Motoriduttore & piano inclinato
Salve, ragazzi ho dei grandissimi problemi con la risoluzione di questo esercizio di meccanica, so che le regole del forum impongono la risoluzione di dubbi e non di esercizi completi, vi chiedo però di poter fare un piccolo strappo alla regola, vorrei solo sapere come impostare l'esercizio e come ragionare in questi casi.
Spero possiate darmi una mano...
Spero possiate darmi una mano...
Risposte
In genere per risolvere questi problemi, che sembrano complessi ma sono solo applicazioni di leggi fisiche,ovviamente, si procede per gradi.
Comincia a calcolare la forza di cui hai bisogno nel cavo, per imprimere alla massa M l'accelerazione richiesta, tenendo conto che occorre vincere non solo la componente del peso parallela al piano, ma anche la forza di attrito.
Tieni presente che "accelerazione lineare" si traduce in "accelerazione angolare" .
Tieni poi presente che il motore deve vincere quindi anche l'inerzia della puleggia, e l'inerzia propria.
Cioè la coppia, o momento motore, deve vincere il momento resistente nonché i momenti rappresentati dai due rotori che hanno una certa inerzia e una certa accelerazione angolare : $ M_m = M_r + I_1 *\alpha_1 + I_2*\alpha_2 $
Naturalmente ogni rendimento, minore di uno come tutti i rendimenti, non fa altro che aumentare la potenza richiesta.
Però devo dire che questo problema mi lascia un pò perplesso...di solito si chiede la potenza del motore...
Comincia a calcolare la forza di cui hai bisogno nel cavo, per imprimere alla massa M l'accelerazione richiesta, tenendo conto che occorre vincere non solo la componente del peso parallela al piano, ma anche la forza di attrito.
Tieni presente che "accelerazione lineare" si traduce in "accelerazione angolare" .
Tieni poi presente che il motore deve vincere quindi anche l'inerzia della puleggia, e l'inerzia propria.
Cioè la coppia, o momento motore, deve vincere il momento resistente nonché i momenti rappresentati dai due rotori che hanno una certa inerzia e una certa accelerazione angolare : $ M_m = M_r + I_1 *\alpha_1 + I_2*\alpha_2 $
Naturalmente ogni rendimento, minore di uno come tutti i rendimenti, non fa altro che aumentare la potenza richiesta.
Però devo dire che questo problema mi lascia un pò perplesso...di solito si chiede la potenza del motore...
Ti ringrazio per la risposta,
ho ancora qualche dubbio, la prima parte calcolo la componente parallela al piano della forza peso ( TRASCURIAMO L'ATTRITO IN QUANTO IL PROF HA SBAGLIATO ) quindi la forza sarà uguale e contraria a tale componente.....come considero l'accelerazione in tale calcolo ?
Purtroppo non so come "l'accelerazione lineare" possa tradursi in "accelerazione angolare"
Intuitivamente ho compreso il tuo ragionamento, cioè che il momento motore deve vincere i momenti di inerzia dei due motori, ma l'equazione da te scritta viene fuori solo da tale ragionamento ?
Purtroppo è la prima volta che vedo un esercizio del genere, spero che tu possa aiutarmi!! GRZ
ho ancora qualche dubbio, la prima parte calcolo la componente parallela al piano della forza peso ( TRASCURIAMO L'ATTRITO IN QUANTO IL PROF HA SBAGLIATO ) quindi la forza sarà uguale e contraria a tale componente.....come considero l'accelerazione in tale calcolo ?
Purtroppo non so come "l'accelerazione lineare" possa tradursi in "accelerazione angolare"
Intuitivamente ho compreso il tuo ragionamento, cioè che il momento motore deve vincere i momenti di inerzia dei due motori, ma l'equazione da te scritta viene fuori solo da tale ragionamento ?
Purtroppo è la prima volta che vedo un esercizio del genere, spero che tu possa aiutarmi!! GRZ
"frenky46":
Ti ringrazio per la risposta,
ho ancora qualche dubbio, la prima parte calcolo la componente parallela al piano della forza peso ( TRASCURIAMO L'ATTRITO IN QUANTO IL PROF HA SBAGLIATO ) quindi la forza sarà uguale e contraria a tale componente.....come considero l'accelerazione in tale calcolo ?
Il vettore peso $\vec(Mg)$ si scompone in due vettori componenti : quello perpendicolare al piano ha modulo $Mg*cos\alpha$, quello parallelo al piano ha modulo $Mgsen\alpha$ ; le direzioni di questi due vettori componenti non sono difficili da capire, no?
