Moto smorzato e velocità limite
Vorrei risolvere un paio di dubbi che ho sul moto smorzato e su come devo riuscire a risolvere un esercizio, per me troppo complicato, sull'argomento stesso.
Per ipotesi so che il moto è di tipo rettilineo e che l'accelerazione decresce linearmente con la velocità secondo un certo fattore di proporzionalità \(\displaystyle k \) positivo:
\(\displaystyle a(t) = -k\cdot v(t) \)
integro l'equazione differenziale per risalire alla legge oraria della velocità:
\(\displaystyle \frac{d v(t)}{d t} = -k\cdot v(t) \Rightarrow ln|v(t)|=-k \int dt \Rightarrow v(t) = c\cdot e^{-kt}\)
Prima domanda: come faccio a capire che quella costante \(\displaystyle c \) deve essere proprio la velocità iniziale \(\displaystyle v_0 \) ?
Vado avanti nell'integrazione per trovare la legge oraria della posizione:
\(\displaystyle x(t) = v_0 \int e^{-kt} dt \Rightarrow x(t) = v_0 [c-\frac{1}{k}e^{-kt}]\)
Seconda domanda (sempre sulla costante di integrazione): come faccio a capire quale valore assegnare alla mia costante \(\displaystyle c \) ? Che criterio dovrei seguire?
Terza domanda: il libro pone \(\displaystyle k = 1/\tau \) e chiama \(\displaystyle \tau \) costante di tempo.
Mi spiegate il significato fisico, in questo caso, della costante di tempo (sono sicuro che mi aiuterà a risolvere l'esercizio trattato in questo post)? Cosa rappresenta la costante di tempo?
Adesso passo all'esercizio proposto che non riesco a risolvere:
Per ipotesi so che il moto è di tipo rettilineo e che l'accelerazione decresce linearmente con la velocità secondo un certo fattore di proporzionalità \(\displaystyle k \) positivo:
\(\displaystyle a(t) = -k\cdot v(t) \)
integro l'equazione differenziale per risalire alla legge oraria della velocità:
\(\displaystyle \frac{d v(t)}{d t} = -k\cdot v(t) \Rightarrow ln|v(t)|=-k \int dt \Rightarrow v(t) = c\cdot e^{-kt}\)
Prima domanda: come faccio a capire che quella costante \(\displaystyle c \) deve essere proprio la velocità iniziale \(\displaystyle v_0 \) ?
Vado avanti nell'integrazione per trovare la legge oraria della posizione:
\(\displaystyle x(t) = v_0 \int e^{-kt} dt \Rightarrow x(t) = v_0 [c-\frac{1}{k}e^{-kt}]\)
Seconda domanda (sempre sulla costante di integrazione): come faccio a capire quale valore assegnare alla mia costante \(\displaystyle c \) ? Che criterio dovrei seguire?
Terza domanda: il libro pone \(\displaystyle k = 1/\tau \) e chiama \(\displaystyle \tau \) costante di tempo.
Mi spiegate il significato fisico, in questo caso, della costante di tempo (sono sicuro che mi aiuterà a risolvere l'esercizio trattato in questo post)? Cosa rappresenta la costante di tempo?
Adesso passo all'esercizio proposto che non riesco a risolvere:
Un paracadutista lanciandosi dall'aereo scende verticalmente in caduta libera per un tempo \(\displaystyle t_1 = 10 s \). Poi apre il paracadute e raggiunge il suolo dopo un tempo ulteriore \(\displaystyle t_2 = 50 s \). Supponendo che la resistenza dell'aria sia proporzionale alla velocità di caduta (forza resistente del tipo \(\displaystyle R= kv \) e che le velocità limite di caduta dell'uomo senza e con paracadute siano pari a \(\displaystyle v_1 = 60 m/s \) e \(\displaystyle v_2 = 5 m/s \), si determini lo spazio \(\displaystyle h \) di caduta con il paracadute aperto.
Risposte
\[\int \frac{dv}{v}=ln|v| + c'=-k\int dt=-kt+c''\ \Rightarrow\ ln|v|=-kt+c\ \Rightarrow\ v(t)=e^{-kt+c}\]con \(c=c'+c''\).
