Moto oscillatorio e traslatorio

[vitunurpo]

Ciao a tutti.
Ho un problema da risolvere, però ho delle difficoltà e non ho nemmeno la soluzione.
Io ho una mia tentata risoluzione
Ecco la foto del disegno (chiedo scusa se si vede male il disegno, ma ho solo questa fotocopia sbiadita).




Il testo:
Un punto materiale di massa m e vincolato a muoversi sulla guida semicircolare di raggio R mostrata in figura. La guida ha massa M ed è libera di muoversi orizzontalmente sul piano in assenza di attriti. Ricavare a legge oraria del moto del punto materiale e la frequenza delle piccole oscillazioni del sistema attorno alla sua circonferenza di equilibrio stabile.

Io ho pensato di usare la conservazione dell'energia.
$ mgR(1-cos\theta)=1/2mv^2+1/2MV^2 $ con v la velocità della pallina e V la velocità della guida.

Poi ho considerato V come
$ V=\sqrt(\frac{R(N-mgcos\theta)}{m}) $ con N la reazione vincolare esercitata dalla guida sulla pallina.
ho quindi risolto per v , considerando però $ v=Rdot(\theta) $
Risolvendo ho ottenuto
$ \theta(t)=\theta_0+[2g-\frac{MN}{m^2}]t-sin\theta\omega\frac{2}{m}[\frac{Mg}{2}-mg] $

Non mi convince molto...
Per il secondo invece non saprei.
Potrei avere un suggerimento?
Grazie

[Studente Anonimo]

Premesso che il sistema ha due gradi di libertà:

$[bar(OA)=x] ^^ [A\hatCP=\theta]$

se hai qualche nozione di meccanica razionale, non è difficile ricavare le seguenti equazioni del moto:

1. $(M+m)ddotx+mRddot\thetacos\theta-mRdot\theta^2sin\theta=0$

2. $ddotxcos\theta+Rddot\theta+gsin\theta=0$

Tuttavia, ho l'impressione che il testo sia talmente ambiguo da non rendere nemmeno evidente quali siano gli strumenti richiesti per risolvere il problema. Soprattutto perché, a rigore, equazione oraria e equazione del moto sono due concetti distinti. Infatti, per determinare l'equazione oraria del punto materiale bisognerebbe integrare le equazioni del moto con le dovute condizioni iniziali, impossibile se non numericamente, e sostituire le soluzioni $x(t)$ e $\theta(t)$ nella formula sottostante:

$P-O=(x+Rsin\theta)veci+R(1-cos\theta)vecj$

[vitunurpo]

Il problema però non posso risolvere tramite la meccanica razionale, ma con quella semplice del punto

[Studente Anonimo]

Allora il problema impone di considerare il moto del punto materiale rispetto al sistema di riferimento non inerziale solidale alla guida semicircolare. Solo così si può procedere introducendo l'unico grado di libertà $\theta$, a patto di determinare la forza apparente di trascinamento mediante la conservazione della quantità di moto lungo la direzione orizzontale. Tuttavia, se si conduce l'analisi sulla falsa riga del pendolo matematico, si deve ottenere la stessa equazione del moto ricavabile eliminando $ddotx$ nel sistema del mio messaggio precedente:

$ddotx=-R/cos\thetaddot\theta-gsin\theta/cos\theta rarr$

$rarr R[mcos^2\theta-(M+m)]ddot\theta-mRdot\theta^2cos\thetasin\theta-(M+m)gsin\theta=0$

Infatti, dalla conservazione della quantità di moto lungo la direzione orizzontale:

$[MV+m(vcos\theta+V)=C] ^^ [v=Rdot\theta] rarr$

$rarr MV+m(Rdot\thetacos\theta+V)=C rarr$

$rarr MA_t+m(Rddot\thetacos\theta-Rdot\theta^2sin\theta+A_t)=0 rarr$

$rarr A_t=-m/(M+m)Rddot\thetacos\theta+m/(M+m)Rdot\theta^2sin\theta rarr$

$rarr F_t=-mA_t=m^2/(M+m)Rddot\thetacos\theta-m^2/(M+m)Rdot\theta^2sin\theta$

Inoltre, proiettando il 2° principio della dinamica lungo la direzione tangente alla guida semicircolare:

$mRddot\theta=-mg\sin\theta+F_tcos\theta rarr$

$rarr mRddot\theta=-mg\sin\theta+m^2/(M+m)Rddot\thetacos^2\theta-m^2/(M+m)Rdot\theta^2cos\thetasin\theta rarr$

$rarr R[mcos^2\theta-(M+m)]ddot\theta-mRdot\theta^2cos\thetasin\theta-(M+m)gsin\theta=0$

[vitunurpo]

Ora provo a dare un'occhiata, comincio ovviamente a ringraziarti per avermi risposto e avermi aiutato.