Mountain Climber
Voi come interpretate questo problema (non voglio la soluzione ! )?
Risposte
Acc.., non avevo letto bene la richiesta iniziale e per un istante ho postato la mia soluzione, spero che nessuno abbia letto...
Allora: premesso che l'inglese lo capisco poco io direi che si tratta di un cono senza attrito su cui viene posata una corda senza attrito. Nel caso a) c'è un nodo che fa sì che l'anello che circonda la cima sia fisso. Nel caso b) anche la corda può scorrere senza attrito nell'occhiello del lasso, per cui in questo caso l'anello che circonda la cima può estendersi o contrarsi.
Questo è ciò che ho capito.
Come ho già scritto, avrei anche pensato a una soluzione, che avevo messo e poi ho tolto in ossequio ai desideri dell'autore del topic.
La rimetterò solo se richiesto.
Ciao.
Allora: premesso che l'inglese lo capisco poco io direi che si tratta di un cono senza attrito su cui viene posata una corda senza attrito. Nel caso a) c'è un nodo che fa sì che l'anello che circonda la cima sia fisso. Nel caso b) anche la corda può scorrere senza attrito nell'occhiello del lasso, per cui in questo caso l'anello che circonda la cima può estendersi o contrarsi.
Questo è ciò che ho capito.
Come ho già scritto, avrei anche pensato a una soluzione, che avevo messo e poi ho tolto in ossequio ai desideri dell'autore del topic.
La rimetterò solo se richiesto.
Ciao.
Ok, fin qua ci sono anche io, per interpretazione però intendevo una spiegazione di cosa il problema vuole,
quale principio fisico deve essere sfruttato, come deve essere impostato il problema etc
Grazie!
quale principio fisico deve essere sfruttato, come deve essere impostato il problema etc
Grazie!
Il problema dice di determinare quale debba essere l'angolo al vertice della montagna con il quale, nei due casi, la corda rimanga ferma e quindi lo scalatore possa salire.
Per risolvere questo esercizio occorre tenere presente che una superficie liscia offre una reazione d'appoggio normale alla superficie stessa, e che una corda ideale che poggia su appoggi lisci mantiene costante la tensione lungo tutta la sua lunghezza.
OT:
Io di montagna sono abbastanza pratico, ma una cima così "scivolosa" da dare luogo alle questioni sollevate in questo esercizio non l'ho mai trovata di sicuro
Consiglierei vivamente allo scalatore di lasciar perdere questo cono di ghiaccio e rivolgersi verso cime dotate di sano e abbondante attrito.
Per risolvere questo esercizio occorre tenere presente che una superficie liscia offre una reazione d'appoggio normale alla superficie stessa, e che una corda ideale che poggia su appoggi lisci mantiene costante la tensione lungo tutta la sua lunghezza.
OT:
Io di montagna sono abbastanza pratico, ma una cima così "scivolosa" da dare luogo alle questioni sollevate in questo esercizio non l'ho mai trovata di sicuro
Consiglierei vivamente allo scalatore di lasciar perdere questo cono di ghiaccio e rivolgersi verso cime dotate di sano e abbondante attrito.
Ok, quindi si deve supporre che la corda abbia una sua massa. giusto?
"duff18":
Ok, quindi si deve supporre che la corda abbia una sua massa. giusto?
Non è mica necessario, in fondo è un problema di statica per cui basta che le forze si equilibrino.
Ad ogni modo entrando nel merito del problema, io questo esercizio mica l'ho capito tanto sai, nel senso che non so bene cosa ci si aspetti come soluzione, perché la determinazione dell'angolo al vertice nel caso del lasso con nodo scorsoio non è mica semplice, anzi ho la sensazione che il calcolo preciso richieda conoscenze di geometria analitica superiori alle mie forze (oppure nozioni che mi sono scordato, il che è uguale).
Scusa ma se la corda non ha peso per quale motivo il cono dovrebbe esercitare una forza normale?
Comunque ho a disposizione la soluzione, se vuoi la posso postare, io per ora preferisco un pò ragionarci su.
Comunque il problema è uno dei più difficili per questa sezione del libro.
Comunque ho a disposizione la soluzione, se vuoi la posso postare, io per ora preferisco un pò ragionarci su.
Comunque il problema è uno dei più difficili per questa sezione del libro.
"duff18":
Scusa ma se la corda non ha peso per quale motivo il cono dovrebbe esercitare una forza normale?
Comunque ho a disposizione la soluzione, se vuoi la posso postare, io per ora preferisco un pò ragionarci su.