Ora poniamo per \(t=0, v(0)=v_{0}\)\[v_{0}=e^{c}\ \Rightarrow\ c=ln v_{0}\]e ora sostituiamo nella prima\[v(t)=e^{-kt+ln v_{0}}=e^{-kt}\cdot e^{ln v_{0}}=v_{0}\cdot e^{-kt}\]dove ho usato l'identità \(f=e^{ln f}\). Ora continua tu
Ah scusa dimenticavo la terza parte, allora lascia perdere il nome "costante di tempo" che comunque è importante, piuttosto osserva cosa accade alla funzione in base al cambiamento di questo parametro.
Spero tu sappia che moltiplicare una funzione oppure moltiplicare l'argomento della funzione ha l'effetto di un cambiamento di scala della funzione stessa, quindi se tu hai la funzione \(e^{x}\) e moltiplichi la funzione o la sua variabile per un qualche valore reale otterrai a seconda della moltiplicazione fatta quello che ho detto prima.
Ora poniamo per \(t=0, v(0)=v_{0}\)\[v_{0}=e^{c}\ \Rightarrow\ c=ln v_{0}\]e ora sostituiamo nella prima\[v(t)=e^{-kt+ln v_{0}}=e^{-kt}\cdot e^{ln v_{0}}=v_{0}\cdot e^{-kt}\]dove ho usato l'identità \(f=e^{ln f}\). Ora continua tu
Ah scusa dimenticavo la terza parte, allora lascia perdere il nome "costante di tempo" che comunque è importante, piuttosto osserva cosa accade alla funzione in base al cambiamento di questo parametro.
Spero tu sappia che moltiplicare una funzione oppure moltiplicare l'argomento della funzione ha l'effetto di un cambiamento di scala della funzione stessa, quindi se tu hai la funzione \(e^{x}\) e moltiplichi la funzione o la sua variabile per un qualche valore reale otterrai a seconda della moltiplicazione fatta quello che ho detto prima.
È incredibile quanto io sia stato idiota a non pensarci prima...bastava porre nulle le condizioni iniziali!
Ponendo dunque \(\displaystyle t=0 \) e \(\displaystyle x(0) = x_0 \) trovo la costante anche per l'altra legge oraria di posizione.
\(\displaystyle x_0 = v_0 ( c - 1/k) \Rightarrow c = \frac{v_0+kx_0}{kv_0} \)
quindi: \(\displaystyle x = v_0(\frac{v_0+kx_0}{kv_0} - \frac{1}{k} e^{-kt}) = \frac{v_0}{k}(1+\frac{x_0}{v_0} - e^{-kt})\)
Ho già osservato quanto tu mi hai suggerito di fare, ma credo che per affrontare l'esercizio in maniera adeguata, io abbia bisogno di comprendere a fondo il significato della costante di tempo! Pur avendo chiarito i miei dubbi sulle leggi orarie, il problema relativo all'esercizio resta ancora aperto per me!
Comunque sia grazie mille!!
Ponendo dunque \(\displaystyle t=0 \) e \(\displaystyle x(0) = x_0 \) trovo la costante anche per l'altra legge oraria di posizione.
\(\displaystyle x_0 = v_0 ( c - 1/k) \Rightarrow c = \frac{v_0+kx_0}{kv_0} \)
quindi: \(\displaystyle x = v_0(\frac{v_0+kx_0}{kv_0} - \frac{1}{k} e^{-kt}) = \frac{v_0}{k}(1+\frac{x_0}{v_0} - e^{-kt})\)
Ho già osservato quanto tu mi hai suggerito di fare, ma credo che per affrontare l'esercizio in maniera adeguata, io abbia bisogno di comprendere a fondo il significato della costante di tempo! Pur avendo chiarito i miei dubbi sulle leggi orarie, il problema relativo all'esercizio resta ancora aperto per me!
Comunque sia grazie mille!!
Prima cosa ricontrolla i calcoli:
\[\int dx=x+c'=\int vdv=v_{0}\int e^{-kt}dt=-\frac{v_{0}}{k}(e^{-kt}+c'')=-\frac{v_{0}}{k}\cdot e^{-kt}+c'''\]in quanto ho posto \(c'''=-\frac{v_{0}c''}{k}\), ponendo ora \(c=c'''-c'\)\[x(t)=-\frac{v_{0}}{k}\cdot e^{-kt}+c\]per \(t=0, x(0)=x_{0}\) si ha che \(c=x_{0}+\frac{v_{0}}{k}\) per cui \[x(t)=x_{0}+\frac{v_{0}}{k}(1-e^{-kt})\]
Ora passiamo alla costante di tempo, prendi per esempio questa uguaglianza
\[v(t)=v_{0}\cdot e^{−kt}\]
ora \(v\) ha le dimensioni di uno spazio su tempo, quindi a destra dovrai avere le stesse dimensioni, ma se anche \(v_{0}\) ha le dimensioni di uno spazio su tempo questo significa che l'esponenziale deve essere adimensionale e quindi \(\tau=\frac{1}{k}\) deve avere le dimensioni di un tempo (in realtà è il contrario ovvero si parte dal fatto che tutte le funzioni trascendenti devono essere adimensionali).
