Moto di un punto materiale su una sfera
"Dimostrare che le traiettorie del moto di un punto materiale vincolato su una sfera (vincoli supposti ideali) in assenza di forze attive sono archi di cerchi massimi con velocità costante"
Le considerazioni che ho fatto sono che per questo punto materiale, che in generale parte con una certa velocità iniziale, si conserveranno l'energia cinetica ed anche il momento angolare: non so però come impostare l'esercizio a partire da qui...forse è necessario ricorrere a coordinate sferiche?
Le considerazioni che ho fatto sono che per questo punto materiale, che in generale parte con una certa velocità iniziale, si conserveranno l'energia cinetica ed anche il momento angolare: non so però come impostare l'esercizio a partire da qui...forse è necessario ricorrere a coordinate sferiche?
Risposte
Non so quale sia il tuo livello di fisica e matematica. Io ho pensato a due diversi modi di agire e sono entrambi complicati (probabilmente ce ne saranno più semplici).
Il primo è il più complicato e usa la geometria differenziale (metrica, simboli di Christoffel) e occorre anche risolvere un equazione differenziale accoppiata.
Il secondo usa il principio variazionale e quindi le equazioni di Eulero-Lagrange. Ottieni come risultato un'equazione un po' strana che, perlomeno a me, non ricorda minimamente un cerchio. Però è proprio un cerchio massimo.
Dimmi se è il caso di scriverne qualcuno perché se non hai mai visto questi concetti credo sia inutile.
Magari nel frattempo risponde qualcun'altro che ha soluzioni molto più semplici
Il primo è il più complicato e usa la geometria differenziale (metrica, simboli di Christoffel) e occorre anche risolvere un equazione differenziale accoppiata.
Il secondo usa il principio variazionale e quindi le equazioni di Eulero-Lagrange. Ottieni come risultato un'equazione un po' strana che, perlomeno a me, non ricorda minimamente un cerchio. Però è proprio un cerchio massimo.
Dimmi se è il caso di scriverne qualcuno perché se non hai mai visto questi concetti credo sia inutile.
Magari nel frattempo risponde qualcun'altro che ha soluzioni molto più semplici
http://users.dma.unipi.it/barsanti/bulk ... 4_2012.pdf
qua puoi trovare testo e risoluzione di un esercizio che riguarda moto di un punto vincolato a una sfera. magari ti può essere di aiuto per iniziare a ragionare. è l'esercizio 2
qua puoi trovare testo e risoluzione di un esercizio che riguarda moto di un punto vincolato a una sfera. magari ti può essere di aiuto per iniziare a ragionare. è l'esercizio 2
@spremiagrumi il secondo metodo dovrebbe andare bene, sto studiando proprio ora il calcolo variazionale.
@eugeniobene58 grazie, è sicuramente un problema molto simile.
@eugeniobene58 grazie, è sicuramente un problema molto simile.
L'elemento di distanza su una sfera (raggio unitario) è definito come
$ds^2=d theta^2 + sin^2 theta d phi^2$
La lunghezza di un percorso $AB$ sarà quindi
$\int_A^Bds=\int_A^B\sqrt{d theta^2 + sin^2 theta d phi^2}=\int_{theta_A}^{theta_B}\sqrt{1 + sin^2 theta phi^2'}d theta^$
dove $phi'=(d phi)/(d theta)$
Usando le equazioni di Eulero-Lagrange
$d/(d theta)(d/(d phi') sqrt(1+sin^2 theta (phi')^2))=d/(d phi) sqrt(1+sin^2 theta (phi')^2)$
Quindi la derivata rispetto a $phi'$ del nostro $ds$ è una costante. La derivata è
$(sin^2 theta phi')/( sqrt(1+sin^2 theta (phi')^2))=c^2$
e quindi
$phi'=c/(sin theta sqrt(sin^2 theta - c^2)$
Quello che devi fare è integrare la funzione in $theta$ e ottieni la relazione tra $phi$ e $theta$ che descrive il cerchio massimo.
La soluzione è $cot theta= sqrt(1-c^2)/c cos(phi-c_2)$ dove $c_2$ è una seconda costante di integrazione.
Questa è l'equazione di un cerchio massimo. Se non ci credi
http://mathworld.wolfram.com/GreatCircle.html
(guarda l'equazione 17)
mette seno al posto di coseno. Ma basta cambiare la costante di integrazione e il risultato è lo stesso.
L'integrale mettilo su wolfram se non hai voglia di risolverlo
$ds^2=d theta^2 + sin^2 theta d phi^2$
La lunghezza di un percorso $AB$ sarà quindi
$\int_A^Bds=\int_A^B\sqrt{d theta^2 + sin^2 theta d phi^2}=\int_{theta_A}^{theta_B}\sqrt{1 + sin^2 theta phi^2'}d theta^$
dove $phi'=(d phi)/(d theta)$
Usando le equazioni di Eulero-Lagrange
$d/(d theta)(d/(d phi') sqrt(1+sin^2 theta (phi')^2))=d/(d phi) sqrt(1+sin^2 theta (phi')^2)$
Quindi la derivata rispetto a $phi'$ del nostro $ds$ è una costante. La derivata è
$(sin^2 theta phi')/( sqrt(1+sin^2 theta (phi')^2))=c^2$
e quindi
$phi'=c/(sin theta sqrt(sin^2 theta - c^2)$
Quello che devi fare è integrare la funzione in $theta$ e ottieni la relazione tra $phi$ e $theta$ che descrive il cerchio massimo.
La soluzione è $cot theta= sqrt(1-c^2)/c cos(phi-c_2)$ dove $c_2$ è una seconda costante di integrazione.
Questa è l'equazione di un cerchio massimo. Se non ci credi
http://mathworld.wolfram.com/GreatCircle.html
(guarda l'equazione 17)
mette seno al posto di coseno. Ma basta cambiare la costante di integrazione e il risultato è lo stesso.
L'integrale mettilo su wolfram se non hai voglia di risolverlo
"Spremiagrumi":
L'elemento di distanza su una sfera (raggio unitario) è definito come
$ds^2=d theta^2 + sin^2 theta d phi$
Non dovrebbe essere : $d phi^2$ nell'ultimo termine ?
"navigatore":
[quote="Spremiagrumi"]L'elemento di distanza su una sfera (raggio unitario) è definito come
$ds^2=d theta^2 + sin^2 theta d phi$
Non dovrebbe essere : $d phi^2$ nell'ultimo termine ?[/quote]
certo, errore di battitura che mi sono portato dietro. La soluzione è comunque giusta. grazie, correggo
Grazie spremiagrumi! Usare $ theta $ oppure $ phi $ come "tempo" (ossia come variabile indipendente nella lagrangiana) era del tutto equivalente vero? Poi credo ci sia un errore di battitura dove scrivi che la derivata è uguale a $ c^2 $ (invece che $ c $)
"Fab527":
Poi credo ci sia un errore di battitura dove scrivi che la derivata è uguale a $ c^2 $ (invece che $ c $)
Si, è uguale a $c$.
Usare $ theta $ oppure $ phi $ come "tempo" (ossia come variabile indipendente nella lagrangiana) era del tutto equivalente vero?
Probabilmente al contrario è più difficile, ma dovrebbe portare agli stessi risultati.
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