Moto rotatorio del corpo rigido
ciao! avrei un dubbio sul moto rotatorio del corpo rigido: supponiamo di avere un certo corpo rigido su agiscono delle forze di risultante $\vec F^E$. siano inoltre $\vec M_O^E$ il momento delle forze e $\vec L_O $ il momento angolare (rispetto ad un polo $ O $ ).
vogliamo studiare il moto rotatorio del corpo, il quale è descritto dall'equazione:
$\vec M_O^E = d/dt \vec L_O $
ora il mio libro dice "nel caso particolare in cui $\vec L_O $ è parallelo all'asse di rotazione $z$ si ha $\vec L_O = I_z\vec\omega$ quindi vale $\vec M_O^E = I_z\vec\alpha $"
ma a me sorge una semplice domanda: come faccio a sapere quale è l'asse di rotazione prima ancora di aver studiato il moto rotatorio del corpo? devo supporre esistano dei vincoli meccanici tali per cui il corpo è costretto a ruotare intorno ad un certo asse? e se non ci fosse nessun vincolo?
grazie in anticipo per ogni contributo
vogliamo studiare il moto rotatorio del corpo, il quale è descritto dall'equazione:
$\vec M_O^E = d/dt \vec L_O $
ora il mio libro dice "nel caso particolare in cui $\vec L_O $ è parallelo all'asse di rotazione $z$ si ha $\vec L_O = I_z\vec\omega$ quindi vale $\vec M_O^E = I_z\vec\alpha $"
ma a me sorge una semplice domanda: come faccio a sapere quale è l'asse di rotazione prima ancora di aver studiato il moto rotatorio del corpo? devo supporre esistano dei vincoli meccanici tali per cui il corpo è costretto a ruotare intorno ad un certo asse? e se non ci fosse nessun vincolo?
grazie in anticipo per ogni contributo
Risposte
Per studiare il moto di un corpo rigido libero si procede in generale così. Innanzitutto si stabilisce "convenzionalmente" un riferimento di "quiete" , rispetto al quale va considerato il corpo. Solitamente il riferimento di quiete è inerziale, ma si può studiare il moto di un corpo rigido anche in un riferimento che non sia inerziale, a prezzo di maggior complicazioni : nascono delle "forze apparenti" che si considerano agenti sul corpo, dovute alla non inerzialità del riferimento.
Ma ora non complichiamoci la vita, supponiamo che il riferimento sia inerziale.
Allora si possono scrivere, in esso, le due equazioni cardinali della dinamica, tenendo conto delle forze esterne direttamente applicate (ed eventuali reazioni vincolari esterne, se il corpo non fosse libero del tutto), equazioni che penso tu conosca. La prima equazione dà al centro di massa del corpo una importanza particolare: infatti essa afferma in sostanza che il CM si muove come se in esso fosse concentrata tutta la massa del corpo e ad esso fossero applicate tutte le forze esterne, (incluso eventuali reazioni vincolari).
Questo perché la qdm di un corpo (in genere, di un sistema) è uguale al prodotto della massa per la velocità del CM (rispetto al riferimento di quiete, ovvio) . In pratica, il CM si comporta, e si muove, come un punto materiale di massa $M$ soggetto al risultante delle forze esterne applicato ad esso.
Anche la seconda equazione cardinale (il momento delle forze esterne , incluso ev. reazioni vincolari, rispetto ad un polo, causa variazione del momento angolare rispetto a quel polo ) assume forma più semplice se il polo è un punto fisso o il CM del corpo. Se il polo è diverso, c'è untermine aggiuntivo, dato dal momento, rispetto al polo, della q.m. del corpo applicata nel CM.
In teoria si potrebbe prendere anche un altro punto qualsiasi come punto di riferimento solidale al corpo in moto, diverso dal CM. Cioè a dire : prendo un punto del corpo, determino il moto di questo punto sotto l'azione delle forze, e poi considero il moto del corpo rispetto a questo punto. Ma questo comporta complicazioni nella scrittura delle equazioni, come ho accennato.
LA soluzione più semplice consiste nell'assumere il CM come punto di riferimento del corpo, e determinare preventivamente come si muove il CM grazie alle forze applicate. Al CM attacco poi un riferimento solidale col corpo, e di solito si sceglie la terna centrale di inerzia. Poi si va studiare il moto del corpo, cioè di questo ri.f mobile ad esso solidale, rispetto al CM, che a questo punto si considera come "punto fisso" .
