[MQ] Dimostrazione insieme completo e potenziale costante
Salve, il professore ci ha dato da fare questo esercizio per casa.
Dopo svariati conti sono arrivato alla forma per $\phi = \sqrt{\frac{2\pi}{F}} \exp (\frac{iEp}{\hbar F} -\frac{i\hbarp^3}{6mF})e^{i\alpha}$, dove $\alpha$ è una fase arbitraria. Il punto due mi dice di dimostrare che $\int dE \bar{\psi(x)} \psi(y) = \delta(x-y)$, dove $\psi$ è la trasformata definita all'inizio dell'esercizio. Però in questo punto mi blocco, per il semplice motivo che dovrei fare un integrale in $dE$ di 2 integrali in $dp$ di un esponenziale con un termine al cubo, che non si può fare... non so bene come dovrei andare avanti, qualcuno ha un'idea? Per altro, perché la relazione di completezza è un integrale nell'energia? a me non torna mica tanto questa cosa...
Dopo svariati conti sono arrivato alla forma per $\phi = \sqrt{\frac{2\pi}{F}} \exp (\frac{iEp}{\hbar F} -\frac{i\hbarp^3}{6mF})e^{i\alpha}$, dove $\alpha$ è una fase arbitraria. Il punto due mi dice di dimostrare che $\int dE \bar{\psi(x)} \psi(y) = \delta(x-y)$, dove $\psi$ è la trasformata definita all'inizio dell'esercizio. Però in questo punto mi blocco, per il semplice motivo che dovrei fare un integrale in $dE$ di 2 integrali in $dp$ di un esponenziale con un termine al cubo, che non si può fare... non so bene come dovrei andare avanti, qualcuno ha un'idea? Per altro, perché la relazione di completezza è un integrale nell'energia? a me non torna mica tanto questa cosa...
Risposte
Prova a scrivere gli integrali tutti insieme e cambiare l'ordine di integrazione integrando prima su E.
Per quanto riguarda il senso di integrare su E è come quando sommi sugli stati, solo che in questo caso gli stati sono indicizzati da un indice continuo e quindi devi integrare, detta in soldoni....
Per quanto riguarda il senso di integrare su E è come quando sommi sugli stati, solo che in questo caso gli stati sono indicizzati da un indice continuo e quindi devi integrare, detta in soldoni....
Aaaah ok ora torna!!! Scrivo quello che ho fatto, dimmi se ci sono errori (le costanti le ho buttate tutte fuori e non compaiono nell'integrale, mi interessa solo la forma):
$\int dE e^{iE/h(p-p')} int dp \sqrt{\frac{2\pi}{F}} \exp (\frac{i\hbarp^3}{6mF})e^{-i\alpha}e^(ipx) int sqrt{\frac{2\pi}{F}} \exp (\frac{-i\hbarp'^3}{6mF})e^{i\alpha} e^(-ip'y) dp' = int dp' (...) int dp\delta (p-p') (...) = int sqrt{\frac{2\pi}{F}} \exp (\frac{-i\hbarp'^3}{6mF})e^{-i\alpha} e^(ipx) sqrt{\frac{2\pi}{F}} \exp (\frac{i\hbarp'^3}{6mF})e^{i\alpha}e^(-ip'y) dp' = int e^(ip'(x-y))dp' = delta(x-y) $
Ok?
$\int dE e^{iE/h(p-p')} int dp \sqrt{\frac{2\pi}{F}} \exp (\frac{i\hbarp^3}{6mF})e^{-i\alpha}e^(ipx) int sqrt{\frac{2\pi}{F}} \exp (\frac{-i\hbarp'^3}{6mF})e^{i\alpha} e^(-ip'y) dp' = int dp' (...) int dp\delta (p-p') (...) = int sqrt{\frac{2\pi}{F}} \exp (\frac{-i\hbarp'^3}{6mF})e^{-i\alpha} e^(ipx) sqrt{\frac{2\pi}{F}} \exp (\frac{i\hbarp'^3}{6mF})e^{i\alpha}e^(-ip'y) dp' = int e^(ip'(x-y))dp' = delta(x-y) $
Ok?
Giusto!!
Grazie mille, mi sei stato di grande aiuto! buona notte!
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