Moto rettilineo smorzato
Ciao, ho ancora alcuni problemi con il moto smorzato e le equazioni differenziali. Mi dareste una mano?
Il testo dell'esercizio è: una locomotiva accelera un treno di 25 vagoni su un binario in piano. Ogni vagone ha una massa di $5,0 \cdot 10^4 kg$ ed è soggetto ad una forza di attrito dipendente dalla velocità secondo l'espressione $f = (250 {Ns}/m)v$. Quando la velocità del treno è $30 {km}/h$, l'accelerazione vale $0,20 m/s^2$. Qual è la tensione del gancio tra la locomotiva e il primo vagone? Se questa rappresenta la forza massima che essa riesce a sviluppare, su quale pendenza può viaggiare alla velocità di $30 {km}/h$?
Verso la fine non riesco ad andare avanti...
Considerando $b = 250 {Ns}/m$, pongo $f = -bv$ e poiché $F = ma$ allora $-bv = m\frac{dv}{dt}$
Separando le variabili ottengo $-bdt = m\frac{dv}{v}$ e sviluppando l'integrale definito ricavo: $-\frac{bt}{m} = ln(\frac{v}{v_0})$...
$\frac{v}{v_0}=e^{-\frac{b}{m}t}$
Se non erro, non ho la velocità finale... quindi potrei sostituire all'equazione $v = at+v_0$
$\frac{at+v_0}{v_0}=e^{-\frac{b}{m}t}$
A questo punto, se sostituisco i valori ottengo un'equazione irrisolvibile coi numeri reali... dovrei chiamare in causa i complessi, quindi ho sicuramente sbagliato qualcosa... come posso risolvere? Grazie in anticipo
Il testo dell'esercizio è: una locomotiva accelera un treno di 25 vagoni su un binario in piano. Ogni vagone ha una massa di $5,0 \cdot 10^4 kg$ ed è soggetto ad una forza di attrito dipendente dalla velocità secondo l'espressione $f = (250 {Ns}/m)v$. Quando la velocità del treno è $30 {km}/h$, l'accelerazione vale $0,20 m/s^2$. Qual è la tensione del gancio tra la locomotiva e il primo vagone? Se questa rappresenta la forza massima che essa riesce a sviluppare, su quale pendenza può viaggiare alla velocità di $30 {km}/h$?
Verso la fine non riesco ad andare avanti...
Considerando $b = 250 {Ns}/m$, pongo $f = -bv$ e poiché $F = ma$ allora $-bv = m\frac{dv}{dt}$
Separando le variabili ottengo $-bdt = m\frac{dv}{v}$ e sviluppando l'integrale definito ricavo: $-\frac{bt}{m} = ln(\frac{v}{v_0})$...
$\frac{v}{v_0}=e^{-\frac{b}{m}t}$
Se non erro, non ho la velocità finale... quindi potrei sostituire all'equazione $v = at+v_0$
$\frac{at+v_0}{v_0}=e^{-\frac{b}{m}t}$
A questo punto, se sostituisco i valori ottengo un'equazione irrisolvibile coi numeri reali... dovrei chiamare in causa i complessi, quindi ho sicuramente sbagliato qualcosa... come posso risolvere? Grazie in anticipo
Risposte
io non le disturberei le equazioni differenziali (soprattutto all'ora in cui ha scritto il post)
posto $v_0=30 (km)/h$ ,detta $tau$ la tensione ed $n$ il numero di vagoni,si ha
$tau-nf_0=nma$
$f_0=f(v_0)$
posto $v_0=30 (km)/h$ ,detta $tau$ la tensione ed $n$ il numero di vagoni,si ha
$tau-nf_0=nma$
$f_0=f(v_0)$
Grazie! 
Quindi, sostituendo viene: $T = 25 \cdot 250 \cdot 8,3 [N] + 5 \cdot 25 \cdot 0,2 \cdot 10^4 [N]$
$T = 3,0 * 10^5$ [N]
Mi sembrava un moto smorzato da risolvere con le equ. differenziali... (dello stesso tipo di quello cui hai risposto in un post tempo fa). In effetti non mi chiede di calcolare il tempo che impiega il treno a passare da una velocità all'altra... e le 3:30 di mattina non aiutano.
Passando al secondo punto, mi chiede di trovare la pendenza su cui può viaggiare con tale forza massima...
$T + 25P\sin\theta = 0$, da cui $\theta = 1,4°$... se non ho fatto errori.
Quindi, sostituendo viene: $T = 25 \cdot 250 \cdot 8,3 [N] + 5 \cdot 25 \cdot 0,2 \cdot 10^4 [N]$
$T = 3,0 * 10^5$ [N]
Mi sembrava un moto smorzato da risolvere con le equ. differenziali... (dello stesso tipo di quello cui hai risposto in un post tempo fa). In effetti non mi chiede di calcolare il tempo che impiega il treno a passare da una velocità all'altra... e le 3:30 di mattina non aiutano.
Passando al secondo punto, mi chiede di trovare la pendenza su cui può viaggiare con tale forza massima...
$T + 25P\sin\theta = 0$, da cui $\theta = 1,4°$... se non ho fatto errori.
Ti faccio comunque notare che l'equazione del moto che hai scritto :
non è corretta.
La seconda eq. della dinamica ti dice che, se $M = Sigmam$ è la massa totale dei $ n = 25$ vagoni, e $T$ è la forza motrice applicata dalla locomotiva, la risultante di forza motrice e forza resistente, che è uguale a $-nbv$ , deve accelerare la massa $M$ :
$M(dv)/(dt) = T - nbv$
Passando alla seconda parte, devi considerare : $T = "cost"$ . Inoltre, anche la velocità è assegnata, pari a : $ v = 30 (km)/h$ , cioè si richiede che in salita il treno non acceleri più, ma si muova a velocità costante.
Ora però in salita , oltre a $T$ e alla forza di attrito ( queste due sono vettori paralleli entrambi al piano inclinato,e per ipotesi la forza di attrito qui non dipende dall'angolo,no?), che sono entrambe costanti, c'è anche la componente del peso dei 25 vagoni lungo il piano inclinato , che si oppone al moto.
La somma delle tre componenti delle tre forze lungo il piano deve essere nulla, se si vuole che l'accelerazione sia zero.
"Angel-MK03":
………...
Considerando $ b = 250 {Ns}/m $, pongo $ f = -bv $ e poiché $ F = ma $ allora $ -bv = m\frac{dv}{dt} $
……….
non è corretta.
La seconda eq. della dinamica ti dice che, se $M = Sigmam$ è la massa totale dei $ n = 25$ vagoni, e $T$ è la forza motrice applicata dalla locomotiva, la risultante di forza motrice e forza resistente, che è uguale a $-nbv$ , deve accelerare la massa $M$ :
$M(dv)/(dt) = T - nbv$
Passando alla seconda parte, devi considerare : $T = "cost"$ . Inoltre, anche la velocità è assegnata, pari a : $ v = 30 (km)/h$ , cioè si richiede che in salita il treno non acceleri più, ma si muova a velocità costante.
Ora però in salita , oltre a $T$ e alla forza di attrito ( queste due sono vettori paralleli entrambi al piano inclinato,e per ipotesi la forza di attrito qui non dipende dall'angolo,no?), che sono entrambe costanti, c'è anche la componente del peso dei 25 vagoni lungo il piano inclinato , che si oppone al moto.
La somma delle tre componenti delle tre forze lungo il piano deve essere nulla, se si vuole che l'accelerazione sia zero.
Grazie Navigatore! Avevo considerato solo la forza di attrito per un singolo vagone.
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