[MQ] calcolo che non ho compreso p*r
Ciao avrei un calcolo che non capisco di MQ.
Il prof calcola: $vecp*vecr/r$
come prima cosa non ho capito, se solo peratori perché li calcola come prodotto scalare di vettori? Non mi è chiaro come renda un operatore che a rigore è una matrice in un vettore.
Detto cio (cioè capito questo) il calcolo è il seguente:
$-ih((partial)/(partialx)(x/r)+(partial)/(partialy)(y/r)+(partial)/(partialz)(z/r))psi$
poi scrive $ih(1/r+x(partialr)/(partialx)(partial(1/r))/(partialr)+...+x/r(partial)/(partialx)+y/r(partial)/(partialy)+z/r(partial)/(partialz))$
prima dei puntini sembra che abbia fatto la regola del prodotto su $(partial)/(partialx)((xpsi)/r)$ ma a me pare che dovrei moltipliare due operatori che poi applico a psi quindi: $[(partial)/(partialx)(x/r)]psi$ (*)
Inoltre mi è del tutto ignoto cosa ci sia nei puntini e dopo i puntini facendo i conti non mi viene assolutamente quella roba; inoltre da qualche parte non dovrei avere $(partial(psi))/(partialx)$ se ho usato la catena? (anche se come sopra detto mi sfugge perché usarla dato che l'operatore ottenuto dal prodotto scalare dovrebbe applicare su psi (*) )
Mi potreste gentilmente aiutare che non ho capito un fico secco?
grazie
Il prof calcola: $vecp*vecr/r$
come prima cosa non ho capito, se solo peratori perché li calcola come prodotto scalare di vettori? Non mi è chiaro come renda un operatore che a rigore è una matrice in un vettore.
Detto cio (cioè capito questo) il calcolo è il seguente:
$-ih((partial)/(partialx)(x/r)+(partial)/(partialy)(y/r)+(partial)/(partialz)(z/r))psi$
poi scrive $ih(1/r+x(partialr)/(partialx)(partial(1/r))/(partialr)+...+x/r(partial)/(partialx)+y/r(partial)/(partialy)+z/r(partial)/(partialz))$
prima dei puntini sembra che abbia fatto la regola del prodotto su $(partial)/(partialx)((xpsi)/r)$ ma a me pare che dovrei moltipliare due operatori che poi applico a psi quindi: $[(partial)/(partialx)(x/r)]psi$ (*)
Inoltre mi è del tutto ignoto cosa ci sia nei puntini e dopo i puntini facendo i conti non mi viene assolutamente quella roba; inoltre da qualche parte non dovrei avere $(partial(psi))/(partialx)$ se ho usato la catena? (anche se come sopra detto mi sfugge perché usarla dato che l'operatore ottenuto dal prodotto scalare dovrebbe applicare su psi (*) )
Mi potreste gentilmente aiutare che non ho capito un fico secco?
grazie
Risposte
Sono vettori nel senso che $\vec{p}=(\hat{p}_x, \hat{p}_y, \hat{p}_z)$. E' solo un modo compatto per scrivere $\hat{p}_x\hat{x}/r+\hat{p}_y\hat{y}/r+\hat{p}_z\hat{z}/r$.
Sta scrittura a me non piace per niente, perché è estremamente fuorviante (difatti ti stai confondendo). Infatti tu su $\psi$ devi agire prima con l'operatore $\hat{x}$ (moltiplicazione per $x$) e poi con l'operatore $\hat{p}_x$ (derivazione). Da quella scrittura pare invece che la derivata agisca su $x/r$. Ricorda che in generale $\hat(A)\hat(B)\psi$ significa $\hat(A)(\hat(B)\psi)$. Devi prima agire con $B$ e poi con $A$. Nel nostro caso hai che $\hat{p}_x\hat{x}/r \psi=-ih(partial)/(partialx)(x/r \psi)$, ovvero prima moltiplico la funzione per $x/r$ e poi derivo. Scritto meglio ciò che devi calcolare è
$ -ih((partial)/(partialx)(x/r \psi)+(partial)/(partialy)(y/r \psi)+(partial)/(partialz)(z/r \psi))$
Ora puoi tranquillamente concentrarti su un singolo addendo che tanto gli altri sono uguali. Ad esempio guarda $(partial)/(partialx)(x/r \psi)$. Prova a fare il conto, e postalo qui, così vediamo come concludere nel caso in cui ancora non ti torni.