A tale scopo, ci sono le equazioni di Eulero che risolvono il problema del moto di un corpo rigido rispetto a un punto fisso.
Ma talvolta capita che il "punto fisso" sia assegnato, per esempio pensa al caso della trottola pesante : qui il punto fisso è il punto di contatto tra la punta della trottola e il piano.E allora non ci sono santi, devi assumere questo come polo.
Ti ricordo poi dalla cinematica che "ogni atto di moto rigido (detto anche "stato cinetico") è elicoidale. C'è una retta, in un dato istante, nel rif. fisso, rispetto al quale "scivola" una retta parallela solidale al rif. mobile, e il vettore velocità angolare istantanea è parallelo, in quell'istante, a tale retta, detta "asse di Mozzi".
Ma l'asse di Mozzi può essere diverso da istante a istante, e anche la velocità angolare $vec\omega$ può essere diversa da istante a istante. Però, in un dato istante, la velocità angolare è la stessa per tutti i punti del corpo. Che vuol dire? Ricordiamoci che per un corpo rigido il campo di vettori velocità è dato da :
$vecv_P = vecv_O + vec\omegaxx(P-O)$
dove $O$ è il polo scelto, che come ho detto sopra conviene prendere nel CM . Cambiando il polo $O$ in un altro polo $O_1$ , la formula prima scritta vale , in un dato istante , con lo stesso vettore $vec\omega$ . In altri termini, il vettore velocità angolare non definisce la posizione dell'asse di rotazione del corpo rigido.
Perciò, nel caso sia assegnato un asse fisso , il corpo non può che ruotare attorno a tale asse. Analogamente se è assegnato un punto fisso. MA se il corpo è libero, non c'è altra via che quella detta : determinare il moto del CM e poi considerare fisso il CM e determinare il moto del corpo rispetto a tale CM.
Sono stato sintetico, lo so. Ma sono concetti alquanto complessi, e una trattazione completa della questione richiede praticamente un corso completo di Meccanica Razionale.
Ti segnalo alcune interessanti discussioni sull'argomento, qui , e qui ,
e questa , e quest'altra .
Queste sono comunque cose che un buon libro, e un buon professore, spiegano meglio .
Ma ora non complichiamoci la vita, supponiamo che il riferimento sia inerziale.
Allora si possono scrivere, in esso, le due equazioni cardinali della dinamica, tenendo conto delle forze esterne direttamente applicate (ed eventuali reazioni vincolari esterne, se il corpo non fosse libero del tutto), equazioni che penso tu conosca. La prima equazione dà al centro di massa del corpo una importanza particolare: infatti essa afferma in sostanza che il CM si muove come se in esso fosse concentrata tutta la massa del corpo e ad esso fossero applicate tutte le forze esterne, (incluso eventuali reazioni vincolari).
Questo perché la qdm di un corpo (in genere, di un sistema) è uguale al prodotto della massa per la velocità del CM (rispetto al riferimento di quiete, ovvio) . In pratica, il CM si comporta, e si muove, come un punto materiale di massa $M$ soggetto al risultante delle forze esterne applicato ad esso.
Anche la seconda equazione cardinale (il momento delle forze esterne , incluso ev. reazioni vincolari, rispetto ad un polo, causa variazione del momento angolare rispetto a quel polo ) assume forma più semplice se il polo è un punto fisso o il CM del corpo. Se il polo è diverso, c'è untermine aggiuntivo, dato dal momento, rispetto al polo, della q.m. del corpo applicata nel CM.
In teoria si potrebbe prendere anche un altro punto qualsiasi come punto di riferimento solidale al corpo in moto, diverso dal CM. Cioè a dire : prendo un punto del corpo, determino il moto di questo punto sotto l'azione delle forze, e poi considero il moto del corpo rispetto a questo punto. Ma questo comporta complicazioni nella scrittura delle equazioni, come ho accennato.
LA soluzione più semplice consiste nell'assumere il CM come punto di riferimento del corpo, e determinare preventivamente come si muove il CM grazie alle forze applicate. Al CM attacco poi un riferimento solidale col corpo, e di solito si sceglie la terna centrale di inerzia. Poi si va studiare il moto del corpo, cioè di questo ri.f mobile ad esso solidale, rispetto al CM, che a questo punto si considera come "punto fisso" .
