Moto smorzato
Ora come procedo per trovare la soluzione dell'equazione differenziale? Devo distinguere i tre casi del discriminante? Quali sono le condizioni che mi permettono di stabilire i valori delle due costanti di integrazione?
Risposte
Se cerchi le soluzioni in campo complesso puoi evitare di distinguere i tre casi. La naturale separazione nei tre casi avviene utilizzando a posteriori la formula di Eulero.
Per determinare le due costanti di integrazione devi usare le condizioni iniziali riguardo posizione e velocità
Per determinare le due costanti di integrazione devi usare le condizioni iniziali riguardo posizione e velocità
Ok ma quale è la formula di Eulero?
forse $y=e^(\alphax)(c_(1)cos\betax+c_(2)sin\betax)$?
Certamente devi distinguere i tre casi del discriminante dell'equazione caratteristica perchè cambia molto la forma della soluzione $x = x(t) $.
a) Delta > 0 , allora hai 2 valori reali e distinti,$ k_1 , k_2 $ come soluzione dell'equazione caratteristica il che porta a una soluzione dell'equazione differenziale così fatta : $x = c_1e^(k_1t) +c_2 e^(K_2t)$ naturalmente se k_1 , k_2 sono negativi la soluzione tende asintoticamente a 0 ; se invece sono positivi la soluzione "esplode" per t che tende a $+00 $.
b) Delta = 0 ; sia $k_1 $ soluzione doppia allora si avrà :
$x = c_1e^(k_1t)+c_2te^(k_1t)
c) se delta < 0 allora le radici dell'equazione caratteristica sono complesse coniugate del tipo :
$ a+-ib $ con soluzione $ x = e^(at)*[A cos bt +B sin bt ]$; naturalmente se a < 0 la soluzione è una sinusoide smorzata , se a > 0 si ha una sinusoide che esplode..
Per determinare le due costanti basta imporre 2 condizioni iniziali, ad esempio
la posizione iniziale : $x(0) = x_0 $
la velocità iniziale : $x'(0) = x'_0$.
Camillo
a) Delta > 0 , allora hai 2 valori reali e distinti,$ k_1 , k_2 $ come soluzione dell'equazione caratteristica il che porta a una soluzione dell'equazione differenziale così fatta : $x = c_1e^(k_1t) +c_2 e^(K_2t)$ naturalmente se k_1 , k_2 sono negativi la soluzione tende asintoticamente a 0 ; se invece sono positivi la soluzione "esplode" per t che tende a $+00 $.
b) Delta = 0 ; sia $k_1 $ soluzione doppia allora si avrà :
$x = c_1e^(k_1t)+c_2te^(k_1t)
c) se delta < 0 allora le radici dell'equazione caratteristica sono complesse coniugate del tipo :
$ a+-ib $ con soluzione $ x = e^(at)*[A cos bt +B sin bt ]$; naturalmente se a < 0 la soluzione è una sinusoide smorzata , se a > 0 si ha una sinusoide che esplode..
Per determinare le due costanti basta imporre 2 condizioni iniziali, ad esempio
la posizione iniziale : $x(0) = x_0 $
la velocità iniziale : $x'(0) = x'_0$.
Camillo
Formula di Eulero:
$ e^{i \theta} = cos \theta + i sin \theta $
$ e^{i \theta} = cos \theta + i sin \theta $
Ok grazie. Però in teoria la soluzione dell'equazione differenziale dovrebbe essere la funzione x=f(t) del moto armonico smorzato. Cmq oggi non ho avuto tempo...domani proverò con le indicazioni che mi avete dato...
Ciao
Ciao
Il caso c) da me indicato , se a < 0, è proprio un moto armonico smorzato.
Camillo
Camillo
Allora date un'occhiata a quello che ho combinato.
Cosa rappresenta $c_(2)$ dal punto di vista fisico?
Cosa rappresenta $c_(2)$ dal punto di vista fisico?
Mentre ci siamo mi dareste un'occhiata anche a questo?
Dovrei trovare la funzione y=f(t) per un corpo in caduta libera.
Come faccio ora a determinare le tre costanti?
Grazie
Dovrei trovare la funzione y=f(t) per un corpo in caduta libera.
Come faccio ora a determinare le tre costanti?
Grazie
Per il secondo attenzione che la soluzione e':
$y=c_1 + c_2 e^(-(\lambda)/mt) $ + integrale particolare
Visto che una volta l'hai scritto col + e una volta col - penso che si tratti solo di un errore di battitura....
Nella soluzione finale hai sbagliato a copiare la soluzione particolare:
$ q(t)=(mg)/\lambda [size=150]t[/size] + c $
Per le tre costanti.
