[MQ] Esercizio sulle perturbazioni e sulle simmetrie

[lucagalbu]

Ciao!
Non riesco a risolvere questo problema:
Una particella di massa m si muove in un potenziale [tex]V_0=\frac{1}{2}m\omega^2(x^2+y^2+z^2)[/tex].
Si applica una perturbazione [tex]V_p=kxyz+\frac{k^2}{\hbar\omega}x^2y^2z^2[/tex]
1)Calcolare l'energia dello stato fondamentale al secondo ordine in k
2)Senza usare la teoria delle perturbazioni, calcolare il valore di aspettazione delle tre componenti del vettore posizione r nello stato fondamentale dell'hamiltoniana totale. Suggerimento: usare le proprietà di simmetria.

Per il primo punto ho fatto così:
L'energia dello stato fondamentale imperturbato è: [tex]E=(\frac{3}{2}+n_x+n_y+n_z)\hbar\omega[/tex] dove nx ny e nz sono interi non nulli e positivi.
La teoria delle perturbazioni al primo ordine dà: [tex]\Delta E^{(1)}=<000|V_p|000>=\frac{k^2}{\hbar\omega}<000|x^2y^2z^2|000>=\frac{\hbar^2k^2}{8m^3\omega^4}[/tex]
Quindi ho già un termine in [tex]k^2[/tex]. L'altro termine in [tex]k^2[/tex] viene dalla teoria delle perturbazioni al secondo aìordine applicata però solo al pezzo [tex]kxyz[/tex] di [tex]V_p[/tex] (l'altro pezzo mi dà ordini superiori in k):
[tex]\Delta E^{(2)}=\frac{\hbar^5}{2m^6\omega^7}k^2 + O(k^2)}[/tex]

Per il punto 2 invece ho dei problemi.
Definisco questa parità:
[tex]\Pi_{xy}: x\rightarrow-x\ \ \ \ y\rightarrow-y[/tex]
L'hamiltoniana commuta con questa parità: [tex][H, \Pi_{xy}]=0[/tex]
Lo stato fondamentale |gs> è non degenre, quindi ha una parita definita ripetto a [tex]\Pi_{xy}[/tex]:
[tex]==-=-[/tex]
Quindi =0;
Per le altre componenti è analogo.


Potrei chiedervi se potete controllare i calcoli del punto 1 e dirmi se il punto 2 è giusto? (In realtà dubito che il punto 2 sia giusto)

[Eredir]

Per il primo punto il contributo della perturbazione al primo ordine mi torna con il tuo risultato.
Il contributo del secondo ordine invece non vedo un modo semplice per calcolarlo, visto che contribuiscono tutti gli stati con [tex]n_{i}[/tex] dispari. Tu come hai fatto?

Il secondo punto mi sembra corretto, anche se forse si può esprimere in maniera più semplice.
Visto che l'hamiltoniana commuta con [tex]\Pi_{xy}[/tex] lo stato fondamentale ha parità definita, quindi abbiamo [tex]\langle 0|x|0 \rangle = \langle 0|\Pi_{xy} x \Pi_{xy}|0 \rangle[/tex].
Poichè l'operatore [tex]x[/tex] trasforma sotto parità come [tex]\Pi_{xy} x \Pi_{xy} = -x[/tex], abbiamo anche [tex]\langle 0|x|0 \rangle = -\langle 0|x|0 \rangle = 0[/tex].