Per l'esercizio pensa a cosa succede... il moto può essere suddiviso in due fasi: caduta libera e caduta con il paracadute, entrambi sono moti rettilinei smorzati esponenzialmente in quanto il paracadutista è sempre immerso nel fluido... quindi ora continua tu (osserva che la velocità iniziale della caduta libera è v_{0}=0)
\[\int dx=x+c'=\int vdv=v_{0}\int e^{-kt}dt=-\frac{v_{0}}{k}(e^{-kt}+c'')=-\frac{v_{0}}{k}\cdot e^{-kt}+c'''\]in quanto ho posto \(c'''=-\frac{v_{0}c''}{k}\), ponendo ora \(c=c'''-c'\)\[x(t)=-\frac{v_{0}}{k}\cdot e^{-kt}+c\]per \(t=0, x(0)=x_{0}\) si ha che \(c=x_{0}+\frac{v_{0}}{k}\) per cui \[x(t)=x_{0}+\frac{v_{0}}{k}(1-e^{-kt})\]
Ora passiamo alla costante di tempo, prendi per esempio questa uguaglianza
\[v(t)=v_{0}\cdot e^{−kt}\]
ora \(v\) ha le dimensioni di uno spazio su tempo, quindi a destra dovrai avere le stesse dimensioni, ma se anche \(v_{0}\) ha le dimensioni di uno spazio su tempo questo significa che l'esponenziale deve essere adimensionale e quindi \(\tau=\frac{1}{k}\) deve avere le dimensioni di un tempo (in realtà è il contrario ovvero si parte dal fatto che tutte le funzioni trascendenti devono essere adimensionali).
Per l'esercizio pensa a cosa succede... il moto può essere suddiviso in due fasi: caduta libera e caduta con il paracadute, entrambi sono moti rettilinei smorzati esponenzialmente in quanto il paracadutista è sempre immerso nel fluido... quindi ora continua tu (osserva che la velocità iniziale della caduta libera è v_{0}=0)
grazie per la correzione! Per quanto riguarda la costante di tempo, ho già fatto anch'io il ragionamento che hai fatto tu, che effettivamente porta a pensare che io abbia sbagliato qualcosa nella formula che ho ricavato, ma non riesco a interpretare quantitativamente la costante di tempo: nel moto smorzato, che significato ha? Cosa rappresenta? È la misura di un tempo, ok. Si misura in secondi, ma che tempo rappresenta? La mia domanda era questa! Per l'esercizio, non so proprio come usare i dati dei tempi per inserirli nella legge del moto smorzato, per questo chiedo aiuto! Il mio problema non è di tipo deduttivo, riesco a dedurre tutto ciò che è necessario ma non ho mai visto alcun esempio pratico applicato e non so come usare i dati dell'esercizio
LA costante di tempo, detta anche "tempo caratteristico" , è ...innanzitutto un tempo! Infatti come dice il Cuspide (o la Cuspide?) l'esponente di $e$ deve essere adimensionale.
Che tempo è ?
Scriviamo cosí la velocità : $v = v_0*e^(-t/\tau) $
Se poniamo $t = \tau$, otteniamo la velocità al tempo caratteristico : $ v(\tau) = v_0/e = 0.367*v_0$
Vuol dire che, dopo un tempo uguale al tempo caratteristico, la velocità si è ridotta di una frazione significativa di quella iniziale :
$(v_0- v(\tau))/v_0 = 1 - 1/e = 0.633 $.
Se disegni il grafico della velocità in funzione del tempo $v = v(t)$ , devi mettere $v_0$ sull' asse delle ordinate, e tracciare una curva nel primo quadrante con concavità verso l'alto, che tende asintoticamente all'asse dei tempi. Se calcoli la derivata $(dv)/(dt)$ per $t = 0$ , ottieni il coefficiente angolare della tangente al grafico nel punto iniziale detto: si tratta della decelerazione iniziale. Prolungando la tangente fino ad intersecare l'asse $t$ , il punto di intersezione è proprio il tempo caratteristico $\tau$.