Comunque il problema è uno dei più difficili per questa sezione del libro.
La reazione normale della superficie serve a contrastare le componenti di forza normali che nascono dal fatto che la tensione agisce lungo una curva dotata di curvatura diversa da zero; non contrasta il peso intrinseco della corda che secondo me va considerato zero altrimenti il problema diventa ancora più difficile.
Riguardo alla soluzione direi che puoi aspettare ancora un po' per vedere se altri ci arrivano, e poi postala così la confronto con la mia.
Il caso a) mi sembra facile, mentre il caso b) no, semplicemente perché non è facile "vedere" in tridimensionale su una superficie conica. A meno che la soluzione che hai in mano non faccia delle semplificazioni, oppure eviti di calcolare espressamente l'angolo limitandosi a dire che esiste ed è compreso tra x e y, ecc. Oppure metta in atto qualche colpo di genio che io non ho avuto.
Intanto inizierei con il ricavare come si dispone la corda sulla superficie del cono quando su questa agisce una forza esterna e quindi la forza che il cono esercita sulla corda come reazione: distribuzione della forza normale alla superficie del cono dipendente dalla tensione della fune e dalla curvatura di questa attorno al cono. Questa è la parte più complicata dell'esercizio.
Il fatto è che la curvatura dipende dalla posizione sulla superficie ed anche l'angolo del vettore normale alla superficie conica rispetto alla verticale.
Non vedo un modo per evitare questa prima parte.
Il fatto è che la curvatura dipende dalla posizione sulla superficie ed anche l'angolo del vettore normale alla superficie conica rispetto alla verticale.
Non vedo un modo per evitare questa prima parte.
"Falco5x":
La reazione normale della superficie serve a contrastare le componenti di forza normali che nascono dal fatto che la tensione agisce lungo una curva dotata di curvatura diversa da zero; non contrasta il peso intrinseco della corda che secondo me va considerato zero altrimenti il problema diventa ancora più difficile.
Riguardo alla soluzione direi che puoi aspettare ancora un po' per vedere se altri ci arrivano, e poi postala così la confronto con la mia.
Il caso a) mi sembra facile, mentre il caso b) no, semplicemente perché non è facile "vedere" in tridimensionale su una superficie conica. A meno che la soluzione che hai in mano non faccia delle semplificazioni, oppure eviti di calcolare espressamente l'angolo limitandosi a dire che esiste ed è compreso tra x e y, ecc. Oppure metta in atto qualche colpo di genio che io non ho avuto.
Ok grazie per la spiegazione,
ancora alcune cose non mi sono chiare,
per la corda deluxe (caso b) dato che la grandezza del cappio è variabile, questa dovrebbe allargarsi fino a raggiungere una situazione di equilibrio per le forze in gioco?
"duff18":
per la corda deluxe (caso b) dato che la grandezza del cappio è variabile, questa dovrebbe allargarsi fino a raggiungere una situazione di equilibrio per le forze in gioco?
Certo, ed è questo il caso difficile proprio perché il cappio varia.
Ad ogni modo, tanto per accennare qualcosa in più, il caso del cappio fisso mi pare semplice. Infatti dalla parte opposta rispetto a quella dove avviene la salita, per motivi di simmetria il non scivolamento della corda avviene solo se in quel punto essa giace su un piano secante il cono con incidenza di 90° rispetto alla retta generatrice. Questa condizione è sufficiente poiché l'anello è inestensibile per cui sul versante di salita le tensioni si adeguano al carico e l'anello non scorre verso il basso. Allora il caso a) si risolve facilmente (mi pare) dicendo che l'angolo al vertice deve essere minore di 90°.
Il caso b) invece presenta tutt'altra complessità.
Soluzione parte a)
Almeno tu sei riuscito a proporre una soluzione, io neanche quella!
Almeno tu sei riuscito a proporre una soluzione, io neanche quella!
Acc... devo proprio confessare che questa idea di sviluppare il cono su un piano non mi era proprio venuta. 
Devo dunque supporre che la soluzione al quesito b) sia $\alpha=19,19°$ ?
Devo dunque supporre che la soluzione al quesito b) sia $\alpha=19,19°$ ?
Ti posso chiedere come ci sei arrivato? (non ho controllato ancora se è corretta!)
Ho sfruttato l'idea dello sviluppo della superficie conica su un piano, che diventa un settore circolare.