"singazio":
Detto cio (cioè capito questo) il calcolo è il seguente:
$ -ih((partial)/(partialx)(x/r)+(partial)/(partialy)(y/r)+(partial)/(partialz)(z/r))psi $
Sta scrittura a me non piace per niente, perché è estremamente fuorviante (difatti ti stai confondendo). Infatti tu su $\psi$ devi agire prima con l'operatore $\hat{x}$ (moltiplicazione per $x$) e poi con l'operatore $\hat{p}_x$ (derivazione). Da quella scrittura pare invece che la derivata agisca su $x/r$. Ricorda che in generale $\hat(A)\hat(B)\psi$ significa $\hat(A)(\hat(B)\psi)$. Devi prima agire con $B$ e poi con $A$. Nel nostro caso hai che $\hat{p}_x\hat{x}/r \psi=-ih(partial)/(partialx)(x/r \psi)$, ovvero prima moltiplico la funzione per $x/r$ e poi derivo. Scritto meglio ciò che devi calcolare è
$ -ih((partial)/(partialx)(x/r \psi)+(partial)/(partialy)(y/r \psi)+(partial)/(partialz)(z/r \psi))$
Ora puoi tranquillamente concentrarti su un singolo addendo che tanto gli altri sono uguali. Ad esempio guarda $(partial)/(partialx)(x/r \psi)$. Prova a fare il conto, e postalo qui, così vediamo come concludere nel caso in cui ancora non ti torni.
Grazie al tuo aiuto mi è tornato.
Ho capito quindi l'errore nel senso che il vettore è un vettore di operatori in pratica (cioè di operatori componenti x,y,z), se ho ben capito linterpretazione.
C'è solo una cosa che ancora adesso mi confonde e vorrei capire meglio, io devo fare $vecp*vecr/r$ quindi appunto AB che agisce su psi. Quindi mi sarei in effetti atteso (a torto) $[∂/(∂x)(x/r)]ψ$ perché invece è $∂/(∂x)[(x/r)(psi)]$ quesa cosa mi sfugge un po'. In sostanza mi sfugge perché opera prima luno e poi laltro e non computo i due e li faccio operare sulla fdo
Ho capito quindi l'errore nel senso che il vettore è un vettore di operatori in pratica (cioè di operatori componenti x,y,z), se ho ben capito linterpretazione.
C'è solo una cosa che ancora adesso mi confonde e vorrei capire meglio, io devo fare $vecp*vecr/r$ quindi appunto AB che agisce su psi. Quindi mi sarei in effetti atteso (a torto) $[∂/(∂x)(x/r)]ψ$ perché invece è $∂/(∂x)[(x/r)(psi)]$ quesa cosa mi sfugge un po'. In sostanza mi sfugge perché opera prima luno e poi laltro e non computo i due e li faccio operare sulla fdo
E' la definizione di prodotto di operatori. Dati due operatori lineari
$A:\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$
$B:\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$
è ben definito il loro prodotto
$AB:\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$
$v\mapsto A(B(v))$
Quindi prima agisce $B$ e poi al risultato viene applicato $A$
$A:\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$
$B:\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$
è ben definito il loro prodotto
$AB:\mathcal{H}\rightarrow\mathcal{H}$
$v\mapsto A(B(v))$
Quindi prima agisce $B$ e poi al risultato viene applicato $A$
In effetti questa cosa me l'ero volata.
Diciamo che quello che continua a mandarmi in confusione è pensarla in caso finito nella algebra lineare, gli operatori A e B li immagino come matrici che agiscono a moltiplicare sul vettore colonna v.