Quindi questo sarebbe il tempo necessario perchè il punto mobile, con quella decelerazione supposta costante, arrivasse a fermarsi.
(Stiamo supponendo in questo caso la forza frenante proporzionale alla prima potenza della velocità: $F_r = -bv$ : più grande è $b$, più piccola è la velocità limite, e più presto si raggiunge una frazione apprezzabile della velocità limite.
Ma non sempre è così : la forza frenante potrebbe essere proporzionale a potenze della velocità con esponente superiore a 1. )
Che tempo è ?
Scriviamo cosí la velocità : $v = v_0*e^(-t/\tau) $
Se poniamo $t = \tau$, otteniamo la velocità al tempo caratteristico : $ v(\tau) = v_0/e = 0.367*v_0$
Vuol dire che, dopo un tempo uguale al tempo caratteristico, la velocità si è ridotta di una frazione significativa di quella iniziale :
$(v_0- v(\tau))/v_0 = 1 - 1/e = 0.633 $.
Se disegni il grafico della velocità in funzione del tempo $v = v(t)$ , devi mettere $v_0$ sull' asse delle ordinate, e tracciare una curva nel primo quadrante con concavità verso l'alto, che tende asintoticamente all'asse dei tempi. Se calcoli la derivata $(dv)/(dt)$ per $t = 0$ , ottieni il coefficiente angolare della tangente al grafico nel punto iniziale detto: si tratta della decelerazione iniziale. Prolungando la tangente fino ad intersecare l'asse $t$ , il punto di intersezione è proprio il tempo caratteristico $\tau$.
Quindi questo sarebbe il tempo necessario perchè il punto mobile, con quella decelerazione supposta costante, arrivasse a fermarsi.
(Stiamo supponendo in questo caso la forza frenante proporzionale alla prima potenza della velocità: $F_r = -bv$ : più grande è $b$, più piccola è la velocità limite, e più presto si raggiunge una frazione apprezzabile della velocità limite.
Ma non sempre è così : la forza frenante potrebbe essere proporzionale a potenze della velocità con esponente superiore a 1. )
"lucamennoia":
Per l'esercizio, non so proprio come usare i dati dei tempi per inserirli nella legge del moto smorzato, per questo chiedo aiuto! Il mio problema non è di tipo deduttivo, riesco a dedurre tutto ciò che è necessario ma non ho mai visto alcun esempio pratico applicato e non so come usare i dati dell'esercizio
Beh non sei riuscito a dedurre proprio tutto.. perchè quei tempi non è che li devi "infilare a casaccio": allora io ti ho scritto che durante la caduta il corpo rimane (sia a paracadute chiuso che aperto) immerso in un fluido che è l'aria.. poi ti ho detto osserva che la sua velocità iniziale è nulla.. Ora (io l'ho dato per scontato) il problema forse è che tu ti dimentichi che il corpo ha anche un'altra accelerazione che è quella di gravità, e te ne saresti dovuto accorgere considerando la struttura della accelerazione smorzata, ovvero NO VELOCITA' (iniziale)?\(\Rightarrow\) NO PART"I"!
Grazie per l'aiuto sulle formule "cuspide83"! Ma per quanto riguarda la questione sulla costante di tempo, io non cercavo qualcuno che mi risolvesse il problema, come tu hai probabilmente pensato, ma che me lo spiegasse e questo è riuscito a farlo in maniera completa ed esauriente "navigatore". Ora penso di poter perlomeno iniziare ad affrontare il problema da solo!
Correggetemi se sbaglio:
terminato il primo tratto senza paracadute, la velocità (che nel vuoto dovrebbe essere 98 m/s) è di 60 m/s.
Il problema consiste quindi nel caratterizzare il moto nel secondo tratto: conosciamo la velocità iniziale che è di 60 m/s e il tempo impiegato per arrivare al suolo che è di 50 s.
Devo ricavare il giusto valore di \(\displaystyle \tau \) e per questa informazione credo di dovermi servire della velocità limite di 5 m/s, ma in che modo?
Correggetemi se sbaglio:
terminato il primo tratto senza paracadute, la velocità (che nel vuoto dovrebbe essere 98 m/s) è di 60 m/s.
