Moto punto materiale traiettoria
Ciao!domanda molto semplice...se un punto materiale si muove su una curva (traiettoria) sinusoidale come varia l'accelerazione nel sistema tangente normale?!nel senso che se ipotizziamo il moto uniforme (s=v*t) con v costante allora dalla formula di acc.centripeta e tangenziale avrei la tangenziale nulla e la centripeta costante lungo tutta la curva...giusto!? Però intuitivamente non mi torna...cioè se siete in macchina e fate un percorso sinusoidale nel "tratto discendente" o "crescente" si ha un acc. Centripeta minore...sbaglio? È qualcosa legato alla normale alla curva!? Grazie
Risposte
Se ragioni bene su come è fatta la traiettoria, che è una sinusoide per ipotesi, ti rendi conto che ci sono punti dove la curvatura è maggiore , e punti dove è nulla, e il centro di curvatura passa dall'altra parte.
Quindi l'accelerazione centripeta dipende da dove ti trovi, e certamente entra in gioco la "normale alla curva" .
Per fissare le idee, supponiamo che la traiettoria sia la sinusoide di equazione cartesiana : $ y = senx$ .
La velocità è un vettore tangente alla traiettoria in ogni punto. Cioè :
$ vecv = vhat\tau$ , dove $hat\tau$ è il versore tangente alla curva, variabile col tempo . Per cui :
$veca = (dv)/(dt) hat\tau + v (d\hat\tau)/(dt) $
Il primo termine, cioè l'accelerazione tangenziale, è nullo per ipotesi perché la velocità ha modulo costante. Ma il secondo termine no.
Data una curva di equazione cartesiana $y = y(x)$ , la curvatura in un punto è dato da :
$K = ((d^2y)/(dx^2) )/[1 + ((dy)/(dx))^2]^(3/2)$
Qui trovi l'espressione per la sinusoide
Ma dove sono finite tutte le risposte che avevo letto ?!
Quindi l'accelerazione centripeta dipende da dove ti trovi, e certamente entra in gioco la "normale alla curva" .
Per fissare le idee, supponiamo che la traiettoria sia la sinusoide di equazione cartesiana : $ y = senx$ .
La velocità è un vettore tangente alla traiettoria in ogni punto. Cioè :
$ vecv = vhat\tau$ , dove $hat\tau$ è il versore tangente alla curva, variabile col tempo . Per cui :
$veca = (dv)/(dt) hat\tau + v (d\hat\tau)/(dt) $
Il primo termine, cioè l'accelerazione tangenziale, è nullo per ipotesi perché la velocità ha modulo costante. Ma il secondo termine no.
Data una curva di equazione cartesiana $y = y(x)$ , la curvatura in un punto è dato da :
$K = ((d^2y)/(dx^2) )/[1 + ((dy)/(dx))^2]^(3/2)$
Qui trovi l'espressione per la sinusoide
Ma dove sono finite tutte le risposte che avevo letto ?!
Grazie della risposta..quindi la formula che mi hai dato è k (x) giusto!? Si può dire in sintesi che il punto avrà accelerazione centripeta nulla nei punti di x in cui k è nullo e negli altri avrà valore pari alla velocità al quadrato diviso la curvatura k (x) nel punto x in cui si trova?
Tieni presente che la curvatura $k$ è l'inverso del raggio di curvatura $\rho = 1/k$ . Per cui, dove la curvatura è nulla il raggio è $\infty$ , e viceversa . L'accelerazione centripeta la modulo $v^2/\rho = v^2*k$ .
Nel tuo caso, il raggio di curvatura è minimo nei punti di ascissa $x= \pi/2 + n\pi$ , e quindi in tali punti l'accelerazione centripeta è massima in valore. Invece si annulla nei punti $n\pi$ , in cui la sinusoide taglia l'asse $x$ .
Se ho detto male , qualche matematico vorrà correggermi .
Ma sul serio : avevo letto delle risposte , dove sono finite ?
Nel tuo caso, il raggio di curvatura è minimo nei punti di ascissa $x= \pi/2 + n\pi$ , e quindi in tali punti l'accelerazione centripeta è massima in valore. Invece si annulla nei punti $n\pi$ , in cui la sinusoide taglia l'asse $x$ .
Se ho detto male , qualche matematico vorrà correggermi .
Ma sul serio : avevo letto delle risposte , dove sono finite ?
Ok grazie mille!:) no guarda ho scritto sia qui che su analisi che qui non rispondeva nessuno....!:) grazie comunque! 
Ah ,ecco…ho guardato in analisi, ti avevano risposto bene.
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