MQ buca di potenziale ed eNergia

[gastaldo1]

Cia,

stavo cercando di capire una cosa piuttosto semplice ma che mi lascia in dubbio. negli esercizi del mio corso di MQ vedo che l'energia E (solita notazione) dove V è il potenziale ecc sceglie sempre casi in cui

E>V
0
ma mai si studia: il caso in cui E
ad esempio ponendo V minimo a zero, si studiano per gradini o buche a pareti finite casi in cui E>V in certi punti, 0
Alla fine anche il caso 0

Cita

Segnala

---

Risposte

Lampo1089

12 ott 2023, 20:26

Ciao, su due piedi direi non può esistere uno stato del genere in quanto il valore di aspettazione dell'energia (in qualunque stato) è limitato inferiormente proprio da \(V_{min}\). Quindi nel caso singola particella:
\[
\langle H \rangle_\phi = \langle \phi|\left(T + V\right)|\phi \rangle = \langle \phi|T|\phi \rangle + \langle \phi|V|\phi \rangle
\]

Il primo elemento di matrice è maggiore uguale di zero:

\[
\langle \phi|T|\phi \rangle = \frac{1}{2m}\langle \phi|\hat{p}^2|\phi \rangle = \frac{1}{2m}\int p^2 |\phi(p)|^2 dp \geq 0
\]

e in maniera simile dimostri che per il secondo vale:

\[
\langle \phi|V(\hat{x})|\phi \rangle = \int V(x) |\phi(x)|^2 dx \geq V_{min} \int |\phi(x)|^2 dx = V_{min}
\]

da cui segue \(\langle H \rangle_\phi \geq V_{min}\) per qualunque stato \(\phi\). Di conseguenza, lo spettro dell'energia è limitato inferiormente da \(V_{min}\) e \(E \geq V_{min}\)

NB per essere precisi, questo mostra che \(V_{min}\) è un minorante ma non che è l'estremo inferiore. Come detto prima, dimostra solo che lo spettro è limitato inferiormente ma non che lo stato fondamentale possiede energia \(V_{min}\) - esempio pratico, lo stato fondamentale dell'oscillatore armonico quantistico possiede energia positiva - ma \(V_{min} = 0\).

Cita

Segnala

---

gastaldo1

13 ott 2023, 16:44

Ciao, grazie per la risposta in primis.

Vorrei se possibile farti alcune (stupide) domande dato che affrotno la MQ per la prima volta e sono ancora un po' tonto nel muovermi in essa.

Questo

\[
\langle H \rangle_\phi = \langle \phi|\left(T + V\right)|\phi \rangle = \langle \phi|T|\phi \rangle + \langle \phi|V|\phi \rangle
\]

Dovrebbe essere per questo giusto?:
$intdp()=intdp(phi^+p^2phi(p))$ con $phi^+(p)$ la complessa coniugata, tuttavia non capisco, se fin qui è corretto, come far filtrare il pquadro a sinistra di $phi^+(p)$ impunemente (primo dubbio)

venendo al (secondo dubbio) sempre su quell'integrale non ho ben capito come concludi semplicemente $>=0$ come valore di integrazione.



Infine vorrei chiederti una (terza domanda): dicevi che nell'oscillatore armonico in generale $V_(min)=0$, però mi chiedevo, essendo il potenziale arbitrario non potrei scegliere come minimo un valore a caso?

Cita

Segnala

---

gastaldo1

13 ott 2023, 16:45

Tra l'altro mi sono accorto di avere un ulteriore domanda (quarta). Come hai mostrato noi sappiamo che $⟨H⟩_ϕ≥V_m$ cioè il valore di aspettazione non è mai minore di Vm, tuttavia $=sum|c_n|^2E_n$ con i cn i soliti coiefficienti della composizione lineare di $ϕ=sumcnϕ_n$, ecco, quindi questo non ci garantiscce che $AAn$ $E_n>V_min$ o sbaglio, voglio cioè dire potrebbero esserci autovalori di H che sono inferiori a V_n in energia (quindi non lo spettro dell'operatore H perché mi pare ci siano autovalori anche negativi a rigore, che poi si elidono con positivi e anzi i positivi superano in fin dei conti gli En negativi), perché invece noi non ce ne occupiamo e guardiamo solo il generico valore di aspettazione.

