[MQ] Evoluzione Temp Unitaria
Ciao Ragazzi, volevo capire meglio la seguente questione: sappiamo che uno stato puro (stato descritto da una funzione d'onda e di cui si ha la massiama conoscenza possibile) ha un'evoluzione temporale unitaria, cioè un evoluzione temporale mediata da operatori unitari. Tale evoluzione è reversibile. Per quanto riguarda invece stati misti (stati di cui si ha solo una conoscenza parziale e che sono descritti da una matrice densità) volevo capire con più precisione quale fosse la loro evoluzione temporale. Potrei confondermi ma da quanto ho capito non evolvono unitariamente e inoltre sono caratterizzati da una non reversibilità.
Se c'è qualcuno che ha maggiori conoscenze al riguardo, mi piacerebbe avere una risposta di conferma su quello che ho scritto e in caso di errori, sono graditissime tutte le precisazioni del caso.
Se c'è qualcuno che ha maggiori conoscenze al riguardo, mi piacerebbe avere una risposta di conferma su quello che ho scritto e in caso di errori, sono graditissime tutte le precisazioni del caso.
Risposte
Questione interessante...
Sulla non unitarietà non sono del tutto convinto ma sulla non reversibilità lo sono abbastanza, dal momento che l'entropia deve aumentare. Io analizzerei l'evoluzione temporale dell'operatore densità
\(\displaystyle \rho=\sum_i w_i |\alpha^{(i)} \rangle \langle \alpha^{(i)}| \)
Nella rappresentazione di Schrodinger (ovvero quella in cui i ket di stato cambiano nel tempo) puoi dimostrare che
\(\displaystyle \rho(t)=U(t,t_0) \rho(t_0) U^{\dagger}(t,t_0) \)
dove \(\displaystyle U \) e \(\displaystyle U^{\dagger} \) sono ovviamente l'operatore di evoluzione temporale e il suo aggiunto.
Sulla non unitarietà non sono del tutto convinto ma sulla non reversibilità lo sono abbastanza, dal momento che l'entropia deve aumentare. Io analizzerei l'evoluzione temporale dell'operatore densità
\(\displaystyle \rho=\sum_i w_i |\alpha^{(i)} \rangle \langle \alpha^{(i)}| \)
Nella rappresentazione di Schrodinger (ovvero quella in cui i ket di stato cambiano nel tempo) puoi dimostrare che
\(\displaystyle \rho(t)=U(t,t_0) \rho(t_0) U^{\dagger}(t,t_0) \)
dove \(\displaystyle U \) e \(\displaystyle U^{\dagger} \) sono ovviamente l'operatore di evoluzione temporale e il suo aggiunto.
Sì in effetti sono d'accordo con te Elgiovo. Basta applicare l'operatore evoluzione alle autofunzioni dell'energia per vedere che l'operatore densità si evolve unitariamente, mediante l'operatore evoluzione temporale generato dall'Hamiltoniano. Questo avviene perchè gli stati misti sono composti da miscele, appunto, di stati puri, che evolvono ordinariamente secondo l'equazione di Schroedinger.
Ho consultato il Sakurai, in cui c'è un paragrafo dedicato a stati puri e miscele. Fa notare che, derivando l'operatore densità rispetto al tempo, si ottiene:
[tex]i\hbar \frac{d \rho }{dt}= \sum_i w_{i}[ i \hbar \frac{d |\psi_{i}\rangle}{dt}{\langle \psi_{i}|} +{|\psi_{i}\rangle} \frac{d\langle \psi_{i} |}{dt} ]= -[\rho, H][/tex]
Che differisce per un segno meno dall'equazione di Heisenberg per le variabili dinamiche. Infatti, l'operatore densità non è una variabile dinamica.
Ho consultato il Sakurai, in cui c'è un paragrafo dedicato a stati puri e miscele. Fa notare che, derivando l'operatore densità rispetto al tempo, si ottiene:
[tex]i\hbar \frac{d \rho }{dt}= \sum_i w_{i}[ i \hbar \frac{d |\psi_{i}\rangle}{dt}{\langle \psi_{i}|} +{|\psi_{i}\rangle} \frac{d\langle \psi_{i} |}{dt} ]= -[\rho, H][/tex]
Che differisce per un segno meno dall'equazione di Heisenberg per le variabili dinamiche. Infatti, l'operatore densità non è una variabile dinamica.
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