1.
La $c$ la puoi benissimo far assorbire dalla $c_1$ cosi' ne elimini 1a
2.
Imponendo $y(0)=0$ (scegliendo appositamente il sistema di riferimento) si ha:
$c_1+c_2=0$
3.
Imponendo $y'(0)=0$ (e qui pero' dovrebbe esserci scritta nel testo del problema la $v_0$) si trova:
$-(\lambda)/m c_2 + (mg)/\lambda=0$
Da queste due equazioni puoi ricavare $c_1$ e $c_2$......
$y=c_1 + c_2 e^(-(\lambda)/mt) $ + integrale particolare
Visto che una volta l'hai scritto col + e una volta col - penso che si tratti solo di un errore di battitura....
Nella soluzione finale hai sbagliato a copiare la soluzione particolare:
$ q(t)=(mg)/\lambda [size=150]t[/size] + c $
Per le tre costanti.
1.
La $c$ la puoi benissimo far assorbire dalla $c_1$ cosi' ne elimini 1a
2.
Imponendo $y(0)=0$ (scegliendo appositamente il sistema di riferimento) si ha:
$c_1+c_2=0$
3.
Imponendo $y'(0)=0$ (e qui pero' dovrebbe esserci scritta nel testo del problema la $v_0$) si trova:
$-(\lambda)/m c_2 + (mg)/\lambda=0$
Da queste due equazioni puoi ricavare $c_1$ e $c_2$......
Primo problema .
Chiedi che significato ha la costante $c_2$.
Poichè la parte : $c_1cos beta*t+c_2*sin beta*t $ la puoi anche scrivere come :
$c sin(beta*t+fi )$ , essendo fi un angolo di fase [ in parole povere la combinazione lineare di una sinusoide e una cosinusoide di egual frequenza è ancora una sinusoide ( o cosinusoide, è lo stesso ) con un opportuno sfasamento fi .
In formule : $ c_1cos beta*t +c_2 sin beta*t = c sin(beta*t +fi)$ e si trova subito che :
$ -c_2/c_1 = tan(fi) $.
Quindi il rapporto tra le costanti è legato allo sfasamento della sinusoide .
Vedo poi che hai esaminato solo il caso di discriminante della equazione caratteristica < 0 , cioè il caso in cui
$ b < 2sqrt(mk) $ , cioè forza smorzante non troppo grande rispetto alla massa e alla costante elastica della molla e infatti la soluzione indica oscillazioni smorzate.
Se invece ti metti nella condizione limite di $ b = 2sqrt(mk) $ , cioè di forza smorzante più elevata allora ottieni come soluzione (la equazione caratteristica ha una radice doppia pari a $ -b/2m = -sqrt(k/m) $ ):
$ x(t) = c_1e^(-(sqrt(k/m))*t )+c_2* t* e^(-(sqrt(k/m))*t $ e quindi essendo b abbastanza significativo non hai oscillazioni ma subito smorzamento esponenziale.
Camillo
Chiedi che significato ha la costante $c_2$.
Poichè la parte : $c_1cos beta*t+c_2*sin beta*t $ la puoi anche scrivere come :
$c sin(beta*t+fi )$ , essendo fi un angolo di fase [ in parole povere la combinazione lineare di una sinusoide e una cosinusoide di egual frequenza è ancora una sinusoide ( o cosinusoide, è lo stesso ) con un opportuno sfasamento fi .
In formule : $ c_1cos beta*t +c_2 sin beta*t = c sin(beta*t +fi)$ e si trova subito che :
$ -c_2/c_1 = tan(fi) $.
Quindi il rapporto tra le costanti è legato allo sfasamento della sinusoide .
Vedo poi che hai esaminato solo il caso di discriminante della equazione caratteristica < 0 , cioè il caso in cui
$ b < 2sqrt(mk) $ , cioè forza smorzante non troppo grande rispetto alla massa e alla costante elastica della molla e infatti la soluzione indica oscillazioni smorzate.
Se invece ti metti nella condizione limite di $ b = 2sqrt(mk) $ , cioè di forza smorzante più elevata allora ottieni come soluzione (la equazione caratteristica ha una radice doppia pari a $ -b/2m = -sqrt(k/m) $ ):
$ x(t) = c_1e^(-(sqrt(k/m))*t )+c_2* t* e^(-(sqrt(k/m))*t $ e quindi essendo b abbastanza significativo non hai oscillazioni ma subito smorzamento esponenziale.
Camillo
Ok grazie ad entrambi.
@david_e
In effetti nel primo ho fatto qualche errore di battitura...
@david_e
In effetti nel primo ho fatto qualche errore di battitura...
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