Moto parabolico problema
Un cannone è in grado di sparare proiettili con velocità iniziale \(\displaystyle v_0 = \frac{300m}{s} \). Si calcoli le inclinazioni, rispetto all'orizzontale, alle quali può sparare per colpire un bersaglio che si trovi alla sua stessa quota e ad una distanza \(\displaystyle d = 5km \).
Non riesco a risolvere il problema in quanto differisco nei risultati, comunque posto il mio svolgimento in attesa di chiarimenti.
Lungo l'asse delle x il moto è rettilineo uniform, quindi l'accelerazione è nulla.
Lungo l'asse delle y il moto è uniformemente accelerato.
Metto a sistema le due leggi orarie, premettendo che colloco il cannone nell'origine degl'assi, quindi \(\displaystyle x_0 = 0 \) e \(\displaystyle y_0 = 0 \):
\(\displaystyle x(t)=v_{0x}t \)
\(\displaystyle y(t) = v_{0y}t-\frac{1}{2}gt^2 \)
Ora so che \(\displaystyle v_{0x} = v_0cos\alpha \) e che \(\displaystyle v_{0y} = v_0sin\alpha \), dove \(\displaystyle \alpha \) è l'angolo che \(\displaystyle v_0 \) forma con l'orizzontale.
ora mi ricavo il tempo dalla prima ed avrò:
\(\displaystyle t = \frac{x(t)}{v_{0x}} \), nella seconda impongo la condizione \(\displaystyle y(t) = 0 \), divido per t , e sostituisco con il tempo ricavato nella prima, quindi avrò:
\(\displaystyle v_{0y}-\frac{gx(t)}{v_{0x}} = 0 \) e cioè \(\displaystyle v_0sin\alpha-\frac{gx(t)}{2v_0cos\alpha}= 0 \), risolvendo ottengo:
\(\displaystyle 2(v_0)^2sin\alpha cos\alpha-gx(t)= 0 \), quindi ricordando che \(\displaystyle 2sin\alpha cos\alpha = sin2\alpha \) ottengo \(\displaystyle sin2\alpha = \frac{gx(t)}{(v_0)^2} \), quindi \(\displaystyle 2\alpha = arcsin\frac{gx(t)}{(v_0)^2} = 36,65gradi \), quindi \(\displaystyle \alpha = 18,32 \), ora l'altra inclinazione dovrebbe differire di \(\displaystyle \pi \), purtroppo i miei risultati sono diversi da quelli del libro, ringrazio anticipatamente chi mi darà spiegazioni al riguardo.
Non riesco a risolvere il problema in quanto differisco nei risultati, comunque posto il mio svolgimento in attesa di chiarimenti.
Lungo l'asse delle x il moto è rettilineo uniform, quindi l'accelerazione è nulla.
Lungo l'asse delle y il moto è uniformemente accelerato.
Metto a sistema le due leggi orarie, premettendo che colloco il cannone nell'origine degl'assi, quindi \(\displaystyle x_0 = 0 \) e \(\displaystyle y_0 = 0 \):
\(\displaystyle x(t)=v_{0x}t \)
\(\displaystyle y(t) = v_{0y}t-\frac{1}{2}gt^2 \)
Ora so che \(\displaystyle v_{0x} = v_0cos\alpha \) e che \(\displaystyle v_{0y} = v_0sin\alpha \), dove \(\displaystyle \alpha \) è l'angolo che \(\displaystyle v_0 \) forma con l'orizzontale.
ora mi ricavo il tempo dalla prima ed avrò:
\(\displaystyle t = \frac{x(t)}{v_{0x}} \), nella seconda impongo la condizione \(\displaystyle y(t) = 0 \), divido per t , e sostituisco con il tempo ricavato nella prima, quindi avrò:
\(\displaystyle v_{0y}-\frac{gx(t)}{v_{0x}} = 0 \) e cioè \(\displaystyle v_0sin\alpha-\frac{gx(t)}{2v_0cos\alpha}= 0 \), risolvendo ottengo:
\(\displaystyle 2(v_0)^2sin\alpha cos\alpha-gx(t)= 0 \), quindi ricordando che \(\displaystyle 2sin\alpha cos\alpha = sin2\alpha \) ottengo \(\displaystyle sin2\alpha = \frac{gx(t)}{(v_0)^2} \), quindi \(\displaystyle 2\alpha = arcsin\frac{gx(t)}{(v_0)^2} = 36,65gradi \), quindi \(\displaystyle \alpha = 18,32 \), ora l'altra inclinazione dovrebbe differire di \(\displaystyle \pi \), purtroppo i miei risultati sono diversi da quelli del libro, ringrazio anticipatamente chi mi darà spiegazioni al riguardo.
Risposte
Il procedimento è giusto, anche se potevi risparmiarti qualche passaggio.
La formula finale : $sen(2\alpha) = (g*d)/v_0^2$ è corretta, ma mi risulta che $sen(2\alpha) = 0.545$ e quindi $2\alpha = 33º$ , perciò $\alpha = 16.5º$.
La formula finale : $sen(2\alpha) = (g*d)/v_0^2$ è corretta, ma mi risulta che $sen(2\alpha) = 0.545$ e quindi $2\alpha = 33º$ , perciò $\alpha = 16.5º$.
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