[MQ] Oscillatore armonico
"Una particella di massa $m$ è soggetta al potenziale unidimensionale
$V(x) = -V_0 1/(1 + (x^2)/(a^2))$
Dire per quali valori dei parametri $m$, $a$, $V_0$ si può usare per i livelli più bassi l'approssimazione dell'oscillatore armonico. Si trovino in questo caso gli autovalori dell'energia."
Si può sviluppare in serie il potenziale attorno al minimo ($x=0$) assumendo $x/a < < 1$:
$V(x) = -V_0 (1 - (x^2)/(a^2) + o(x^4))$. Poichè il potenziale è definito a meno di una costante, trascurando i termini di ordine superiore ottengo:
$V(x) = V_0 (x^2)/(a^2)$. Innanzitutto $V_0 >0$, altrimenti il punto $x=0$ sarebbe una posizione di equilibrio instabile anzichè stabile.
I livelli più bassi si hanno per $x$ vicino allo zero; ciò vuol dire che $a$ dovrebbe essere messo in relazione con la larghezza della buca.
Le autofunzioni dell'oscillatore armonico sono proporzionali a $e^(-(x^2)/(2(x_0)^2))$, con $x_0 = sqrt(bar(h)/(m omega))$; $x_0$ rappresenta la
deviazione standard della gaussiana. Siccome la particella deve essere localizzata al centro della buca, le autofunzioni devono essere "piccate"
attorno $x=0$, ovvero $x_0$ dev'essere piccolo. Ciò implica che $m omega > > bar(h) -> m > > bar(h)/(omega)$
Inoltre, sempre attorno $x=0$, il potenziale trovato mediante lo sviluppo in serie deve coincidere con quello armonico, ovvero $V(x) = 1/2 m omega^2 x^2$:
$V_0 (x^2)/(a^2) = 1/2 m omega^2 x^2 -> a^2 = (2 V_0)/(m omega^2) $
Se queste condizioni sono corrette, dall'ultima relazione trovata si potrebbe ricavare $omega$ in funzione degli altri parametri e scrivere gli autovalori
dell'energia: $E_n = (n + 1/2) bar(h) sqrt((2 V_0)/m) a$
Secondo vuoi può andare come svolgimento?
$V(x) = -V_0 1/(1 + (x^2)/(a^2))$
Dire per quali valori dei parametri $m$, $a$, $V_0$ si può usare per i livelli più bassi l'approssimazione dell'oscillatore armonico. Si trovino in questo caso gli autovalori dell'energia."
Si può sviluppare in serie il potenziale attorno al minimo ($x=0$) assumendo $x/a < < 1$:
$V(x) = -V_0 (1 - (x^2)/(a^2) + o(x^4))$. Poichè il potenziale è definito a meno di una costante, trascurando i termini di ordine superiore ottengo:
$V(x) = V_0 (x^2)/(a^2)$. Innanzitutto $V_0 >0$, altrimenti il punto $x=0$ sarebbe una posizione di equilibrio instabile anzichè stabile.
I livelli più bassi si hanno per $x$ vicino allo zero; ciò vuol dire che $a$ dovrebbe essere messo in relazione con la larghezza della buca.
Le autofunzioni dell'oscillatore armonico sono proporzionali a $e^(-(x^2)/(2(x_0)^2))$, con $x_0 = sqrt(bar(h)/(m omega))$; $x_0$ rappresenta la
deviazione standard della gaussiana. Siccome la particella deve essere localizzata al centro della buca, le autofunzioni devono essere "piccate"
attorno $x=0$, ovvero $x_0$ dev'essere piccolo. Ciò implica che $m omega > > bar(h) -> m > > bar(h)/(omega)$
Inoltre, sempre attorno $x=0$, il potenziale trovato mediante lo sviluppo in serie deve coincidere con quello armonico, ovvero $V(x) = 1/2 m omega^2 x^2$:
$V_0 (x^2)/(a^2) = 1/2 m omega^2 x^2 -> a^2 = (2 V_0)/(m omega^2) $
Se queste condizioni sono corrette, dall'ultima relazione trovata si potrebbe ricavare $omega$ in funzione degli altri parametri e scrivere gli autovalori
dell'energia: $E_n = (n + 1/2) bar(h) sqrt((2 V_0)/m) a$
Secondo vuoi può andare come svolgimento?
Risposte
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Cia0, premesso che non sò nulla di MQ; perché nell'approssimare [tex]$V(x)$[/tex] con uno sviluppo di Taylor attorno allo [tex]$0$[/tex] escludi il [tex]$-1$[/tex], cioè perché non approssimi [tex]$V(x)=V_0\bigg(\frac{x^2}{a^2}-1\bigg)$[/tex]?
perchè il potenziale è definito a meno di una costante ,è come se facesse una traslazione non cambia nulla
Quindi è indifferente che con tale approssimazione si ottiene [tex]$V(0)=0$[/tex] anziché [tex]$V(0)=-V_0<0$[/tex]. OK, ne prendo atto!
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