Moto in un campo che cambia

[SalvatCpo]

Propongo qui un interrogativo che mi sono posto varie volte e che mi sembra difficile, magari qualcuno potrà aiutarmi.
Sul web, nemmeno su wiki, mai ho trovato una domanda simile alla mia, e quindi nemmeno alcuna risposta.

Immaginiamo di lasciar cadere un corpo da fermo da un enorme altezza, trascurando gli attriti.
Pensiamo ad un'altezza D sufficientemente grande da far variare significativamente il campo gravitazionale, responsabile della caduta, durante il moto. Decidiamo di studiare il moto.
Tale interrogativo è molto importante anche perchè situazioni analoghe si possono pensare per il campo elettrico, con una sorgente fissa di cariche negative ed una carica di prova molto distante lasciata libera di muoversi.

$ g(t)=(GM)/d^2 $ dove

$ d=D-0.5g(t)*t^2 $ e quindi

$ g=(GM)/(D^2+0.25g^2t^4-Dg*t^2 $
da cui
$ D^2*g(t)+0.25*g^3(t)*t^4-D*g^2(t)*t^2=GM $

Questa ha l'aspetto di un'equazione risolutiva perchè dice quanto vale il campo in un dato istante, seppur serva un calcolatore per trovare i valori numerici.

Ma sono perplesso, penso sia sbagliata.
E' d che mi crea dei dubbi.
L'espressione di d è corretta all'inizio, ma in ogni istante successivo c'è una velocità iniziale (sempre maggiore) da considerare.
QUAL E' il metodo di studio di un moto di questo tipo?
Quale è l'equazione risolutiva, rispetto al tempo oppure rispetto alla distanza?
Grazie in anticipo

[mgrau]

E non è il normale problema dei due corpi? Anzi, semplificato, visto che supponi che uno dei due - la terra - sia molto più grande dell'altro. Se il corpo che cade ha una velocità iniziale non diretta come la verticale, il moto è come noto una ellisse. Se poi parte proprio da fermo l'ellisse degenera in un segmento, ma concettualmente è la stessa cosa.
Se vuoi, lo puoi trattare con un bilancio energetico: il potenziale gravitazionale va come $1/r$, la variazione di energia potenziale va in aumento di energia cinetica.