Il problema consiste quindi nel caratterizzare il moto nel secondo tratto: conosciamo la velocità iniziale che è di 60 m/s e il tempo impiegato per arrivare al suolo che è di 50 s.
Devo ricavare il giusto valore di \(\displaystyle \tau \) e per questa informazione credo di dovermi servire della velocità limite di 5 m/s, ma in che modo?
Innanzitutto come hai già detto bisogna aspettarsi che le velocità calcolate siano relativamente inferiori a quelle trovate per un problema analogo nel vuoto.
Comunque tu sai che la velocità nel primo tratto in funzione del tempo è
\[v(t)=\frac{g}{k}(1-e^{-kt})\]
ora quello che sostanzialmente ha già detto in altre parole anche navigatore, è che per un tempo \(t\) uguale o maggiore al tempo caratteristico \(\tau\) in pratica la velocità subisce variazioni sempre più piccole, cioè tende a essere costante, ovvero ancora, il moto è approssimabile a un moto rettilineo uniforme (la forza peso che è costante piano piano viene eguagliata dalla forza di attrito viscoso).
La funzione \(v(t)\) è come vedi crescente e asintotica, e l'esercizio ti da la cosidetta velocità limite \(v_{1}\) che è proprio il valore asintotico
\[v_{1}=\lim_{t\to+\infty}\frac{g}{k}(1-e^{-kt})=\frac{g}{k}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}k=\frac{g}{v_{1}}\]
se sostituisci il valore di \(k\) trovi come velocità finale dell'uomo nel primo tratto \(v_{f}=48.3\frac{m}{s}\), non come avevi scritto qui
Adesso continua tu
!
Comunque tu sai che la velocità nel primo tratto in funzione del tempo è
\[v(t)=\frac{g}{k}(1-e^{-kt})\]
ora quello che sostanzialmente ha già detto in altre parole anche navigatore, è che per un tempo \(t\) uguale o maggiore al tempo caratteristico \(\tau\) in pratica la velocità subisce variazioni sempre più piccole, cioè tende a essere costante, ovvero ancora, il moto è approssimabile a un moto rettilineo uniforme (la forza peso che è costante piano piano viene eguagliata dalla forza di attrito viscoso).
La funzione \(v(t)\) è come vedi crescente e asintotica, e l'esercizio ti da la cosidetta velocità limite \(v_{1}\) che è proprio il valore asintotico
\[v_{1}=\lim_{t\to+\infty}\frac{g}{k}(1-e^{-kt})=\frac{g}{k}\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}k=\frac{g}{v_{1}}\]
se sostituisci il valore di \(k\) trovi come velocità finale dell'uomo nel primo tratto \(v_{f}=48.3\frac{m}{s}\), non come avevi scritto qui
"lucamennoia":
terminato il primo tratto senza paracadute, la velocità (che nel vuoto dovrebbe essere 98 m/s) è di 60 m/s.
Adesso continua tu
!
Ci sto mettendo una vita per capire sta maledetta storia!
Mi spiace doverti fermare prima ma in realtà non ho proprio idea da dove esca quell'equazione!!!
\(\displaystyle v(t) = \frac{g}{k}{(1-e^{-kt}}) \)
Mi spiace doverti fermare prima ma in realtà non ho proprio idea da dove esca quell'equazione!!!
\(\displaystyle v(t) = \frac{g}{k}{(1-e^{-kt}}) \)
Allora tu hai che sul corpo "agiscono" le due accelerazioni, quella di gravità e quella di smorzamento, e la loro somma algebrica è l'accelerazione totale del corpo
\[a=g-kv\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}\frac{dv}{dt}=g-kv\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}\frac{dv}{g-kv}=dt\]
quindi integri e ritrovi quello che ti ho scritto sopra.
\[a=g-kv\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}\frac{dv}{dt}=g-kv\hspace{1 cm}\Rightarrow\hspace{1 cm}\frac{dv}{g-kv}=dt\]
quindi integri e ritrovi quello che ti ho scritto sopra.
Grazie, se non ho sbagliato i conti e i ragionamenti allora dovrei aver risolto il problema!
Allego un'immagine dell'esercizio svolto! Correggetemi se ho sbagliato!
https://www.dropbox.com/s/fa0idn5q4e3wk76/Esercizio%20moto%20smorzato.jpg
Allego un'immagine dell'esercizio svolto! Correggetemi se ho sbagliato!
https://www.dropbox.com/s/fa0idn5q4e3wk76/Esercizio%20moto%20smorzato.jpg
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo