Moto lungo traiettoria elicoidale

[floyd1231]

Ho un punto (in verde nel disegno sottostante) che si muove lungo un percorso elicoidale con una velocità costante U, che è tangente al percorso elicoidale:



Se gamma è la coordinata elicoidale e voglio calcolare lo spostamento del punto lungo il percorso elicoidale, chiamando gamma_0 la posizione iniziale e tau il tempo, pensavo di fare:

gamma = gamma_0 + U*tau

U è la velocità del punto. Come detto, è tangente al percorso elicoidale e tiene conto sia del movimento assiale che di quello oscillatorio. È un modulo, quindi è sempre positiva. Ha componenti lungo x e z, ma quella usata nella formula è solo il modulo.

- La formula sopra effettivamente "srotola" il percorso elicoidale, appiattendolo su una linea retta?
- Poiché le oscillazioni sono simmetriche rispetto all'asse x, questa linea retta sarà allineata con l'asse x?
- Se l'asse x fosse rivolto nella direzione opposta e il percorso elicoidale rimanesse come nel disegno sopra, dovrei avere

gamma = gamma_0 - U*tau

invece?

[moccidentale]

.

[floyd1231]

"sellacollesella":Se il raggio vettore del punto materiale che descrive tale traiettoria elicoidale è il seguente: \[
\mathbf{r}(t)=\left(p_0+p\,t/T,\;r\cos(\theta_0+2\pi\,t/T),\,r\sin(\theta_0+2\pi\,t/T)\right), \quad t\in[t_0,5T]
\] \(\qquad\qquad\qquad\)
allora il vettore velocità e il rispettivo modulo risultano essere: \[
\mathbf{v}(t)=\left(p/T,\;-2\pi r\sin(\theta_0+2\pi\,t/T)/T,\;2\pi r\cos(\theta_0+2\pi\,t/T)/T\right) \quad\Rightarrow\quad v(t)=\sqrt{p^2+(2\pi r)^2}/T
\] che effettivamente è costante, ossia non dipende dal tempo \(t\).

Ciò fatto, per calcolare l'ascissa curvilinea è sufficiente integrarlo rispetto al tempo: \[
s(t)=\int_{t_0}^t v(\tau)\,\text{d}\tau=\sqrt{p^2+(2\pi r)^2}\,(t-t_0)/T
\] la quale non rappresenta altro che lo spazio percorso tra \(\tau=t_0\) e \(\tau=t\).

Innanzitutto grazie per la risposta.
Ho semplificato la mia domanda basandomi su quanto scritto su un paper (non è necessario aprirlo, https://arc.aiaa.org/doi/10.2514/6.1976-565).
Secondo l'immagine sottostante,



gamma rappresenta una coordinata elicoidale. In particolare, gamma è la distanza calcolata all'indietro sulla superficie elicoidale. Chiamando U la velocità del singolo elemento della pala, tau il tempo e gamma_0 = rho*theta la posizione iniziale dell'elemento della pala (con rho che è la distanza radiale dal centro dell'elica e theta la posizione azimutale), possiamo calcolare gamma come: gamma = gamma_0 + U*tau. U è il modulo della velocità tangente alla traiettoria.

- La formula gamma = gamma_0 + U*tau non è una formula in una dimensione, ottenuta supponendo che la traiettoria elicoidale sia srotolata fino a diventare una linea retta?
- Nel disegno di sopra vedo che l'asse gamma e U sono in posizione opposta, ma credo che voglia semplicemente dire che, fissato un tempo tau, gamma cresce andando dal bordo d'attacco al bordo d'uscita.
- Se l'asse x fosse rivolto nella direzione opposta e il percorso elicoidale rimanesse come nel disegno sopra, dovrei avere gamma = gamma_0 - U*tau ?

[floyd1231]

gamma = gamma_0 + U*tau è la legge del moto lungo quella traiettoria curvilinea, dove gamma_0 = rho* theta (ossia raggio per angolo in radianti).
Quindi no, non è uno “srotolamento” della traiettoria curvilinea lungo una retta.
Mi chiedo cosa succeda al segno prima di U*tau nel caso in cui il disegno fosse identico a quello del paper ma con l’asse x rivolto verso sinistra (dunque, traiettoria elicoidale che oscilla intorno alla direzione negativa di x).