La traccia della corda su questo settore circolare deve essere rettilinea, deve incrociare la retta direttrice (cioè un cateto del settore, ovvero il segmento lungo cui è stata tagliata la superficie) con angolo 90° (perché non ci deve scivolare sopra), deve partire da un punto situato sulla mezzeria del settore circolare e sulla circonferenza di base (il punto dove l'anello si congiunge alla corda di salita) con angolo 60° rispetto alla mezzeria del settore. Questo angolo è metà dell'angolo tra i due rami dell'anello, il quale deve essere di 120*, così come gli angoli tra i rami dell'anello e la corda di salita, poiché le tensioni di questi 3 rami che si congiungono sull'occhiello del lasso devono essere uguali (proprietà della fune ideale di mantenere costante la tensione per tutta la sua lunghezza). Insomma i 3 rami devono partire dal punto di congiunzione con angoli pari a 1/3 dell'angolo giro, perché le 3 forze di tensione che sono uguali in modulo si devono equilibrare.
Allora ragionando su ciascuno dei due triangoli delimitati dalla retta direttrice, dalle due tracce destra e sinistra dell'anello di corda e dal segmento di mezzeria del settore, che è il prolungamento della corda di salita, si vede che essi hanno un angolo di 90° e un angolo di 60°. Dunque l'angolo al vertice è di 30°. Pensando poi al cono ricomposto, questo angolo di 30° tracciato sulla superficie corrisponde a un angolo di metà cono che deve avere seno pari a 1/6 (tralascio il calcolo che mi pare abbastanza facile), cioè un angolo di circa 9,5°. Pertanto l'intero angolo del cono, che è il doppio, è di circa 19°.
La traccia della corda su questo settore circolare deve essere rettilinea, deve incrociare la retta direttrice (cioè un cateto del settore, ovvero il segmento lungo cui è stata tagliata la superficie) con angolo 90° (perché non ci deve scivolare sopra), deve partire da un punto situato sulla mezzeria del settore circolare e sulla circonferenza di base (il punto dove l'anello si congiunge alla corda di salita) con angolo 60° rispetto alla mezzeria del settore. Questo angolo è metà dell'angolo tra i due rami dell'anello, il quale deve essere di 120*, così come gli angoli tra i rami dell'anello e la corda di salita, poiché le tensioni di questi 3 rami che si congiungono sull'occhiello del lasso devono essere uguali (proprietà della fune ideale di mantenere costante la tensione per tutta la sua lunghezza). Insomma i 3 rami devono partire dal punto di congiunzione con angoli pari a 1/3 dell'angolo giro, perché le 3 forze di tensione che sono uguali in modulo si devono equilibrare.
Allora ragionando su ciascuno dei due triangoli delimitati dalla retta direttrice, dalle due tracce destra e sinistra dell'anello di corda e dal segmento di mezzeria del settore, che è il prolungamento della corda di salita, si vede che essi hanno un angolo di 90° e un angolo di 60°. Dunque l'angolo al vertice è di 30°. Pensando poi al cono ricomposto, questo angolo di 30° tracciato sulla superficie corrisponde a un angolo di metà cono che deve avere seno pari a 1/6 (tralascio il calcolo che mi pare abbastanza facile), cioè un angolo di circa 9,5°. Pertanto l'intero angolo del cono, che è il doppio, è di circa 19°.
Non ho capito come hai utilizzato il valore della circonferenza di base del cono nella tua soluzione...
Dopo aver capito come si dispone la fune sulla superficie del cono, l'avrei risolto sfruttando l'equazione simbolica della statica, ovvero il fatto che se lo scalatore appeso raggiunge una condizione di equilibrio significa che è possibile trovare un minimo relativo alla sua energia potenziale, diverso da quello dato dalla corda completamente stesa, caso limite in cui lo scalatore rimarrebbe appeso ad un punto, il vertice del cono. Mi viene da pensare che ci possa essere anche un'altra condizione, cioè che lo scalatore sia destinato a rimanere incastrato nel cappio della fune, ma non ne sono sicuro.
Se non è possibile trovare questo minimo relativo in funzione della distanza del punto P dal vertice del cono, significa che lo scalatore è destinato a cadere, sempre più in basso.
Dopo aver capito come si dispone la fune sulla superficie del cono, l'avrei risolto sfruttando l'equazione simbolica della statica, ovvero il fatto che se lo scalatore appeso raggiunge una condizione di equilibrio significa che è possibile trovare un minimo relativo alla sua energia potenziale, diverso da quello dato dalla corda completamente stesa, caso limite in cui lo scalatore rimarrebbe appeso ad un punto, il vertice del cono. Mi viene da pensare che ci possa essere anche un'altra condizione, cioè che lo scalatore sia destinato a rimanere incastrato nel cappio della fune, ma non ne sono sicuro.