A tale scopo, ci sono le equazioni di Eulero che risolvono il problema del moto di un corpo rigido rispetto a un punto fisso.
Ma talvolta capita che il "punto fisso" sia assegnato, per esempio pensa al caso della trottola pesante : qui il punto fisso è il punto di contatto tra la punta della trottola e il piano.E allora non ci sono santi, devi assumere questo come polo.
Ti ricordo poi dalla cinematica che "ogni atto di moto rigido (detto anche "stato cinetico") è elicoidale. C'è una retta, in un dato istante, nel rif. fisso, rispetto al quale "scivola" una retta parallela solidale al rif. mobile, e il vettore velocità angolare istantanea è parallelo, in quell'istante, a tale retta, detta "asse di Mozzi".
Ma l'asse di Mozzi può essere diverso da istante a istante, e anche la velocità angolare $vec\omega$ può essere diversa da istante a istante. Però, in un dato istante, la velocità angolare è la stessa per tutti i punti del corpo. Che vuol dire? Ricordiamoci che per un corpo rigido il campo di vettori velocità è dato da :
$vecv_P = vecv_O + vec\omegaxx(P-O)$
dove $O$ è il polo scelto, che come ho detto sopra conviene prendere nel CM . Cambiando il polo $O$ in un altro polo $O_1$ , la formula prima scritta vale , in un dato istante , con lo stesso vettore $vec\omega$ . In altri termini, il vettore velocità angolare non definisce la posizione dell'asse di rotazione del corpo rigido.
Perciò, nel caso sia assegnato un asse fisso , il corpo non può che ruotare attorno a tale asse. Analogamente se è assegnato un punto fisso. MA se il corpo è libero, non c'è altra via che quella detta : determinare il moto del CM e poi considerare fisso il CM e determinare il moto del corpo rispetto a tale CM.
Sono stato sintetico, lo so. Ma sono concetti alquanto complessi, e una trattazione completa della questione richiede praticamente un corso completo di Meccanica Razionale.
Ti segnalo alcune interessanti discussioni sull'argomento, qui , e qui ,
e questa , e quest'altra .
Queste sono comunque cose che un buon libro, e un buon professore, spiegano meglio .
innanzitutto grazie per avermi risposto (perdipiù in modo così serio)
in compenso io non ho specificato una cosa importante: il corpo rigido lo sto studiando non in meccanica razionale ma come parte di fisica I (diciamo che sto facendo per la prima volta le eq. cardinali e le relative applicazioni); di conseguenza alcuni dei termini "tecnici" (asse di mozzi/ terna d'inerzia/ eq. di eulero) che hai usato sono per me abbastanza nebulosi.
aldilà di questo penso di aver capito grosso modo che:
1) devo fissare un sistema di riferimento comodo (inerziale) e studiare il moto traslatorio del centro di massa tramite la prima eq. cardinale $\vecF^E = M\veca_(CM) $
2) fisso il sistema non inerziale del centro di massa e cerco di studiare il moto dei punti del corpo rispetto al centro di massa (il punto fisso)
continuo invece a non capire quale sia, in tutto ciò, il ruolo della seconda eq. $\vecM_O^E = d/dt\vecL_O$.. serve forse per trovare $\vec\omega$?
sul mio libro dicono la seguente cosa:
- c'è un caso semplice il cui il momento angolare (delle forze esterne) è parallelo all'asse di rotazione e si ha che $\vecM_O^E = d/dt\vecL_O$ diventa $\vecM_O^E = I\vec\alpha$
- nel caso generale il momento angolare ha anche una componente non parallela all'asse di rotazione, in questo caso si ha una precessione dell'asse di rotazione (c'entra qualcosa col moto elicoidale di cui parlavi?)
rimane però poco chiaro, nelle parole del libro, quale sia questo asse di rotazione di cui si parla (è un asse assegnato?).
in compenso io non ho specificato una cosa importante: il corpo rigido lo sto studiando non in meccanica razionale ma come parte di fisica I (diciamo che sto facendo per la prima volta le eq. cardinali e le relative applicazioni); di conseguenza alcuni dei termini "tecnici" (asse di mozzi/ terna d'inerzia/ eq. di eulero) che hai usato sono per me abbastanza nebulosi.
