[MQ] Combinazione lineare di matrici di Pauli

[Sk_Anonymous]

Esercizio. Data $M=a\sigma_x+b\sigma_z$ combinazione lineare di due matrici di Pauli (con $a,b \in RR$), trovare gli autovalori di $M$ senza diagonalizzarla direttamente, ma solo sfruttando la conoscenza degli autovalori delle matrici di Pauli.

Non ho idea di cosa fare... Suggerimenti? (Non datemi la soluzione, voglio provarci da solo!)

[hamilton2]

Scrivi $M = \vec v \cdot \vec \sigma$ per un qualche $\vec v$.

[Sk_Anonymous]

"hamilton":Scrivi $M = \vec v \cdot \vec \sigma$ per un qualche $\vec v$.

Mh... $\vec sigma=(\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z)$, $\vec v=(a,0,b)$. Essendoci quel bel $\cdot$, mi viene in mente che potrei fare una rotazione. Ci penserò su, grazie!

[Sk_Anonymous]

"hamilton":Scrivi $M = \vec v \cdot \vec \sigma$ per un qualche $\vec v$.

Prendendo ispirazione da un appunto delle lezioni: siano $\beta$ l'angolo formato dal vettore $\vec v$ e l'asse $z$ e $\alpha$ l'angolo formato tra l'asse $x$ e la proiezione di $\vec v$ sul piano $xy$, si ha:
$\vec v =(v_1,v_2,v_3)= (Asin\beta cos\alpha, Bsin\beta sin\alpha, Ccos\beta)$
$M=((v_3,v_1-iv_2),(v_1+iv_2,-v_3))$,
ma siccome nel mio caso $M$ è combinazione lineare solo di $sigma_x$ e $sigma_z$, allora $v_2=0 -> sin\alpha=0 -> \alpha=0$ e $cot\beta=b/a$; in più nel mio caso $A=a$, $B=0$, $C=b$; il modulo di $\vec v$ vale $|\vec v|=\sqrt{a^2+b^2}$.
Detto questo, $M=\sqrt{a^2+b^2}\vec n \cdot \vec sigma$, dove $\vec n$ è il versore del vettore $\vec v$.
A questo punto potrei diagonalizzare $\vec n \cdot \vec sigma$ e scoprire che ha autovalori $\pm 1$ (l'ho fatto sulla carta, viene $\lambda^2 = n_1^2+n_2^2+n_3^2=1$ perché è il modulo di un versore; c'è una via più "elegante"?), quindi gli autovalori di $M$ sono $\pm \sqrt{a^2+b^2}$, come avevo trovato nel calcolo diretto.
Giusto?

[hamilton2]

yes, quella è la soluzione.

Ho trovato una via molto (relativamente) veloce:

$m = (\hat n \cdot \vec \sigma)$ è hermitiana e a traccia nulla. Quindi gli autovalori sono reali e hanno somma nulla. Inoltre, se provi a prendere $m^2$, ti accorgi che tutti i termini misti che moltiplicano matrici di pauli diverse sono nulli, perché $\sigma_a \sigma_b + \sigma_b \sigma_a = \delta_{ab} I$. Con la stessa formula, riduciamo a:

$ m^2 = \hat n_i^2 \sigma_i^2 = \sum n_i^2 = 1$

Allora il prodotto degli autovalori è 1.

Dunque sono $\pm 1$

[Sk_Anonymous]

Ti ringrazio infinitamente! Non capisco la necessità di passare tramite le matrici di Pauli dato che diagonalizzando direttamente $((b,a),(a,-b))$ si fa molto prima, ma tant'è...

[hamilton2]

credo che il senso dell'esercizio sia imparare a maneggiare queste dimostrazioni per via puramente algebrica, visto che poi questo metodo è alla base di qualsiasi dimostrazione in quantistica. E poi ci sono banalmente set di matrici utili troppo grandi per mettersi a fare i conti e immagino sia bene farsi le ossa