Moto relativo di due corpi

[feddy]

Ciao a tutti,

ho svolto questo esercizio, ma non sono sicuro di aver ben compreso il testo, che è il seguente.

Due manicotti come in figura, assimilabili a corpi puntiformi 1 e 2, entrambi di massa m =0.5 kg sono vincolati a muoversi lungo una guida orizzontale liscia essendo ancorati alle estremità opposte di una molla di costante elastica $k = 24 N/m$ e di lunghezza a riposo $l_0 = 0.6 m$, coassiale con la guida. Inizialmente i due manicotti sono in quiete a distanza relativa pari alla lunghezza di riposo l 0 della molla, con il manicotto 1 posto nel punto O. All’istante t = 0 viene applicata al manicotto 2 una forza di intensità $F_0 = 19.6 N$ parallela alla guida rettilinea e diretta nel verso tale da tendere (= far allungare) la molla.
Determinare per t> 0 nel sistema di riferimento cartesiano Ox,t con l’asse orizzontale x orientato come indicato in
figura:
a) il diagramma delle forze agenti sui due manicotti;
b) l’equazione del moto del centro di massa del sistema;
c) le legge oraria x CM (t) del centro di massa del sistema;
d) l’equazione del moto di ciascun manicotto;
e) l’equazione del moto relativo dei due manicotti;
f) la distanza relativa tra i due manicotti in funzione del tempo;
g) la legge orarie del moto di ciascuno dei due manicotti nel sistema di riferimento del centro di massa;
h) la legge orarie del moto di ciascuno di essi nel sistema di riferimento solidale alla guida.

svolgimento:

La situazione fisica che ho capito io è la seguente: viene tirato il manicotto 2 con una forza $F_0$, in modo da farlo allungare. Quando è teso, e allungato di una certa quantità $\Delta_x=\frac{F_0}{k}$, lo rilascio e inizia il moto dei due corpi.


Chiamo $m_1$ la massa ancorata in O e $m_2$ l'altra massa.
a)
Su $m_1$ agiscono la sua forza peso ( e corrispondente reazione vincolare) + la forza elastica.
Su $m_2$ agisce ancora la forza elastica, oltre al peso, alla reazione vincolare e a $F_0$.
b)
Ovviamente con le molle a riposo il centro di massa è $x_{CM}(0)=\frac{l_0}{2}$.

Si ha che ${m_1+ m_2) a_{CM} = F_0$, perciò $a_{CM}= \frac{F_0}{m_1 + m_2}$, da cui si ricava

c)

$x_{CM}(t)=\frac{l_0}{2} + \frac{F_0 t^2}{2(m_1+m_2)}$

d)
Sul primo manicotto:

$m_1 a_1=-k[(x_1- x_2) - l_0]$

Sul secondo manicotto:

$m_2 a_2= - k [(x_2 - x_1) - l_0]$

e) Ora, dalle equazioni sopra, sottraendo alla seconda la prima, e ricordando che $F_{el}(x_{21})=-F_{el}(x_{12})$ ricavo

$a_{21}= - \frac{k}{\mu} [(x_2 - x_1) - l_0]$

dove $\mu$ è la massa ridotta $\frac{m_1m_2}{m_1 + m_2}$

Si ricava quindi: $\ddot{x_{21}} + \omega^2 x_{21} = \frac{k}{\mu} l_0$.

f) la soluzione è la solita $x_{21}(t)=A \sin(\omega t + \phi) + l_0$.

Imponendo le condizioni iniziali:
$x_{21}(0)=A \sin (\phi) + l_0=\Delta_x$. Si ha che $x_2 (0) - x_1 (0) =Delta_x + l_0= \frac{F_0}{k}+l_0$, quindi risulta $A \sin(\phi)=\frac{F_0}{k}$

$\dot{x_{21}(0)}=0$, perciò $\phi=\frac{\pi}{2}$.

In definitiva,

$[x_{21}(t)=\frac{F_0}{k} (1 - \cos(\omega t))]$

g) Valgono le relazioni $x_{2}^{'}= \frac{m_1}{m_1+m_2} x_{12}(t)$ e $x_{1}^{'}(t)=\frac{m_2}{m_1 + m_2} x_{21}(t)$.

h) Nel sistema laboratorio, o sistema di riferimento solidale alla guida, vale la relazione di triangolazione $x_1 = x_{1}^{'} + x_{CM}$, perciò

$[x_{1}(t)=x_{CM}(t) + x_{1}^{'}(t)=\frac{l_0}{2} + \frac{F_0}{2(m_1+m_2)} t^2 + \frac{F_0}{k} (1-\cos(\omega t))]$

.

Analogamente si procede per $x_2(t)$.

[Bokonon]

"feddy":

All’istante t = 0 viene applicata al manicotto 2 una forza di intensità $F_0 = 19.6 N$

Viene applicata e poi mantenuta per sempre?
O per un solo secondo?
Si deve conoscere questo dettaglio!

[feddy]

E' esattamente questo il mio dubbio! Secondo me il testo non è chiaro. Io ho supposto venisse applicata e poi rilasciando la molla libera di compiere il moto e ho risolto (spero correttamnte) con questa condizione.

Anche perché, nell'altro caso non saprei come iniziare. Un'altra cosa che mi lascia perplesso è che il centro di massa si muova di moto accelerato... è possibile?

[Bokonon]

"feddy":
Anche perché, nell'altro caso non saprei come iniziare. Un'altra cosa che mi lascia perplesso è che il centro di massa si muova di moto accelerato... è possibile?

Accadrebbe solo se la forza venisse applicata costantemente...
Francamente il problema mi lascia perplesso.

[feddy]

Vero. Quindi la legge oraria del cdm, nel caso in cui il corpo sia tirato e poi rilasciato, quale sarebbe? Non saprei proprio come ricavarla.

[Bokonon]

"feddy":Vero. Quindi la legge oraria del cdm, nel caso in cui il corpo sia tirato e poi rilasciato, quale sarebbe? Non saprei proprio come ricavarla.

Che ti posso dire? Devi decidere se la forza sarà costante per sempre oppure se dura, ad es, un secondo.
Altrimenti che senso ha risolverlo?

[feddy]

Già. Nel caso durasse un certo intervallo di tempo, questa corrisponderebbe a un impulso $J=F \Delta t$, perciò potrei determinare il tutto molto facilmente, tipo velocità del cdm, e condizini iniziali del moto relativo.

Altrimenti, se fosse applicata costantemente?

[Bokonon]

"feddy":
Altrimenti, se fosse applicata costantemente?

Ricavi le equazioni orarie partire da $F=19,6=M*a_(cm)$ Dove M è la somma è la somma delle due masse ovvero 1 kg

[feddy]

Orbene, provo a farlo e posto quello che trovo