Edit: in realtà tu hai detto che proprio lo spettro è positivo uhm devo dire che non capisco bene il perché.

Ok forse 4 domande sono fin troppe, perdonami, ma sono molto curioso di capire
Grazie nuovamente.

Cita

Segnala

---

Lampo1089

13 ott 2023, 18:55

Provo a mettere ordine:

Questo ... dovrebbe essere per questo giusto?

sì

tuttavia non capisco, se fin qui è corretto, come far filtrare il pquadro a sinistra di ϕ+(p) impunemente (primo dubbio)

essendo \(\phi(p)\) una funzione d'onda e quindi un numero complesso, e similmente \(p^2\) un numero reale, vale la proprietà commutativa. In termini forse più intuitivi, il valor medio del quadrato dell'impulso è pari all'integrale di \(p^2\) per la densità di probabilità, che è appunto il modulo quadro della funzione d'onda (nella rappresentazione degli impulsi).

venendo al (secondo dubbio) sempre su quell'integrale non ho ben capito come concludi semplicemente ≥0 come valore di integrazione.

essendo funzioni di segno positivo, vale monotonia dell'integrale rispetto all'integranda. è l'integrale di una funzione positiva o zero, e quindi è positivo o zero.

dicevi che nell'oscillatore armonico in generale \(V_{min}=0\), però mi chiedevo, essendo il potenziale arbitrario non potrei scegliere come minimo un valore a caso?

certo, ho assunto - come è il caso più comune - che il potenziale si annulli in x = 0. Ovviamente, avendo fissato una volta per tutte potenziale per un determinato sistema (cioé, la costante arbitraria con cui è definito), lo spettro sarà inferiormente limitato. nell'esempio dell'oscillatore armonico, se al potenziale viene aggiunto un termine costante c, varrà ora \(\langle H\rangle_\phi \geq c \).

Come hai mostrato noi sappiamo che \(\langle H\rangle_\phi \geq V_{m} \) cioè il valore di aspettazione non è mai minore di $V_m$, tuttavia \(\langle H\rangle = \sum_n |c_n|^2 E_n\) (... omissis ...) quindi questo non ci garantisce che ∀n $E_n >0$ o sbaglio

In un caso generale, questo non garantisce che $E_n >0$ (non mi sembra di averlo mai detto). Nell'esempio fatto dell'oscillatore armonico, invece, questo garantisce che $E_n \geq 0$ e, nel caso generale che $E_n \geq V_m$

Infatti, avendo dimostrato che per qualunque stato vale \(\langle H\rangle_\phi \geq V_{m}\) (cosa fatta nel post sopra), la disuguaglianza varrà per un autostato dell'hamiltoniana (dopo tutto, è uno stato dello spazio degli stati fisici del sistema). Assumendo di considerare un autostato dell'energia con autovalore $E_n$, la disuguaglianza si riduce a:
\[
E_n = \langle H\rangle_\phi \geq V_{m}
\]

Cita

Segnala

---

gastaldo1

14 ott 2023, 11:18

Ti ringrazio per la cristallina chiarezza su tutto.