Sapendo che vale l'associatività quello che mi ero detto è: beh scrivere A*(B*v) è uguale a scrivere (A*B)*v, il primo era quello da te scritto, il secondo la mia idea.
éun po come le funzioni composte d'altra parte: f∘g si può vedere come h(x)=(f∘g)(x) cioè f composto g si può vedere nel suo intero come una nuova funzione h che agisce su x (o meglio il valore che assume f composto g nel punto x è quello fato dalla loro composizione che agisce su x nel complesso); oppure potrei vederla come f(g(x)) nel senso che f agisce sul punto y dato da g(x)=y.
Siccome valeva per matrici che assimilavo a vettori, non capisco perché non funzioni invece per operatori in generale. C'è un perché più profondo che mi sfugge?
Grazie di nuovo, fermo restando che ora ho capito che operativamente devo fare come dici tu, mi incuriosiva questa domanda.
Diciamo che quello che continua a mandarmi in confusione è pensarla in caso finito nella algebra lineare, gli operatori A e B li immagino come matrici che agiscono a moltiplicare sul vettore colonna v.
Sapendo che vale l'associatività quello che mi ero detto è: beh scrivere A*(B*v) è uguale a scrivere (A*B)*v, il primo era quello da te scritto, il secondo la mia idea.
éun po come le funzioni composte d'altra parte: f∘g si può vedere come h(x)=(f∘g)(x) cioè f composto g si può vedere nel suo intero come una nuova funzione h che agisce su x (o meglio il valore che assume f composto g nel punto x è quello fato dalla loro composizione che agisce su x nel complesso); oppure potrei vederla come f(g(x)) nel senso che f agisce sul punto y dato da g(x)=y.
Siccome valeva per matrici che assimilavo a vettori, non capisco perché non funzioni invece per operatori in generale. C'è un perché più profondo che mi sfugge?
Grazie di nuovo, fermo restando che ora ho capito che operativamente devo fare come dici tu, mi incuriosiva questa domanda.
L'algebra lineare è un caso particolare e non può essere sicuramente generalizzato. L'esempio che fai nelle funzioni è azzeccato. Infatti noterai che fare $AB$ è semplicemente come fare $A$ composto $B$. Prima agisco con $B$ e poi con $A$. Come fai con le funzioni d'altronde. Prima agisci con $g$ e poi con $f$, non è che fai agire $f$ su $g$ e poi agisci su $x$. Allo stesso modo con gli operatori.
Anche perché cosa vuol dire agire con $f$ su $g$ o con $B$ su $A$? $B$ agisce su vettori nello spazio di Hilbert, mica su operatori. Te riesci a farlo agire sugli operatori per colpa di abusi di notazione dilaganti in fisica (ad esempio indicare con $x$ l'operatore moltiplicazione).
Anche perché cosa vuol dire agire con $f$ su $g$ o con $B$ su $A$? $B$ agisce su vettori nello spazio di Hilbert, mica su operatori. Te riesci a farlo agire sugli operatori per colpa di abusi di notazione dilaganti in fisica (ad esempio indicare con $x$ l'operatore moltiplicazione).
Sì esatto, infatti mi sono impelagto in un dubbio abnorme che credo fosse una mia lacuna di base. Ancora una volta ci hai visto giusto.
Come cercavo di comprendere per definizione di composizione di funzioni si ha che:
$f∘g:={(a,x)∈A×C∣∃b∈B.(b,x)∈f∧(a,b)∈g}$ io sto dicendo che la relazione f composto g è data prendendo ogni punto di A e trovando il b in B relativo, fatto ciò prendo f e trovo il c realtivo a quel g(a). Mentre io volevo trovare una nuova regola h, cioè una nuova funzone che non sfruttasse più f e g in modo "separato" (cioè che prendesse un punto di a operasse con g e poi con f) e che desse una regola per avere $h(a)=c$.
Va quindi posta una distinzione tra esistenza di h come come funzione composta nel senso che esiste ovviamente la regola per associare all'elemento di A quello in C unico, con l'esistenza di una regola esplicita che opera unicamente su a per trovare c senza passare per le regole di assegnazione g e poi f.
La definizione di composizione mi garantisce che: date due regole di assegnazione per funzioni posso comporle intendnendo che agisco prima con una e poi con l'altra... ma ci garantisce la possibilità di trovare una regola di assegnazione (unica) h che agisca direttamente su $a in A$? Mi spiego meglio..
Il punto era un po' questo, se in algebra lineare io prendo A e B appunto "funzioni" e v io posso dire che la composizione è $A(B(v))$, però mi accorgevo che moltiplicando A con B io trovo $C=A*B$ che mi permette il calcolo $C(v)$ inoltre il fatto interessante è che C non è una relazione che mi dice prendi v operi con A e poi operi con A su B(v), è proprio una relazione che in toto agisce su un qualunque v (ne ho una definizione di C senza passare prima per B e poi per A su ogni elemento v, C è una nuova matrice a sé stante). Mentre scrivere ${(a,x)∈A×C∣∃b∈B.(b,x)∈f∧(a,b)∈g}$ mi sembra che non dia una regola per trovare quel C, dice solo che la composizione esiste come operazioni iterate di g e poi di f sulla immagine di g. L'idea di base del dubbio era questa.
D'altra parte anche con le funzioni da R in R data $f(x)=3x$ e $g(x)=2x$ posso trovare la regola di assegnazione "totale " $h(x)=6x$ oppure dire opero prima con g trovando $2x$ e poi opero con f trovando $f(g(x))=3(2x)$, ecco il mio intento è capire se la forma esplicita h sia sempre possibile trovarla in senso generale con gli operatori.
Insomma, le cose vanno così credo (?) e la domanda è banalmente questa: dati A' e B' operatori qualsiasi (non per forza lineari): $H'=(A'∘B')$ esiste? (la risposta è certo esiste ma... mi chiedo: posso in effetti trovare una nuova regola "esplicita" H' che agisce su $psi$: $H'(psi)$) ove ovviamente $(A'∘B'):=H'!=H:=A'B'$ (e per le matrici sussiste l'uguaglianza, intendendo in quel caso particolare A'B' come A ' opera su B' ossia A'*B').
Dunque: è sempre possibile trovare una regola esplicita $H'$, cioè un nuovo operatore, tale che $H'(psi)$ dia lo stesso risultato di $A'(B'(psi))$, però senza operare prima con B' e poi con A'? In algebra lineare ovviamente sì perché come dicevo $H'=H=A'*B'$ e sono matrici le rappresentazioni esplicite, ma in generale è possibile trovare una "regola di assegnazione" H' che descriva in modo unico come agisce H'? Oppure la composizine esiste solo dandola esplicitamente come: "opero prima con B' e poi con A'?"
Questa cosa non l'ho ancora capita sebbene ci ragioni da ieri
Se non fosse chiarissimo provando a concretizzarlo con il nostro esempio
Spero davvero di esser stato chiaro, nel caso non lo fossi stato segnalamelo pure che tento una riformulazione migliore. grazie per il tuo tempo!
Come cercavo di comprendere per definizione di composizione di funzioni si ha che:
$f∘g:={(a,x)∈A×C∣∃b∈B.(b,x)∈f∧(a,b)∈g}$ io sto dicendo che la relazione f composto g è data prendendo ogni punto di A e trovando il b in B relativo, fatto ciò prendo f e trovo il c realtivo a quel g(a). Mentre io volevo trovare una nuova regola h, cioè una nuova funzone che non sfruttasse più f e g in modo "separato" (cioè che prendesse un punto di a operasse con g e poi con f) e che desse una regola per avere $h(a)=c$.
Va quindi posta una distinzione tra esistenza di h come come funzione composta nel senso che esiste ovviamente la regola per associare all'elemento di A quello in C unico, con l'esistenza di una regola esplicita che opera unicamente su a per trovare c senza passare per le regole di assegnazione g e poi f.