Il cavo che tira, deve vincere sia la componente parallela al piano, sia la forza di attrito, che è proporzionale alla componente perpendicolare e vale : $\mu*Mgcos\alpha$.
Purtroppo non so come "l'accelerazione lineare" possa tradursi in "accelerazione angolare"
Chiama $a$ l'accelerazione lineare del cavo. La puleggia su cui si avvolge il cavo ha raggio $r$. Nel moto circolare: $V= \omega*r$. Quindi derivando rispetto al tempo ed essendo $r$ costante, si ha : $dotV = dot\omega*r$ .
Intuitivamente ho compreso il tuo ragionamento, cioè che il momento motore deve vincere i momenti di inerzia dei due motori, ma l'equazione da te scritta viene fuori solo da tale ragionamento ?
Purtroppo è la prima volta che vedo un esercizio del genere, spero che tu possa aiutarmi!! GRZ
Le equazioni vengono fuori dalla applicazione delle leggi della Fisica. Qui in particolare si deve applicare la seconda eq. cardinale della Dinamica : un momento di forze esterne ad un sistema causa variazione del momento angolare del sistema.
Ho provato a scrivere qualcosa utilizzando i tuoi suggerimenti :
- calcolo la forza necessaria per "tirare" la massa come : $T=-Mgsen(alpha)-f_vMgcos(alpha)$ considerando il coefficiente di attrito $f_v$ e la reazione normale al piano (ho il dubbio che manchi qualcosa in quanto non credo di aver considerato l'accelerazione con la quale "tirare" la massa)
- calcolo l'accelerazione angolare della puleggia come : $omega_p=a/r$
- calcolo l'accelerazione angolare del motore considerando il rapporto di trasmissione : $omega_m=epsilon(omega)_p$ (qui non sono sicuro sia corretto)
- in questo modo per calcolare il $Mm$ manca il momento resistente $M_r$ ed inoltre non so come utilizzare la forza calcolata nel punto uno
Ti ringrazio per il grande aiuto che mi stai dando in questo esercizio
- calcolo la forza necessaria per "tirare" la massa come : $T=-Mgsen(alpha)-f_vMgcos(alpha)$ considerando il coefficiente di attrito $f_v$ e la reazione normale al piano (ho il dubbio che manchi qualcosa in quanto non credo di aver considerato l'accelerazione con la quale "tirare" la massa)
- calcolo l'accelerazione angolare della puleggia come : $omega_p=a/r$
- calcolo l'accelerazione angolare del motore considerando il rapporto di trasmissione : $omega_m=epsilon(omega)_p$ (qui non sono sicuro sia corretto)
- in questo modo per calcolare il $Mm$ manca il momento resistente $M_r$ ed inoltre non so come utilizzare la forza calcolata nel punto uno
Ti ringrazio per il grande aiuto che mi stai dando in questo esercizio
Chiarisco prima una cosa: a parte il fatto che come ripeto questo esercizio è un po' strano, perché non chiede calcoli di potenza (ma mancherebbero dei dati a questo proposito), se il corpo venisse tirato "a velocità costante" vorrebbe dire che non ci sarebbe accelerazione, nè lineare e ovviamente neppure angolare. Allora, il "momento motore" sarebbe uguale al "momento resistente", e sarebbero nulli i due termini che contengono l'accelerazione angolare (della puleggia e del motore).
MA il "momento resistente" ci sarebbe sempre, dato da $T*r$, e il motore lo deve vincere per poter tirare il corpo a velocità costante. Come mai? Potresti chiedere.
Allora, per fare un esempio più semplice : quando viaggi in automobile a velocità costante $v$ , tieni il piede fermo sull'acceleratore, il motore eroga la sua potenza a giri costanti.
La potenza è il prodotto di una forza per una velocità : $ P = F*v$ , giusto? Quindi c'è una forza $F$ , che è una forza motrice $F_m$ . Però se la velocità è costante tu non acceleri. E allora, a che serve quella forza motrice $F_m$ ? Serve a vincere tutte le resistenze al moto che l'auto incontra nel suo movimento a velocità costante: gli attriti interni del motore, della trasmissione, le deformazioni delle gomme, l'attrito volvente, l'attrito con l'aria....tutte queste "resistenze" costituiscono la "forza resistente" $F_r$ .