Solo un ultima cosa, per esser sicuro sull'unico punto che mi manca. (avevo anche fatto un typo che correggo nel mio post sopra)

[quote]Come hai mostrato noi sappiamo che \(\langle H\rangle_\phi \geq V_{m} \) cioè il valore di aspettazione non è mai minore di $V_m$, tuttavia \(\langle H\rangle = \sum_n |c_n|^2 E_n\) (... omissis ...) quindi questo non ci garantisce che ∀n $E_n >0$ o sbaglio

In un caso generale, questo non garantisce che $E_n >0$ (non mi sembra di averlo mai detto). Nell'esempio fatto dell'oscillatore armonico, invece, questo garantisce che $E_n \geq 0$ e, nel caso generale che $E_n \geq V_m$

Infatti, avendo dimostrato che per qualunque stato vale \(\langle H\rangle_\phi \geq V_{m}\) (cosa fatta nel post sopra), la disuguaglianza varrà per un autostato dell'hamiltoniana (dopo tutto, è uno stato dello spazio degli stati fisici del sistema). Assumendo di considerare un autostato dell'energia con autovalore $E_n$, la disuguaglianza si riduce a:
\[
E_n = \langle H\rangle_\phi \geq V_{m}
\][/quote]

Il mio errore era che consideravo $ϕ=sumc_npsi_n$ e dicevo essendo $_ϕ=sum|c_n|^2E_n$, messa così mi sembrava che le tue maggiorazioni mostrassero $⟨H⟩_ϕ≥V_(min)$ ma non ci garantivano che per un qualunque n il mio $E_n$ fosse maggiore di $V_(min)$ (ove $Hpsi_n=E_npsi_n$), questo perché ritenevo solo la somma di tutti gli $E_n AAn$ positiva ma il singolo $E_(n_i)$ supponevo potesse anche essere negativo.

Però il mio errore era che non mi ero accorto che in effetti data l'arbitrarieta di $ϕ$ (stato su cui medio svolgendo gli integrali e mostrando la disuguaglianza del tuo primo post) in realtà vale di nuovo $E_n=⟨H⟩_(psi_n)≥V_(min)$, cioè per ogni n-autostato di H vale quella maggiorazione su Vm. Se ho ben capito dicevi questo? e mi sfuggiva prima ma ora mi pare di esserci.

Ti ringrazio e saluto.

Cita

Segnala

---

Lampo1089

14 ott 2023, 15:37

Però il mio errore era che non mi ero accorto che in effetti data l'arbitrarieta di ϕ (stato su cui medio svolgendo gli integrali e mostrando la disuguaglianza del tuo primo post) in realtà vale di nuovo En=⟨H⟩ψn≥Vmin, cioè per ogni n-autostato di H vale quella maggiorazione su Vm. Se ho ben capito dicevi questo?

esattamente

Cita

Segnala

---

Rispondi

Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.

[Lampo1089]

Ciao, su due piedi direi non può esistere uno stato del genere in quanto il valore di aspettazione dell'energia (in qualunque stato) è limitato inferiormente proprio da \(V_{min}\). Quindi nel caso singola particella:
\[
\langle H \rangle_\phi = \langle \phi|\left(T + V\right)|\phi \rangle = \langle \phi|T|\phi \rangle + \langle \phi|V|\phi \rangle
\]

Il primo elemento di matrice è maggiore uguale di zero:

\[
\langle \phi|T|\phi \rangle = \frac{1}{2m}\langle \phi|\hat{p}^2|\phi \rangle = \frac{1}{2m}\int p^2 |\phi(p)|^2 dp \geq 0
\]

e in maniera simile dimostri che per il secondo vale:

\[
\langle \phi|V(\hat{x})|\phi \rangle = \int V(x) |\phi(x)|^2 dx \geq V_{min} \int |\phi(x)|^2 dx = V_{min}
\]

da cui segue \(\langle H \rangle_\phi \geq V_{min}\) per qualunque stato \(\phi\). Di conseguenza, lo spettro dell'energia è limitato inferiormente da \(V_{min}\) e \(E \geq V_{min}\)

NB per essere precisi, questo mostra che \(V_{min}\) è un minorante ma non che è l'estremo inferiore. Come detto prima, dimostra solo che lo spettro è limitato inferiormente ma non che lo stato fondamentale possiede energia \(V_{min}\) - esempio pratico, lo stato fondamentale dell'oscillatore armonico quantistico possiede energia positiva - ma \(V_{min} = 0\).