La definizione di composizione mi garantisce che: date due regole di assegnazione per funzioni posso comporle intendnendo che agisco prima con una e poi con l'altra... ma ci garantisce la possibilità di trovare una regola di assegnazione (unica) h che agisca direttamente su $a in A$? Mi spiego meglio..
Il punto era un po' questo, se in algebra lineare io prendo A e B appunto "funzioni" e v io posso dire che la composizione è $A(B(v))$, però mi accorgevo che moltiplicando A con B io trovo $C=A*B$ che mi permette il calcolo $C(v)$ inoltre il fatto interessante è che C non è una relazione che mi dice prendi v operi con A e poi operi con A su B(v), è proprio una relazione che in toto agisce su un qualunque v (ne ho una definizione di C senza passare prima per B e poi per A su ogni elemento v, C è una nuova matrice a sé stante). Mentre scrivere ${(a,x)∈A×C∣∃b∈B.(b,x)∈f∧(a,b)∈g}$ mi sembra che non dia una regola per trovare quel C, dice solo che la composizione esiste come operazioni iterate di g e poi di f sulla immagine di g. L'idea di base del dubbio era questa.
D'altra parte anche con le funzioni da R in R data $f(x)=3x$ e $g(x)=2x$ posso trovare la regola di assegnazione "totale " $h(x)=6x$ oppure dire opero prima con g trovando $2x$ e poi opero con f trovando $f(g(x))=3(2x)$, ecco il mio intento è capire se la forma esplicita h sia sempre possibile trovarla in senso generale con gli operatori.
Insomma, le cose vanno così credo (?) e la domanda è banalmente questa: dati A' e B' operatori qualsiasi (non per forza lineari): $H'=(A'∘B')$ esiste? (la risposta è certo esiste ma... mi chiedo: posso in effetti trovare una nuova regola "esplicita" H' che agisce su $psi$: $H'(psi)$) ove ovviamente $(A'∘B'):=H'!=H:=A'B'$ (e per le matrici sussiste l'uguaglianza, intendendo in quel caso particolare A'B' come A ' opera su B' ossia A'*B').
Dunque: è sempre possibile trovare una regola esplicita $H'$, cioè un nuovo operatore, tale che $H'(psi)$ dia lo stesso risultato di $A'(B'(psi))$, però senza operare prima con B' e poi con A'? In algebra lineare ovviamente sì perché come dicevo $H'=H=A'*B'$ e sono matrici le rappresentazioni esplicite, ma in generale è possibile trovare una "regola di assegnazione" H' che descriva in modo unico come agisce H'? Oppure la composizine esiste solo dandola esplicitamente come: "opero prima con B' e poi con A'?"
Questa cosa non l'ho ancora capita sebbene ci ragioni da ieri
Se non fosse chiarissimo provando a concretizzarlo con il nostro esempio
Spero davvero di esser stato chiaro, nel caso non lo fossi stato segnalamelo pure che tento una riformulazione migliore. grazie per il tuo tempo!
Ho capito la tua domanda, però non saprei che dirti. In algebra lineare è tutto enormemente semplificato dal fatto che le funzioni lineari tra spazi vettoriali finito dimensionali sono "rappresentabili" da una matrice, quindi per dare ciò che tu chiami regola esplicita è sufficiente dare una matrice. In generale sta cosa non è vera. Il punto è che l'espressione "regola esplicita" non ha una definizione rigorosa. Ad esempio se ti dò $f:RR\rightarrow RR$ che manda $x$ nella prima cifra dell'espansione decimale di $x$ che è un numero primo, questa per te è una regola esplicita? Io non direi, eppure la funzione è totalmente legittima. Quindi non lo so, tipicamente direi che riesci a "scrivere" la composizione in una botta sola, ma sicuramente non è una cosa generale.