Allora, considerati i versi dei vettori-forza e proiettati sul piano orizzontale, il bilancio delle forze è semplicemente : $F_m - F_r = 0$ . La risultante delle forze agenti è zero, e l'auto viaggia a velocità costante.
Ora, trasporta questo stesso ragionamento al tuo caso. Il "momento resistente" minimo c'è sempre, ed è il "minimo valore" di momento che deve fornire il motore per poter tirare il corpo a velocità costante. Ma il testo dice che la massa deve essere accelerata. Quindi alla forza resistente che hai calcolato devi aggiungere ancora la quantità $M*a$ .
È come quando nell' automobile di prima vuoi accelerare : devi dare più potenza, cioè devi aumentare la forza motrice, quindi che fai ? Schiacci l'acceleratore, la potenza motrice supera quella resistente, e così la forza motrice supera la resistente, e la macchina accelera.
L'accelerazione $a$ data si traduce in accelerazione angolare della puleggia, e del motore (per questo, devi giustamente tener conto del rapporto di trasmissione). Di queste accelerazioni angolari si tiene conto nel calcolo del momento resistente, com già detto, moltiplicando ciascuna per il rispettivo momento di inerzia assiale.
Però...anche i dati di questo esercizio fanno piangere...mah!
Per sapere i fatti tuoi : quale corso stai frequentando, nel quale hai avuto questo esercizio ?
MA il "momento resistente" ci sarebbe sempre, dato da $T*r$, e il motore lo deve vincere per poter tirare il corpo a velocità costante. Come mai? Potresti chiedere.
Allora, per fare un esempio più semplice : quando viaggi in automobile a velocità costante $v$ , tieni il piede fermo sull'acceleratore, il motore eroga la sua potenza a giri costanti.
La potenza è il prodotto di una forza per una velocità : $ P = F*v$ , giusto? Quindi c'è una forza $F$ , che è una forza motrice $F_m$ . Però se la velocità è costante tu non acceleri. E allora, a che serve quella forza motrice $F_m$ ? Serve a vincere tutte le resistenze al moto che l'auto incontra nel suo movimento a velocità costante: gli attriti interni del motore, della trasmissione, le deformazioni delle gomme, l'attrito volvente, l'attrito con l'aria....tutte queste "resistenze" costituiscono la "forza resistente" $F_r$ .
Allora, considerati i versi dei vettori-forza e proiettati sul piano orizzontale, il bilancio delle forze è semplicemente : $F_m - F_r = 0$ . La risultante delle forze agenti è zero, e l'auto viaggia a velocità costante.
Ora, trasporta questo stesso ragionamento al tuo caso. Il "momento resistente" minimo c'è sempre, ed è il "minimo valore" di momento che deve fornire il motore per poter tirare il corpo a velocità costante. Ma il testo dice che la massa deve essere accelerata. Quindi alla forza resistente che hai calcolato devi aggiungere ancora la quantità $M*a$ .
È come quando nell' automobile di prima vuoi accelerare : devi dare più potenza, cioè devi aumentare la forza motrice, quindi che fai ? Schiacci l'acceleratore, la potenza motrice supera quella resistente, e così la forza motrice supera la resistente, e la macchina accelera.
L'accelerazione $a$ data si traduce in accelerazione angolare della puleggia, e del motore (per questo, devi giustamente tener conto del rapporto di trasmissione). Di queste accelerazioni angolari si tiene conto nel calcolo del momento resistente, com già detto, moltiplicando ciascuna per il rispettivo momento di inerzia assiale.
Però...anche i dati di questo esercizio fanno piangere...mah!
Per sapere i fatti tuoi : quale corso stai frequentando, nel quale hai avuto questo esercizio ?
Ora mi è tutto molto più chiaro,
calcolo la forza necessaria per imprimere alla massa un accelerazione $a$ considerando la componente parallela al piano della forza peso, la forza di attrito e $M*a$ ; tale forza la utilizzo per calcolare il momento resistente $T*r$ ?
per il resto traduco l'accelerazione lineare $a$ in accelerazione angolare $alpha$ conoscendo il rapporto di trasmissione (come nel post precedente)
quindi alla fine posso calcolare il $M_m$ come da te indicato.