aldilà di questo penso di aver capito grosso modo che:
1) devo fissare un sistema di riferimento comodo (inerziale) e studiare il moto traslatorio del centro di massa tramite la prima eq. cardinale $\vecF^E = M\veca_(CM) $
2) fisso il sistema non inerziale del centro di massa e cerco di studiare il moto dei punti del corpo rispetto al centro di massa (il punto fisso)
continuo invece a non capire quale sia, in tutto ciò, il ruolo della seconda eq. $\vecM_O^E = d/dt\vecL_O$.. serve forse per trovare $\vec\omega$?
sul mio libro dicono la seguente cosa:
- c'è un caso semplice il cui il momento angolare (delle forze esterne) è parallelo all'asse di rotazione e si ha che $\vecM_O^E = d/dt\vecL_O$ diventa $\vecM_O^E = I\vec\alpha$
- nel caso generale il momento angolare ha anche una componente non parallela all'asse di rotazione, in questo caso si ha una precessione dell'asse di rotazione (c'entra qualcosa col moto elicoidale di cui parlavi?)
rimane però poco chiaro, nelle parole del libro, quale sia questo asse di rotazione di cui si parla (è un asse assegnato?).
"Koller":
innanzitutto grazie per avermi risposto (perdipiù in modo così serio)
L'argomento è serio, ma se vuoi ci metto delle faccine :
……(io scherzo pure, ogni tanto!)in compenso io non ho specificato una cosa importante: il corpo rigido lo sto studiando non in meccanica razionale ma come parte di fisica I (diciamo che sto facendo per la prima volta le eq. cardinali e le relative applicazioni); di conseguenza alcuni dei termini "tecnici" (asse di mozzi/ terna d'inerzia/ eq. di eulero) che hai usato sono per me abbastanza nebulosi.
Bene, vuol dire che ho anticipato alcuni concetti, e le nubi si diraderanno il prossimo anno, quando studierai la meccanica razionale e avrai tempo di farti venire il mal di pancia con questa roba indigesta!
aldilà di questo penso di aver capito grosso modo che:
1) devo fissare un sistema di riferimento comodo (inerziale) e studiare il moto traslatorio del centro di massa tramite la prima eq. cardinale $\vecF^E = M\veca_(CM) $
2) fisso il sistema non inerziale del centro di massa e cerco di studiare il moto dei punti del corpo rispetto al centro di massa (il punto fisso)
LA 1) va bene. Per la 2), prendi il CM come origine di un sistema di coordinate solidale al corpo, i cui assi sono cioè inchiodati nel corpo, e sono gli assi centrali di inerzia (vedi 1 più avanti) del corpo: questa è la terna più comoda che puoi prendere, ma non importa specificare se è inerziale o no, anzi in generale non lo è rispetto al riferimento fisso inerziale precedentemente assunto come rif. di "quiete" . Però rispetto al corpo questa terna è ferma, anzi è il corpo ad essere fermo rispetto ad essa, perché ripeto: è bloccata col corpo ! Chiaro? Questa terna si muove insieme al corpo, rispetto al rif. fisso, traslando (come la sua origine, il CM del corpo) e ruotando rispetto al CM : ma siccome hai risolto a parte il problema del moto traslatorio del CM rispetto al rif. fisso, ora rimane da considerare solo la rotazione del corpo (cioè della terna mobile) rispetto al CM.
(1) Però, viste le tue (per ora limitate, ma poi aumenteranno!) conoscenze, come faccio a spiegarti che cosa sono gli assi centrali di inerzia ? Bè, se il corpo ha degli assi di simmetria, è facile : un asse di simmetria è centrale di inerzia . Se il corpo ruota in un certo istante attorno a un asse di simmetria , la velocità angolare $vec\omega$ e il vettore momento angolare $vecL$ in quello stesso istante ( calcolato rispetto all'origine) sono paralleli. Dico "in un certo istante" perché in generale l'asse di rotazione può variare, pur passando sempre per il CM ( ricordati: stiamo studiando ora solo la parte rotatoria del moto!) .
