Moto di un proiettile?

MementoMori2
Ho questo esercizio teorico:



Praticamente vengono lanciati proiettili con angoli diversi e essi hanno il loro massimo sulla curva blu e tu devi trovare l'equazione di quest'ultima che delinea lo spazio massimo spazzato dal proiettile che parte da un x0 generi co?

Voi come lo fareste?

Risposte
donald_zeka
Non sono sicuro del risultato, ma penso che il problema chieda questo: si determini l'equazione dei punti "estremi" oltre i quali nessun lancio con velocità iniziale fissata $v_0$ può arrivare.

Considero l'equazione della parabola di un moto parabolico con velocità iniziale v_0 e angolo theta:

$y=xtantheta-g/(2v_0^2cos^2theta)x^2$

Fissato un certo punto (x,y) che io voglio raggiungere con un certo lancio, esso potrà essere raggiunto con 2 angolazioni diverse, con 1 sola angolazione o con nessuna, noi cerchiamo il limite in cui viene raggiunto solo da una angolazione, bisogna risolvere quindi l'equazione del moto parabolico rispetto a theta e imporre che il theta che raggiunge un certo punto (x,y) sia unico. Ricordando che $1/cos^2theta=1+tan^2theta$ si ha una equazione di secondo grado in theta:

$tan^2theta(g/v_0^2x^2)-xtantheta+y+g/v_0^2x^2=0$

Affinché la soluzione sia unica bisogna che il determinante sia uguale a zero, quindi:

$x^2-4x^2g/v_0^2(y+gx^2/v_0^2)=0$

Da cui:

$y=v_0^2/(4g)-g/v_0^2x^2$

apatriarca
Un metodo alternativo è quello di considerare l'equazione del moto parabolico come una funzione di \(\theta\) (fissati quindi \(x\) e \(v_0\)):
\[ y = C_x(\,\theta\,) = x\,\tan\theta - \frac{x^2\,g}{v_0^2}\,\sec^2\theta. \]
A questo punto l'altezza massima raggiungibile per un qualche \(x\) fissato sarà un punto critico della nostra funzione. Calcoliamo quindi
\[ 0 = C'_x(\,\theta\,) = x\,\sec^2\theta - \frac{2\,x^2\,g}{v_0^2}\,\tan\theta\,\sec^2\theta = \sec^2\theta\,\Bigl(x - \frac{2\,x^2\,g}{v_0^2}\,\tan\theta \Bigr). \]
Possiamo ignorare \( \sec^2\theta \) perché non è mai nullo per cui non ci rimane che risolvere l'equazione
\[ x = \frac{2\,x^2\,g}{v_0^2}\,\tan\theta \quad \implies \quad \theta = \tan^{-1} \frac{v_0^2}{2\,x\,g}. \]
Osservando che \( \sec^2\tan^{-1}\,z = 1 + z^2 \) e sostituendo il valore trovato nella nostra equazione originale si ottiene:
\[ y = \frac{v_0^2}{2\,g} - \frac{x^2\,g}{v_0^2}\Bigl(1 + \frac{v_0^4}{4\,x^2\,g^2} \Bigr) = \frac{v_0^2}{2\,g} - \frac{x^2\,g}{v_0^2} - \frac{v_0^2}{4g} = \frac{v_0^2}{4\,g} - \frac{x^2\,g}{v_0^2} \]
che è esattamente il risultato ottenuto anche da Vulplasir con un metodo algebrico invece che differenziale.

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