^(-ikx) $
Sono molto simili. Per il ragionamento che ti facevo prima A è regolabile, quindi sia A=1, diventano ancora più simili.
Manca "solo" il potenziale e questo, dato che il nostro è simmetrico, cambia veramente poco la forma delle funzioni(mi sembra di capire).
Per qualla dispari invece la tua è
$ \phi^(-)(x)=A^(-)sign(x)[e^(ik|x|)+e^(-ik|x|)] $
e la mia
$ phi(x)_(-)=e^(-ikx)-e^(ikx) $
e pure queste sono molto simili.
La differenza tra le due è proprio che io non considero il potenziale , ma questo produce solo cambiamenti dei coefficienti e fasi, ma non la forma dato che è simmetrico.
$ \phi^+(x) = A^+[e^(ik|x|)+\frac{ik-\Omega}{ik+\Omega}e^(-ik|x|)] $
e la mia
$ psi_+(x,k)=e^(ikx)+ e^(-ikx) $
Sono molto simili. Per il ragionamento che ti facevo prima A è regolabile, quindi sia A=1, diventano ancora più simili.
Manca "solo" il potenziale e questo, dato che il nostro è simmetrico, cambia veramente poco la forma delle funzioni(mi sembra di capire).
Per qualla dispari invece la tua è
$ \phi^(-)(x)=A^(-)sign(x)[e^(ik|x|)+e^(-ik|x|)] $
e la mia
$ phi(x)_(-)=e^(-ikx)-e^(ikx) $
e pure queste sono molto simili.
La differenza tra le due è proprio che io non considero il potenziale , ma questo produce solo cambiamenti dei coefficienti e fasi, ma non la forma dato che è simmetrico.
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