In ogni caso non ci penserei troppo a questa questione, non mi sembra fondamentale, l'importante è che la composizione esiste e sai come agisce, indipendentemente se riesci a scriverla in modo compatto o meno.
In ogni caso non ci penserei troppo a questa questione, non mi sembra fondamentale, l'importante è che la composizione esiste e sai come agisce, indipendentemente se riesci a scriverla in modo compatto o meno.
Sìsì me ne rendo super conto che dire "regola esplicita" era del tutto informale, ma era per capirsi. Diciamo che cercavo proprio di capire quando si poteva razionalizzare il concetto in quel modo e quando no, cioè: " "scrivere" la composizione in una botta sola, è una cosa generale quando si ha a che fare con operatori?".
Tutto è semplificato in algebra lineare perché come hai detto tu rappresento con matrici e bella lì (mi trovo la nuova matrice H e sono felice) e finito. O con le funzioni R in R che posso dare le leggi di assegnazioni tipo f(x)=3x e sono felice così.
Mi ero poi accorto che anche senza matrici potevo per certi operatori dare la regola esplicita $H:=partial/(partialx)(hat{x}/r)+hat{x}/rpartial/(partialx)$, ma che in effetti la definizione di composizione che chiamavo ${(a,x)∈A×C∣∃b∈B.(b,x)∈f∧(a,b)∈g}$ non dava una reale ricetta per farlo: appunto diceva solo esiste una nuova funzione ed è quella che torvi facendo operare prima g e poi f.
E da lì mi ero impallato, perché mi aveva incuriosito. però si, a conti fatti direi che mi è chiaro ora come agiva l'operatore che era la domanda su cui mi ero incastrado nell'apertura.
Mille grazie!
Tutto è semplificato in algebra lineare perché come hai detto tu rappresento con matrici e bella lì (mi trovo la nuova matrice H e sono felice) e finito. O con le funzioni R in R che posso dare le leggi di assegnazioni tipo f(x)=3x e sono felice così.
Mi ero poi accorto che anche senza matrici potevo per certi operatori dare la regola esplicita $H:=partial/(partialx)(hat{x}/r)+hat{x}/rpartial/(partialx)$, ma che in effetti la definizione di composizione che chiamavo
E da lì mi ero impallato, perché mi aveva incuriosito. però si, a conti fatti direi che mi è chiaro ora come agiva l'operatore che era la domanda su cui mi ero incastrado nell'apertura.
Mille grazie!
"singazio":
O con le funzioni R in R che posso dare le leggi di assegnazioni tipo f(x)=3x e sono felice così.
Questa cosa non è vera in generale però, come ti ho fatto notare con l'esempio del messaggio precedente. Non tutte le funzioni reali sono polinomi.
Si, pardon, avevo capito ma mi sono riespresso male. Volevo dire nelle funzioni elementari classiche seni, coseni, polinomiali ecc.
Detto MEGLIO: quando ho delle funzoni f,g che hanno una loro forma analitica esplicita posso sempre scrivere la composizione h che ha ancora una forma analitica esplicita unica. Ovviamente nel tuo esempio ho una funzione da R in R che non ha una forma analitica esplicita già di suo (quindi mi aspetto che anche la composizione di qualla con qualunque altra funzione da R in R non sia di nuovo "scrivibile" come una forma analitica esplicita).
Era questo che volevo sottendere, ma hai ragione perché da come l'avevo detto nell'ultimo msg non si capiva, grazie per avermi ri-corretto
Detto MEGLIO: quando ho delle funzoni f,g che hanno una loro forma analitica esplicita posso sempre scrivere la composizione h che ha ancora una forma analitica esplicita unica. Ovviamente nel tuo esempio ho una funzione da R in R che non ha una forma analitica esplicita già di suo (quindi mi aspetto che anche la composizione di qualla con qualunque altra funzione da R in R non sia di nuovo "scrivibile" come una forma analitica esplicita).
Era questo che volevo sottendere, ma hai ragione perché da come l'avevo detto nell'ultimo msg non si capiva, grazie per avermi ri-corretto
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