In tutto ciò mi resta solo un dubbio il rendimento $eta$ a cosa serve nei nostri calcoli ?
p.s. l'esercizio riguarda un esame di Meccanica applicata alle macchine; vorrei inoltre chiederti se puoi consigliarmi qualche testo (cartaceo o online) dove trovare esercizi sui rotismi (o motori come questo) e sistemi vibranti
calcolo la forza necessaria per imprimere alla massa un accelerazione $a$ considerando la componente parallela al piano della forza peso, la forza di attrito e $M*a$ ; tale forza la utilizzo per calcolare il momento resistente $T*r$ ?
per il resto traduco l'accelerazione lineare $a$ in accelerazione angolare $alpha$ conoscendo il rapporto di trasmissione (come nel post precedente)
quindi alla fine posso calcolare il $M_m$ come da te indicato.
In tutto ciò mi resta solo un dubbio il rendimento $eta$ a cosa serve nei nostri calcoli ?
p.s. l'esercizio riguarda un esame di Meccanica applicata alle macchine; vorrei inoltre chiederti se puoi consigliarmi qualche testo (cartaceo o online) dove trovare esercizi sui rotismi (o motori come questo) e sistemi vibranti
"frenky46":
Ora mi è tutto molto più chiaro,
calcolo la forza necessaria per imprimere alla massa un accelerazione $ a $ considerando la componente parallela al piano della forza peso, la forza di attrito e $ M*a $ ; tale forza la utilizzo per calcolare il momento resistente $ T*r $ ?
Esattamente. Insomma, la tensione $T$ nel cavo è costituita da 3 addendi. Per essere ancora più chiaro : se il piano fosse orizzontale e liscio, per accelerare la massa dovresti applicare "solo" la forza $ma$ . Essendo invece il piano inclinato e con attrito, e la massa da accelerare in salita, devi aggiungere gli altri due termini: forza di attrito, e componente del peso, nella forza che deve esercitare il cavo. Mi pare semplice da capire.
per il resto traduco l'accelerazione lineare $ a $ in accelerazione angolare $ alpha $ conoscendo il rapporto di trasmissione (come nel post precedente)
quindi alla fine posso calcolare il $ M_m $ come da te indicato.
In tutto ciò mi resta solo un dubbio il rendimento $ eta $ a cosa serve nei nostri calcoli ?
Esatto, la procedura è questa. Chiaro che le accelerazioni angolari sono due, essendo due i corpi ruotanti, e ciascuno ha il suo momento di inerzia, ovvio, no ?
Il rendimento $\eta$ : ti dicevo che l'esercizio è un po' strano, perché di solito si parla di rendimento quando si ragiona di "lavoro totale" fornito dalla macchina, uguale a "lavoro utile" + "lavoro perduto" , ovvero, sostituendo alla parola "lavoro" la parola "potenza" , si dice che $ P_t = P_u + P_p $ , con analogo significato dei pedici. Il rendimento meccanico del motore è quindi : $\eta = P_u/P_t = (P_t - P_p)/P_t = 1 - P_p/P_t$
Ma nel tuo esercizio hai solo il momento motore $M_m$ , che come sai è uno dei due fattori della potenza : $ P = M_m*\omega$ , essendo $\omega$ la velocità angolare del motore.
In mancanza di questo dato, il tuo esercizio suggerisce (ma non è molto corretto!) di applicare il rendimento $\eta$ al solo fattore $M_m$ ( io non lo farei, ma non c'è altro da fare! Però parlane al tuo prof, perché non so fino a che punto sia lecito!) , e quindi , il momento motore che prima hai calcolato dovrebbe essere il "momento motore utile" : essendo $\eta$ il rendimento, vuol dire che "una parte" del momento motore totale fornito dalla macchina si perde, e perciò per avere quel valore di $M_m$ calcolato il motore deve erogare un "momento totale" superiore.
In poche parole, dovrebbe essere : $M_t = M_m/\eta$ , e infatti essendo $\eta = 0.9$ il momento totale è maggiore di quello utile.
Ma ti ripeto che questo ragionamento per me non è molto corretto !
p.s. l'esercizio riguarda un esame di Meccanica applicata alle macchine; vorrei inoltre chiederti se puoi consigliarmi qualche testo (cartaceo o online) dove trovare esercizi sui rotismi (o motori come questo) e sistemi vibranti
Io utilizzavo degli esercizi dati di volta in volta dall'assistente, ma sono passati quasi 50 anni! Ora non saprei consigliarti! Forse qualche studente potrebbe.
Mi sembra di aver visto tempo fa un libro di esercizi di Jacazio-Piombo ...
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