Se non è possibile trovare questo minimo relativo in funzione della distanza del punto P dal vertice del cono, significa che lo scalatore è destinato a cadere, sempre più in basso.
"nnsoxke":
Non ho capito come hai utilizzato il valore della circonferenza di base del cono nella tua soluzione...
Dopo aver definito che l'angolo (superficiale) di mezzo cono è 30°, determino la lunghezza della linea gialla, da cui ricavo la lunghezza del raggio viola e quindi l'angolo $\alpha$ di apertura del cono con la formula di figura.
"nnsoxke":
... il fatto che se lo scalatore appeso raggiunge una condizione di equilibrio significa che è possibile trovare un minimo relativo alla sua energia potenziale, diverso da quello dato dalla corda completamente stesa, caso limite in cui lo scalatore rimarrebbe appeso ad un punto, il vertice del cono.
Non so se capisco bene ciò che vuoi dire perchè in questo caso non esiste sempre una posizione di equilibrio dello scalatore a parità di vincoli, esiste solo il caso particolare di un vincolo particolare (quello cercato, cioè per un angolo al vertice particolare) per il quale lo scalatore rimane appeso in ogni posizione del cappio.
Noto infatti quanto segue.
Se l'angolo di mezzo cono (superficiale, cioè riferito allo sviluppo della sua superficie) è di 30° come nel caso che ritengo sia la soluzione b), si nota che ponendo lo scalatore non troppo a ridosso del nodo (altrimenti vi si incastra) la sua posizione (e quindi la sua energia potenziale) rimane inalterata anche se si fa scorrere il cappio in su o in giù lungo il cono. Rimane cioè in una situazione di energia potenziale costante anche se il vincolo si sposta, siamo dunque in una situazione di equilibrio indifferente.
Se l'angolo è maggiore di 30° invece facendo scorrere il cappio verso l'alto lo scalatore scende, il che significa che poiché l'energia potenziale tende verso valori minimi, in questa situazione c'è disequilibrio e lo scalatore scende finché il cappio si sfila dalla punta.
Viceversa per angoli minori di 30° lo scalatore scende se il cappio viene fatto scendere pure lui lungo il cono, per cui anche in questo caso lo scalatore non rimane fermo ma scende mentre il cappio si allarga attorno al cono, finché raggiunge la base della montagna.
Il risultato si trova con quello che avevo in mente, cioè mi risulta che in condizioni di equilibrio il cappio si può spostare a piacimento:
chiamando con x la distanza del cappio dal vertice del cono e con s la distanza dello scalatore dal vertice
$U=mgs=mg(x+L-2xsin(alpha))$
dove L è la lunghezza della corda e $alpha$ è il semiangolo al vertice del settore circolare dato dallo sviluppo della superficie conica
$dU/dx=mg(1-2sin(alpha))$
Da cui ricavo che affinchè questa derivata si annulli deve essere $alpha=pi/6$, cioè $2alpha=pi/3$
L'angolo del settore circolare mi risulta essere il doppio.
chiamando con x la distanza del cappio dal vertice del cono e con s la distanza dello scalatore dal vertice
$U=mgs=mg(x+L-2xsin(alpha))$
dove L è la lunghezza della corda e $alpha$ è il semiangolo al vertice del settore circolare dato dallo sviluppo della superficie conica
$dU/dx=mg(1-2sin(alpha))$
Da cui ricavo che affinchè questa derivata si annulli deve essere $alpha=pi/6$, cioè $2alpha=pi/3$
L'angolo del settore circolare mi risulta essere il doppio.
"nnsoxke":
Da cui ricavo che affinchè questa derivata si annulli deve essere $alpha=pi/6$, cioè $2alpha=pi/3$
L'angolo del settore circolare mi risulta essere il doppio.
Sì naturalmente, nell'ultimo mio post mancava la parola "mezzo" riferita al settore circolare e ai 30°, cosa che avevo però già precisato nei post precedenti quando calcolavo l'angolo conico al vertice di $\alpha=19,19°$
A parte questi due conti, sarebbe interessante spiegare come si arriva alla conclusione che la fune si dispone sulla superficie conica lungo una curva che minimizza la distanza tra i "due" punti misurata sulla superficie stessa.
Come si giunge a questo partendo dall'equilibrio di ogni tratto di fune?
Come si giunge a questo partendo dall'equilibrio di ogni tratto di fune?
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