Moto su un disco che ruota
Buon giorno a tutti, avrei un esercizio proposto dal prof all'orale ma non sono sicuro se il mio ragionamento è giusto:
c'e un disco omogeneo di massa M e raggio r libero di ruotare intorno ad un asse verticale, sul bordo del disco cammina un insettino di massa m. Se dalla parte opposta rispetto all'insetto, sul diametro, vi è segnato sul disco un puntino rosso, qual è l'angolo che forma il puntino con la verticale, dopo che l'insetto ha percorso un angolo di 90 gradi?
Non so se è chiaro...
io l'ho svolto cosi:
assumo come positivo il verso in cui si muove l'insetto, applico la seconda cardinale: detta F la reazione del disco,
$F R = m R^2 α_1$ dove F è la reazione del disco
da cui, per l'accelrazione angolare $α_1$ dell'insetto si ha:
$α_1 = F/mR$
Sul disco, per il 3° principio, agisce la forza $- F$ , quindi:
$- F R = (1/2) M R^2 α_2$
da cui
$α_2 = 2 F/MR$
eliminando F tra le due relazioni ottengo
$α_2 = (2 m/M) α_1$
Assumendo che F sia costante ho:
$θ_1 = (1/2) α_1 t²$
$θ_2 = (1/2) α_2 t²$
quindi il rapporto
$θ_1/θ_2 = α_1/α_2 = M/2m$
Se l'angolo $θ_1 = 90°$ rispetto al riferimento fisso, allora ho
$θ_2 = (2m/M) 90°$
solo che ho qualche dubbio, in primis il fatto che dovrei tener conto della velocità $v$ dell'insetto cosa che non ho fatto O.o
mi potete dire se è giusto o se sbaglio qualcosa? grazie mille a tutti
c'e un disco omogeneo di massa M e raggio r libero di ruotare intorno ad un asse verticale, sul bordo del disco cammina un insettino di massa m. Se dalla parte opposta rispetto all'insetto, sul diametro, vi è segnato sul disco un puntino rosso, qual è l'angolo che forma il puntino con la verticale, dopo che l'insetto ha percorso un angolo di 90 gradi?
Non so se è chiaro...
io l'ho svolto cosi:
assumo come positivo il verso in cui si muove l'insetto, applico la seconda cardinale: detta F la reazione del disco,
$F R = m R^2 α_1$ dove F è la reazione del disco
da cui, per l'accelrazione angolare $α_1$ dell'insetto si ha:
$α_1 = F/mR$
Sul disco, per il 3° principio, agisce la forza $- F$ , quindi:
$- F R = (1/2) M R^2 α_2$
da cui
$α_2 = 2 F/MR$
eliminando F tra le due relazioni ottengo
$α_2 = (2 m/M) α_1$
Assumendo che F sia costante ho:
$θ_1 = (1/2) α_1 t²$
$θ_2 = (1/2) α_2 t²$
quindi il rapporto
$θ_1/θ_2 = α_1/α_2 = M/2m$
Se l'angolo $θ_1 = 90°$ rispetto al riferimento fisso, allora ho
$θ_2 = (2m/M) 90°$
solo che ho qualche dubbio, in primis il fatto che dovrei tener conto della velocità $v$ dell'insetto cosa che non ho fatto O.o
mi potete dire se è giusto o se sbaglio qualcosa? grazie mille a tutti
Risposte
Prima di tutto andrebbe chiarito se il moto dell'insetto va considerato rispetto al disco oppure rispetto al riferimento inerziale. Assumiamo la seconda ipotesi, che è più semplice.
Il tuo procedimento è corretto...ma è inutilmente complicato. Invece che studiare separatamente il moto del disco e dell'insetto è meglio considerare il sistema "disco + insetto" ed il suo moto nel piano del disco (ignoriamo tutte le forze verticali dovute alla presenza del peso...tanto non cambia nulla). In questo modo, nel problema non entrano le forze interne tra insetto e disco (quella che tu hai chiamato $F$...) ed è tutto più semplice. Per tale sistema, l' unica forza esterna è la reazione dell'asse del disco. Se prendiamo come polo il centro del disco, il momento di tale forza è nullo, per cui la seconda cardinale del sistema è :
\(\displaystyle \dot L_{totale}=I_d\dot \omega_d + I_i\dot \omega_i =0 \Rightarrow \dot \omega_d=-\frac{2m}{M}\dot \omega_i\)
dove i pedici $d$ ed $i$ indicano le quantità relative al disco ed all'insetto e si è tenuto conto che $I_d=\frac{1}{2}MR^2$ e $I_i=mR^2$.
Per il resto, le tue considerazioni sulle leggi orarie e quindi sul rapporto tra gli angoli percorsi sono corrette.
Il tuo procedimento è corretto...ma è inutilmente complicato. Invece che studiare separatamente il moto del disco e dell'insetto è meglio considerare il sistema "disco + insetto" ed il suo moto nel piano del disco (ignoriamo tutte le forze verticali dovute alla presenza del peso...tanto non cambia nulla). In questo modo, nel problema non entrano le forze interne tra insetto e disco (quella che tu hai chiamato $F$...) ed è tutto più semplice. Per tale sistema, l' unica forza esterna è la reazione dell'asse del disco. Se prendiamo come polo il centro del disco, il momento di tale forza è nullo, per cui la seconda cardinale del sistema è :
\(\displaystyle \dot L_{totale}=I_d\dot \omega_d + I_i\dot \omega_i =0 \Rightarrow \dot \omega_d=-\frac{2m}{M}\dot \omega_i\)
dove i pedici $d$ ed $i$ indicano le quantità relative al disco ed all'insetto e si è tenuto conto che $I_d=\frac{1}{2}MR^2$ e $I_i=mR^2$.
Per il resto, le tue considerazioni sulle leggi orarie e quindi sul rapporto tra gli angoli percorsi sono corrette.
insomma mi sono complicato il procedimento:) grazie mille per la risposta:D
e se per caso voglio complicarmi ancora di piu l'esercizio e voglio considerare il caso del moto dell'insetto rispetto rispetto al disco e non rispetto al riferimento inerziale come dovrei procedere?
e se per caso voglio complicarmi ancora di piu l'esercizio e voglio considerare il caso del moto dell'insetto rispetto rispetto al disco e non rispetto al riferimento inerziale come dovrei procedere?
"manu91":
e se per caso voglio complicarmi ancora di piu l'esercizio e voglio considerare il caso del moto dell'insetto rispetto rispetto al disco e non rispetto al riferimento inerziale come dovrei procedere?
Quando ho detto di chiarire rispetto a cosa si consodera il moto dell'insetto mi riferivo ai 90 gradi percorsi dall'insetto.
In questo caso basta scrivere:
\(\displaystyle \omega_i=\omega_{id}+\omega_d \)
dove $\omega_{id}$ è la velocità angolare dell'insetto rispetto al disco. Questa relazione va sostituita nell'equazione del post precedente ed ottieni la relazione tra $\omega_{id}$ ed $\omega_{d}$.
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