Prendi per esempio un disco omogeneo, come una moneta. L'asse baricentrico perpendicolare al piano del disco è asse di simmetria, quindi è asse centrale di inerzia del disco : se ruota attorno a tale asse $z$ , si ha :
$vecL = I_zvec\omega$
ma il disco ha anche altri infiniti assi centrali di inerzia. Se metti la moneta di taglio sopra un tavolo, e la metti rapidamente in rotazione con le dita, l'asse di rotazione, che giace nel piano del disco ed è perpendicolare al tavolo, è asse di simmetria (per rotazione di 180°) ed è centrale di inerzia. Anche qui , il vettore $vecL$ e il vettore $vec\omega$ sono paralleli.
Potrei farti numerosi altri esempi. Prendi una sfera omogenea: ogni asse passante per il centro è di simmetria, quindi è centrale di inerzia.
Prendi un cubo omogeneo : come si comporta rispetto alla rotazione attorno ad un asse passante per il centro ? Ci sono differenze, a seconda della scelta dell'asse ? Pensa bene prima di rispondere.
Ma per un corpo di forma qualsiasi , come una pietra senza alcuna simmetria, come si fa a capire quali sono gli assi centrali di inerzia, che godono della proprietà detta (e cioè, ruotando attorno a un asse centrale d' inerzia : $vecL = I_a*vec\omega$ , essendo $I_a$ il momento di inerzia rispetto a quell'asse ) ???
Be', si fa con i metodi della meccanica razionale. Se vuoi te lo accenno, ma non mi sembra il caso.
Qual è il vantaggio di scegliere la terna centrale di inerzia, anche per un corpo qualsiasi ? È che, dato un asse di rotazione (sia pure istantaneo, cioè che vale in un istante ma non nel successivo) passante per il CM , il momento angolare e la velocità angolare in quell'istante sono legati da un relazione semplice , la più semplice possibile :
$vecL = vec\omega$ , ovvero : $ (L_1,L_2,L_3) = (I_1\omega_1, I_2\omega_2, I_3\omega_3) $
dove $ = diag (I_1,I_2,I_3)$ è la matrice di inerzia , diagonale, costituita dai tre momenti centrali di inerzia del corpo.
Ma non voglio insistere oltre , ho paura di mettere troppa carne a cuocere.
continuo invece a non capire quale sia, in tutto ciò, il ruolo della seconda eq. $\vecM_O^E = d/dt\vecL_O$.. serve forse per trovare $\vec\omega$?
LA seconda equazione dice che se applichi al corpo un momento di forze esterne c'è una corrispondente variazione del momento angolare. In generale , può aversi variazione sia della intensità che della direzione di $vecL$ . Sussiste la seguente relazione tra la variazione di $vecL$ nel rif. fisso e quella nel rif. mobile (perché $vecL$ può variare anche nel corpo ) :
$[(dvecL)/(dt)]_F = [(dvecL)/(dt)]_M + vec\omegaxxvecL$
ma su questo non insisto, lo capirai a suo tempo.
Quindi quella relazione che hai scritto serve a calcolare la accelerazione angolare, non la velocità. Prendi la tua bicicletta, girala col manubrio a terra , e imprimi un "momento di forza" alla ruota anteriore, cioè dà un colpo alla gomma: si ha variazione del momento angolare , perché la ruota accelera da zero ad una certa velocità angolare. Cessato il colpo, cessa pure l'accelerazione angolare, e la ruota continua a ruotare con vel. costante (attriti a parte). Oppure, viceversa, mentre la ruota sta ruotando avel. angolare costante, applica un momento di forza costante per fermarla, in pratica facendo strisciare la ruota contro la mano : il momento angolare diminuisce di intensità pur rimanendo come vettore parallelo all'asse della ruota; la ruota decelera fino all'arresto.
Quella equazione va completata, nell'esempio ora fatto : $\vecM_O^E = d/(dt)\vecL_O = I (d\omega)/(dt) = I*\alpha$
Questo risponde alla seguente domanda :
sul mio libro dicono la seguente cosa:
- c'è un caso semplice il cui il momento angolare (delle forze esterne) è parallelo all'asse di rotazione e si ha che $\vecM_O^E = d/dt\vecL_O$ diventa $\vecM_O^E = I\vec\alpha$
Infatti il momento della forza acceleratrice o frenante è un vettore, diretto come l'asse della ruota, parallelo quindi all'asse di rotazione.