[gastaldo1]

Ciao, grazie per la risposta in primis.

Vorrei se possibile farti alcune (stupide) domande dato che affrotno la MQ per la prima volta e sono ancora un po' tonto nel muovermi in essa.

Questo

\[
\langle H \rangle_\phi = \langle \phi|\left(T + V\right)|\phi \rangle = \langle \phi|T|\phi \rangle + \langle \phi|V|\phi \rangle
\]

Dovrebbe essere per questo giusto?:
$intdp()=intdp(phi^+p^2phi(p))$ con $phi^+(p)$ la complessa coniugata, tuttavia non capisco, se fin qui è corretto, come far filtrare il pquadro a sinistra di $phi^+(p)$ impunemente (primo dubbio)

venendo al (secondo dubbio) sempre su quell'integrale non ho ben capito come concludi semplicemente $>=0$ come valore di integrazione.



Infine vorrei chiederti una (terza domanda): dicevi che nell'oscillatore armonico in generale $V_(min)=0$, però mi chiedevo, essendo il potenziale arbitrario non potrei scegliere come minimo un valore a caso?

[gastaldo1]

Tra l'altro mi sono accorto di avere un ulteriore domanda (quarta). Come hai mostrato noi sappiamo che $⟨H⟩_ϕ≥V_m$ cioè il valore di aspettazione non è mai minore di Vm, tuttavia $=sum|c_n|^2E_n$ con i cn i soliti coiefficienti della composizione lineare di $ϕ=sumcnϕ_n$, ecco, quindi questo non ci garantiscce che $AAn$ $E_n>V_min$ o sbaglio, voglio cioè dire potrebbero esserci autovalori di H che sono inferiori a V_n in energia (quindi non lo spettro dell'operatore H perché mi pare ci siano autovalori anche negativi a rigore, che poi si elidono con positivi e anzi i positivi superano in fin dei conti gli En negativi), perché invece noi non ce ne occupiamo e guardiamo solo il generico valore di aspettazione.

Edit: in realtà tu hai detto che proprio lo spettro è positivo uhm devo dire che non capisco bene il perché.

Ok forse 4 domande sono fin troppe, perdonami, ma sono molto curioso di capire
Grazie nuovamente.

[Lampo1089]

Provo a mettere ordine:

Questo ... dovrebbe essere per questo giusto?

sì

tuttavia non capisco, se fin qui è corretto, come far filtrare il pquadro a sinistra di ϕ+(p) impunemente (primo dubbio)

essendo \(\phi(p)\) una funzione d'onda e quindi un numero complesso, e similmente \(p^2\) un numero reale, vale la proprietà commutativa. In termini forse più intuitivi, il valor medio del quadrato dell'impulso è pari all'integrale di \(p^2\) per la densità di probabilità, che è appunto il modulo quadro della funzione d'onda (nella rappresentazione degli impulsi).

venendo al (secondo dubbio) sempre su quell'integrale non ho ben capito come concludi semplicemente ≥0 come valore di integrazione.

essendo funzioni di segno positivo, vale monotonia dell'integrale rispetto all'integranda. è l'integrale di una funzione positiva o zero, e quindi è positivo o zero.

dicevi che nell'oscillatore armonico in generale \(V_{min}=0\), però mi chiedevo, essendo il potenziale arbitrario non potrei scegliere come minimo un valore a caso?

certo, ho assunto - come è il caso più comune - che il potenziale si annulli in x = 0. Ovviamente, avendo fissato una volta per tutte potenziale per un determinato sistema (cioé, la costante arbitraria con cui è definito), lo spettro sarà inferiormente limitato. nell'esempio dell'oscillatore armonico, se al potenziale viene aggiunto un termine costante c, varrà ora \(\langle H\rangle_\phi \geq c \).

