Moto unidimensionale

[Mr.B1]

La velocità di un oggetto che si muove su un asse x è descritta dalla legge v=kx, dove k è una costante positiva. Sapendo che all’istante t=0 l’oggetto si trova in x=$x_0$>0, trovare:
a) La velocità e l’accelerazione di tale oggetto in funzione del tempo;
b) La velocità media di tale oggetto durante il tempo necessario ad arrivare alla
coordinata x=x1.

Buongiorno a tutti!
Per il punto a) vorrei sapere se questa soluzione è giusta $ v(t)=k^3xt^2 $ e $ a(t)=2k^3xt $
Grazie mille!

[donald_zeka]

$v=(dx)/(dt)$
Devi risolvere l'equazione differenziale

$(dx)/(dt)=kx$

La cui soluzione non é chiaramente quella riportata da te.

[Mr.B1]

"Vulplasir": $ (dx)/(dt)=kx $

Da cui ottengo $ ln x= kt $ cioè $ x=e^(kt) $
Ora dato che $ v=(dx)/(dt) $ ho $ v=(d(e^(kt)))/(dt)=ke^(kt) $ mentre $ a=(d(v))/(dt)=(d(ke^(kt)))/dt=k^2e^(kt) $

Giusto?

[donald_zeka]

Si, ma ti sei scordato le condizioni iniziali $x(0)=x_0$

[Mr.B1]

Dunque $ v(t=0)=ke^(k0)=k $ ma a $t=0$ ho $x=x_0$ cioè $v=kx_0$ per cui
$k=kx_0$ ovvero $x_0=1$

[donald_zeka]

Mmh no, le condizioni iniziali (dette anche condizioni al contorno) vanno imposte durante la risoluzione dell'equazione.

$(dx)/(dt)=kx$
$(dx)/(x)=kdt$

Integrando ambo i membri si ha:

$lnx=kt+c$

$x=e^(kt+c)=Ce^(kt)$

Imponendo la condizione $x(0)=x_0$ si ha:

$x_0=Ce^(k*0)=C$

Quindi la soluzione è:

$x(t)=x_0e^(kt)$

[Mr.B1]

"Vulplasir":$ x=e^(kt+c)=Ce^(kt) $

O mi sono completamente dimenticato delle proprietà dell'esponenziale oppure non saprei.
Non dovrebbe essere $ x=e^(kt+c)=e^Ce^(kt) $ ???

[axpgn]

Una è $c$, l'altra è $C$, non è la stessa roba ...

[Mr.B1]

Piccolo dettaglio passato inosservato (figura di m )
Grazie ad entrambi