- nel caso generale il momento angolare ha anche una componente non parallela all'asse di rotazione, in questo caso si ha una precessione dell'asse di rotazione (c'entra qualcosa col moto elicoidale di cui parlavi?)
rimane però poco chiaro, nelle parole del libro, quale sia questo asse di rotazione di cui si parla (è un asse assegnato?).
È così, c'è una componente di $vecL$ perpendicolare all'asse di rotazione, ma non c'entra nulla col moto elicoidale di cui parlavo. Certo che senza un esempio non si capisce.
L'asse di rotazione è assegnato.
Prendi il disco di cui parlavo nel primo caso. Se l'asse di rotazione, pur passando per il baricentro, non è perpendicolare al piano del disco, quando lo fai ruotare, non essendo un asse centrale di inerzia e cioè un asse di simmetria, nascono delle forze centrifughe il cui momento riporterebbe la rotazione nel piano, se l'asse non fosse sostenuto da cuscinetti i quali equilibrano tale momento.
Su quale libro studi ? Qualunque sia il libro, ci deve essere l'esempio del manubrio ,cioè una barretta senza massa con due masse uguali alle due estremità, che è saldato al centro ad un asse di rotazione obliquo rispetto alla barretta : anche qui, l'asse di rotazione è baricentrico, ma non è centrale di inerzia. Nasce un momento delle forze centrifughe, che è equilibrato dal momento esercitato dai cuscinetti. Quindi il manubrio continua ruotare in questa posizione inclinata rispetto all'asse , ma lo può fare perché appunto il momento delle forze centrifughe è equilibrato dal momento esercitato dai cuscinetti. Il vettore $vec\omega$ giace sull'asse di rotazione, mentre il vettore $vecL$ è perpendicolare all'asse del manubrio, e ruota con esso. Si può scomporre in due vettori, di cui uno sull'asse di rotazione (che vale sempre : $vecL_z = I_zvec\omega$ ) e l'altro perpendicolare all'asse di rotazione, ruotante con la stessa velocità angolare.
Guarda qui, e anche qui.
Sto profondamente meditando su tutta la questione alla luce di tutto ció (In piú mi é capitato per le mani un nuovo libro assai interessante). In ogni caso complimenti sei stato esaustivo oltre ogni mia speranza e per questo ti auguro di trovare, uno di questi giorni, la schedina vincente del Superenalotto buttata via per terra da qualcuno che non ne aveva bisogno....
Scherzi a parte grazie a te penso/spero di essermi liberato da un paio di dubbi gravosi (non avevo mica capito che il corpo rigido fosse un argomento cosí vasto: alcune delle domande che mi facevo erano fuori luogo rispetto a ció che devo sapere per il mio corso). Forse ti disturberó Tra qualche giorno per avere delle conferme, nel frattempo vai con la mia benedizione!
PS libri ne uso parecchi: il mencucci-silvestrini, il mazzoldi-nigro-voci (sia il vecchio che il nuovo), il rosati e il focardi-uguzzoni-massa..
Scherzi a parte grazie a te penso/spero di essermi liberato da un paio di dubbi gravosi (non avevo mica capito che il corpo rigido fosse un argomento cosí vasto: alcune delle domande che mi facevo erano fuori luogo rispetto a ció che devo sapere per il mio corso). Forse ti disturberó Tra qualche giorno per avere delle conferme, nel frattempo vai con la mia benedizione!
PS libri ne uso parecchi: il mencucci-silvestrini, il mazzoldi-nigro-voci (sia il vecchio che il nuovo), il rosati e il focardi-uguzzoni-massa..
ti auguro di trovare, uno di questi giorni, la schedina vincente del Superenalotto buttata via per terra da qualcuno che non ne aveva bisogno....
In tal caso, ti darei una ottima percentuale , sicuro …..
Forse ti disturberó Tra qualche giorno per avere delle conferme, nel frattempo vai con la mia benedizione!
Scrivi pure, se io non so rispondere ci sarà qualcun altro. Per le benedizione, sei forse papa Francesco ? Sarebbe la migliore benedizione disponibile sulla piazza!
non avevo mica capito che il corpo rigido fosse un argomento cosí vasto
lo è ancor di più , per esempio ci sono i fenomeni giroscopici…..
Sul Mencuccini-Silvestrini, ottimo libro, c'è l'esempio del manubrio rotante, cercalo e non spaventarti per la matematica.
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