Moto parabolico : angolo per gittata massima
Ciao ragazzi,
in un problema di fisica sul moto di un proiettile, viene chiesto di calcolare l'angolo ideale per la gittata massima per un sasso che viene lanciato da una data altezza h>0, note h, e la velocità iniziale.
Se avessi avuto h=0 ovviamente l'angolo ideale per la massima gittata era di 45°.
Adesso però le cose sono più complicate.
L'angolo che cerco sicuramente è un angolo minore di 45, forse prossimo allo 0, ma vorrei ricavarmi una formula in funzione della gittata e dell'altezza che mi permettino di calcolarmi l'angolo ideale in qualsiasi caso.
Ho pensato di prendere in considerazione, tra il fascio di parabole passanti per il punto yo=h preso sull'asse y, quella con l'ampiezza maggiore, per poi calcolarmi il punto di intersezione di questa con l'asse delle x, quindi trovarmi la massima gittata, e successivamente calcolarmi l'angolo.
Ho letto che l'ampiezza viene determinata dal coefficiente "a" nell'equazione delle parabola y = ax + by + c
E più |a| si allontana da 0, più l'ampiezza della parabola è minore. Quindi dovrei studiare un caso in cui il coefficiente a della parabola è prossimo allo zero.. Ma non saprei come fare..
Qualcuno saprebbe darmi una mano? Ormai non ci dormo da due notti!
Forse mi sfugge qualcosa e il procedimento non è quello che ho considerato..
Vi ringrazio anticipatamente.
A presto!
in un problema di fisica sul moto di un proiettile, viene chiesto di calcolare l'angolo ideale per la gittata massima per un sasso che viene lanciato da una data altezza h>0, note h, e la velocità iniziale.
Se avessi avuto h=0 ovviamente l'angolo ideale per la massima gittata era di 45°.
Adesso però le cose sono più complicate.
L'angolo che cerco sicuramente è un angolo minore di 45, forse prossimo allo 0, ma vorrei ricavarmi una formula in funzione della gittata e dell'altezza che mi permettino di calcolarmi l'angolo ideale in qualsiasi caso.
Ho pensato di prendere in considerazione, tra il fascio di parabole passanti per il punto yo=h preso sull'asse y, quella con l'ampiezza maggiore, per poi calcolarmi il punto di intersezione di questa con l'asse delle x, quindi trovarmi la massima gittata, e successivamente calcolarmi l'angolo.
Ho letto che l'ampiezza viene determinata dal coefficiente "a" nell'equazione delle parabola y = ax + by + c
E più |a| si allontana da 0, più l'ampiezza della parabola è minore. Quindi dovrei studiare un caso in cui il coefficiente a della parabola è prossimo allo zero.. Ma non saprei come fare..
Qualcuno saprebbe darmi una mano? Ormai non ci dormo da due notti!
Forse mi sfugge qualcosa e il procedimento non è quello che ho considerato..
Vi ringrazio anticipatamente.
A presto!
Risposte
"TeM":
non è difficile calcolare il massimo della funzione \(G\) in tale intervallo e risalire ad \(\alpha_{max}\).
Avevo già visto nel forum questo tipo di risoluzione, ma non riesco a ragionare in questo modo..
Cioè, se trovo la funzione G(a) perché dovrei calcolarmi il massimo di tale funzione? Graficamente a cosa corrisponderebbe?
"TeM":
altrimenti non vale nemmeno la pena cominciare.
Non ho detto che non mi è chiaro il procedimento, solo che avrei preferito partire da un altro preosupposto.
Anche perché per arrivare a ciò che hai scritto tu io mi trovo la gittata in funzione del tempo, e questo vale a dire che questa è massima quando lo è anche t. Quindi impongo la derivata = 0 ecc...
Il discorso è che se io mi disegno un'infinità di parabole che descrivono il moto, troverò infinite parabole con aperture diverse, ma che impiegano lo stesso tempo per cadere!
Non sto snobbando il tuo suggerimento perché non so cos'è un massimo, ma perché trovo la parte iniziale un po' forzata, per questo chiedo delucidazioni a riguardo
"TeM":
Tutt'altro, direi che è la via preferenziale dato che non fa riferimento ad alcuna formuletta preconfezionata.
)
Alla fine ho fatto come consigliatomi, e mi sono convinto del fatto che è la soluzione più conveniente.. Anche se calcolandomi la derivata mi viene un calcolo parecchio tosto.. È purtroppo così o ho sbagliato qualcosa?
"Beerk":
Ciao ragazzi,
Se avessi avuto h=0 ovviamente l'angolo ideale per la massima gittata era di 45°.
Ora che la discussione e' chiusa, mi dici come fai ad asserire cio'? Come ci arrivi? Per curiosita'.
"professorkappa":
Come ci arrivi? Per curiosita'.
Uno dei modi (a mio avviso il più "simpatico") è quello di calcolare la gittata considerandola come distanza dall'origine degli assi del punto (di ascissa positiva) in cui a parabola interseca l'asse delle ascisse.
Quindi la gittata risulta essere la soluzione positiva dell'equazione $ ax^2 + bx + c = 0 $
Risulterà quindi:
$ d = (-b-sqrt(b^2-4ac)) / (2a) $
con $ a = -g / (2v^2x) , b = (vx) / (vy) , c = h $
Il risultato risulta essere l'equazione che il collega ha riportato precedentemente con il nome di $ G(alpha) $
Ora, nel caso in cui $ h=0 $ , il nostro compito sarà massimizzare :$ { vx*vy | vx,vy>= 0 , vx^2 + vy^2 = vo} $
Questo calcolo equivale a trovare il rettangolo con diagonale uguale a vo che abbia area massima.
Già da qui si deduce che per ottenere ciò sarà indispensabile che le due componenti di vo, vx e vy, siano uguali.
Quindi avremo:
$ v_0cos(alpha) = v_osin(alpha) -> cos(alpha)=sin(alpha) -> alpha=45° $
Molto piu complicata di quello che ti ha proposto il collega e che e' la via solita attraverso il quale si arriva a 45 gradi di alzo.
Comunuqe non l'avevo mai vista risolta cosi, era per curiosita'.
Comunuqe non l'avevo mai vista risolta cosi, era per curiosita'.
"professorkappa":
Molto piu complicata di quello che ti ha proposto il collega e che e' la via solita attraverso il quale si arriva a 45 gradi di alzo
Si infatti anche per questo ero un po' titubante all'inizio.. Ma alla fine un modo vale l'altro, anzi penso che quello che mi avete consigliato qui sia più immediato e attinente. Ne approfitto per ringraziarvi ancora una volta
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