Moto nel piano: accelerazione
Ragazzi quando faccio la derivata della velocità istantanea $v=(dr)/(dt)\bar{u}_{r}+(d\theta)/(dt)r\bar{u}_{n}$ per ricavarmi l'accelerazione (in coordinate polari), l'unico contributo negativo da parte di un membro è dovuto alla derivata del versore $\bar{u}$ perpendicolare a $\bar{u}$ stesso? Cfr. $a=(d^2r)/(dt^2)\bar{u}_{r}+2(dr)/(dt)\cdot(d\theta)/(dt)\bar{n}+(d^2\theta)/(dt^2)\bar{n}-r((d\theta)/(dt))^2\bar{u}_{r}$
Risposte
"robe92":
Cfr. $a=(d^2r)/(dt^2)\bar{u}_{r}+2(dr)/(dt)\cdot(d\theta)/(dt)\bar{n}+(d^2\theta)/(dt^2)\bar{n}-r((d\theta)/(dt))^2\bar{u}_{r}$
C'è qualcosa che non mi torna. Che versore è $\bar{n}$? e poi non torna dimensionalmente perché $(d^2\theta)/(dt^2)\bar{n}$ non mi pare abbia la dimensione di una accelerazione.
ho posto $\bar{n}$ come il versore che indica la sua normalità rispetto al vettore dato
$\bar{u}_{r}$ indica il versore della componente radiale del vettore $\bar{r}$
$\bar{u}_{n}$ indica il versore della componente normale del vettore $\bar{r}$
La situazione è questa:
$\bar{u}_{r}$ indica il versore della componente radiale del vettore $\bar{r}$
$\bar{u}_{n}$ indica il versore della componente normale del vettore $\bar{r}$
La situazione è questa:
Ma perché il versore normale una volta lo chiami [tex]{{\vec u}_n}[/tex] e una volta lo chiami [tex]{\vec n}[/tex]?
E poi ti ripeto che manca qualcosa perché dimensionalmente uno dei termini non torna.
A mio parere le espressioni sono le seguenti:
[tex]\begin{array}{l}
\vec v = \frac{{d\vec r}}{{dt}} = \frac{{d\left( {r{{\vec u}_r}} \right)}}{{dt}} = \dot r{{\vec u}_r} + r\dot \theta {{\vec u}_n} \\
\vec a = \frac{{d\vec v}}{{dt}} = \frac{d}{{dt}}\left( {\dot r{{\vec u}_r} + r\dot \theta {{\vec u}_n}} \right) = \ddot r{{\vec u}_r} + \dot r\dot \theta {{\vec u}_n} + \dot r\dot \theta {{\vec u}_n} + r\ddot \theta {{\vec u}_n} + r\dot \theta \dot \theta \left( { - {{\vec u}_r}} \right) \\
\vec a = \left( {\ddot r - r{{\dot \theta }^2}} \right){{\vec u}_r} + \left( {2\dot r\dot \theta + r\ddot \theta } \right){{\vec u}_n} \\
\end{array}[/tex]
Non so se conosci la simbologia che ho usato: il puntino significa derivata prima rispetto al tempo, i due puntini significano derivata seconda rispetto al tempo, è un modo più compatto per scrivere le derivate temporali.
Ciao.
E poi ti ripeto che manca qualcosa perché dimensionalmente uno dei termini non torna.
A mio parere le espressioni sono le seguenti:
[tex]\begin{array}{l}
\vec v = \frac{{d\vec r}}{{dt}} = \frac{{d\left( {r{{\vec u}_r}} \right)}}{{dt}} = \dot r{{\vec u}_r} + r\dot \theta {{\vec u}_n} \\
\vec a = \frac{{d\vec v}}{{dt}} = \frac{d}{{dt}}\left( {\dot r{{\vec u}_r} + r\dot \theta {{\vec u}_n}} \right) = \ddot r{{\vec u}_r} + \dot r\dot \theta {{\vec u}_n} + \dot r\dot \theta {{\vec u}_n} + r\ddot \theta {{\vec u}_n} + r\dot \theta \dot \theta \left( { - {{\vec u}_r}} \right) \\
\vec a = \left( {\ddot r - r{{\dot \theta }^2}} \right){{\vec u}_r} + \left( {2\dot r\dot \theta + r\ddot \theta } \right){{\vec u}_n} \\
\end{array}[/tex]
Non so se conosci la simbologia che ho usato: il puntino significa derivata prima rispetto al tempo, i due puntini significano derivata seconda rispetto al tempo, è un modo più compatto per scrivere le derivate temporali.