Come hai mostrato noi sappiamo che \(\langle H\rangle_\phi \geq V_{m} \) cioè il valore di aspettazione non è mai minore di $V_m$, tuttavia \(\langle H\rangle = \sum_n |c_n|^2 E_n\) (... omissis ...) quindi questo non ci garantisce che ∀n $E_n >0$ o sbaglio

In un caso generale, questo non garantisce che $E_n >0$ (non mi sembra di averlo mai detto). Nell'esempio fatto dell'oscillatore armonico, invece, questo garantisce che $E_n \geq 0$ e, nel caso generale che $E_n \geq V_m$

Infatti, avendo dimostrato che per qualunque stato vale \(\langle H\rangle_\phi \geq V_{m}\) (cosa fatta nel post sopra), la disuguaglianza varrà per un autostato dell'hamiltoniana (dopo tutto, è uno stato dello spazio degli stati fisici del sistema). Assumendo di considerare un autostato dell'energia con autovalore $E_n$, la disuguaglianza si riduce a:
\[
E_n = \langle H\rangle_\phi \geq V_{m}
\]

[gastaldo1]

Ti ringrazio per la cristallina chiarezza su tutto.

Solo un ultima cosa, per esser sicuro sull'unico punto che mi manca. (avevo anche fatto un typo che correggo nel mio post sopra)

[quote]Come hai mostrato noi sappiamo che \(\langle H\rangle_\phi \geq V_{m} \) cioè il valore di aspettazione non è mai minore di $V_m$, tuttavia \(\langle H\rangle = \sum_n |c_n|^2 E_n\) (... omissis ...) quindi questo non ci garantisce che ∀n $E_n >0$ o sbaglio

In un caso generale, questo non garantisce che $E_n >0$ (non mi sembra di averlo mai detto). Nell'esempio fatto dell'oscillatore armonico, invece, questo garantisce che $E_n \geq 0$ e, nel caso generale che $E_n \geq V_m$

Infatti, avendo dimostrato che per qualunque stato vale \(\langle H\rangle_\phi \geq V_{m}\) (cosa fatta nel post sopra), la disuguaglianza varrà per un autostato dell'hamiltoniana (dopo tutto, è uno stato dello spazio degli stati fisici del sistema). Assumendo di considerare un autostato dell'energia con autovalore $E_n$, la disuguaglianza si riduce a:
\[
E_n = \langle H\rangle_\phi \geq V_{m}
\][/quote]

Il mio errore era che consideravo $ϕ=sumc_npsi_n$ e dicevo essendo $_ϕ=sum|c_n|^2E_n$, messa così mi sembrava che le tue maggiorazioni mostrassero $⟨H⟩_ϕ≥V_(min)$ ma non ci garantivano che per un qualunque n il mio $E_n$ fosse maggiore di $V_(min)$ (ove $Hpsi_n=E_npsi_n$), questo perché ritenevo solo la somma di tutti gli $E_n AAn$ positiva ma il singolo $E_(n_i)$ supponevo potesse anche essere negativo.

Però il mio errore era che non mi ero accorto che in effetti data l'arbitrarieta di $ϕ$ (stato su cui medio svolgendo gli integrali e mostrando la disuguaglianza del tuo primo post) in realtà vale di nuovo $E_n=⟨H⟩_(psi_n)≥V_(min)$, cioè per ogni n-autostato di H vale quella maggiorazione su Vm. Se ho ben capito dicevi questo? e mi sfuggiva prima ma ora mi pare di esserci.

Ti ringrazio e saluto.

[Lampo1089]

Però il mio errore era che non mi ero accorto che in effetti data l'arbitrarieta di ϕ (stato su cui medio svolgendo gli integrali e mostrando la disuguaglianza del tuo primo post) in realtà vale di nuovo En=⟨H⟩ψn≥Vmin, cioè per ogni n-autostato di H vale quella maggiorazione su Vm. Se ho ben capito dicevi questo?

esattamente