Ciao.
Bene, ci siamo (la tua simbologia è derivata dalla notazione Newtoniana delle derivate giusto?)
A questo punto vorrei capire il segno negativo dell'ultimo contributo $r\dot\theta\dot\theta(-\vec{u}_{r})$
Io ho ipotizzato che sia dovuto al fatto di essere perpendicolare al vettore perpendicolare al versore dato in partenza (una sorta di doppia derivata del versore di partenza insomma).. Solo che non capisco perché me lo considera uguale al vettore di partenza con direzione opposta
A questo punto vorrei capire il segno negativo dell'ultimo contributo $r\dot\theta\dot\theta(-\vec{u}_{r})$
Io ho ipotizzato che sia dovuto al fatto di essere perpendicolare al vettore perpendicolare al versore dato in partenza (una sorta di doppia derivata del versore di partenza insomma).. Solo che non capisco perché me lo considera uguale al vettore di partenza con direzione opposta
"robe92":
Bene, ci siamo (la tua simbologia è derivata dalla notazione Newtoniana delle derivate giusto?)
A questo punto vorrei capire il segno negativo dell'ultimo contributo $r\dot\theta\dot\theta(-\vec{u}_{r})$
Io ho ipotizzato che sia dovuto al fatto di essere perpendicolare al vettore perpendicolare al versore dato in partenza (una sorta di doppia derivata del versore di partenza insomma).. Solo che non capisco perché me lo considera uguale al vettore di partenza con direzione opposta
E' un problema legato al verso dei vettori e ha un significato fisico.
Per prima cosa ragioniamo sulla derivata di un versore.
Un versore per sua definizione ha modulo costante (unitario) dunque la sola cosa che può fare è ruotare. La rotazione è considerata positiva quando avviene nel verso in cui procede l'angolo quando cresce nel tempo. Siccome di solito l'angolo viene considerato crescente in senso antiorario, appare chiaro che la derivata di un versore è un vettore ruotato di 90° in senso antiorario rispetto al versore originario, e ampio [tex]{\dot \theta }[/tex]. Allora se prendiamo per definizione [tex]{{\vec u}_n}[/tex] versore ruotato di 90° in senso antiorario rispetto a [tex]{{\vec u}_r}[/tex], si ha che la derivata di [tex]{{\vec u}_r}[/tex] rispetto al tempo è [tex]\dot \theta {{\vec u}_n}[/tex]. A sua volta quando si vuole fare la derivata di [tex]{{\vec u}_n}[/tex] rispetto al tempo, anche questa è uguale alla derivata dell'angolo per un versore ruotato di 90° in senso antiorario rispetto a lui. Ma quest'ultimo non è altro che [tex]{ - {{\vec u}_r}}[/tex], dunque questa derivata di [tex]{{\vec u}_n}[/tex] è [tex]- \dot \theta {{\vec u}_r}[/tex]. Siccome di solito il versore [tex]{{\vec u}_r}[/tex] è diretto dalla origine O verso il punto mobile P, il versore [tex]- {{\vec u}_r}[/tex] è diretto dal punto P verso O.
Nel caso della accelerazione il fattore negativo ha il significato fisico di una componente centripeta. Infatti se prendiamo il termine che moltiplica [tex]{{\vec u}_r}[/tex] si vede che è formato da due componenti: la prima è costituita da [tex]{\ddot r}[/tex] ed è presente quando il modulo r cresce con una sua accelerazione scalare, il secondo invece è presente anche in caso di modulo r costante perché costituisce la quota di accelerazione diretta verso l'origine in presenza di una velocità angolare [tex]{\dot \theta }[/tex] non nulla. Ricordiamo tutti infatti che l'accelerazione centripeta è proprio [tex]{\omega ^2}r[/tex] ed è diretta verso il centro di rotazione.
, cioè siccome
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo