Moto di un proiettile?
Ho questo esercizio teorico:

Praticamente vengono lanciati proiettili con angoli diversi e essi hanno il loro massimo sulla curva blu e tu devi trovare l'equazione di quest'ultima che delinea lo spazio massimo spazzato dal proiettile che parte da un x0 generi co?
Voi come lo fareste?

Praticamente vengono lanciati proiettili con angoli diversi e essi hanno il loro massimo sulla curva blu e tu devi trovare l'equazione di quest'ultima che delinea lo spazio massimo spazzato dal proiettile che parte da un x0 generi co?
Voi come lo fareste?
Risposte
Non sono sicuro del risultato, ma penso che il problema chieda questo: si determini l'equazione dei punti "estremi" oltre i quali nessun lancio con velocità iniziale fissata $v_0$ può arrivare.
Considero l'equazione della parabola di un moto parabolico con velocità iniziale v_0 e angolo theta:
$y=xtantheta-g/(2v_0^2cos^2theta)x^2$
Fissato un certo punto (x,y) che io voglio raggiungere con un certo lancio, esso potrà essere raggiunto con 2 angolazioni diverse, con 1 sola angolazione o con nessuna, noi cerchiamo il limite in cui viene raggiunto solo da una angolazione, bisogna risolvere quindi l'equazione del moto parabolico rispetto a theta e imporre che il theta che raggiunge un certo punto (x,y) sia unico. Ricordando che $1/cos^2theta=1+tan^2theta$ si ha una equazione di secondo grado in theta:
$tan^2theta(g/v_0^2x^2)-xtantheta+y+g/v_0^2x^2=0$
Affinché la soluzione sia unica bisogna che il determinante sia uguale a zero, quindi:
$x^2-4x^2g/v_0^2(y+gx^2/v_0^2)=0$
Da cui:
$y=v_0^2/(4g)-g/v_0^2x^2$
Considero l'equazione della parabola di un moto parabolico con velocità iniziale v_0 e angolo theta:
$y=xtantheta-g/(2v_0^2cos^2theta)x^2$
Fissato un certo punto (x,y) che io voglio raggiungere con un certo lancio, esso potrà essere raggiunto con 2 angolazioni diverse, con 1 sola angolazione o con nessuna, noi cerchiamo il limite in cui viene raggiunto solo da una angolazione, bisogna risolvere quindi l'equazione del moto parabolico rispetto a theta e imporre che il theta che raggiunge un certo punto (x,y) sia unico. Ricordando che $1/cos^2theta=1+tan^2theta$ si ha una equazione di secondo grado in theta:
$tan^2theta(g/v_0^2x^2)-xtantheta+y+g/v_0^2x^2=0$
Affinché la soluzione sia unica bisogna che il determinante sia uguale a zero, quindi:
$x^2-4x^2g/v_0^2(y+gx^2/v_0^2)=0$
Da cui:
$y=v_0^2/(4g)-g/v_0^2x^2$
Un metodo alternativo è quello di considerare l'equazione del moto parabolico come una funzione di \(\theta\) (fissati quindi \(x\) e \(v_0\)):
\[ y = C_x(\,\theta\,) = x\,\tan\theta - \frac{x^2\,g}{v_0^2}\,\sec^2\theta. \]
A questo punto l'altezza massima raggiungibile per un qualche \(x\) fissato sarà un punto critico della nostra funzione. Calcoliamo quindi
\[ 0 = C'_x(\,\theta\,) = x\,\sec^2\theta - \frac{2\,x^2\,g}{v_0^2}\,\tan\theta\,\sec^2\theta = \sec^2\theta\,\Bigl(x - \frac{2\,x^2\,g}{v_0^2}\,\tan\theta \Bigr). \]
Possiamo ignorare \( \sec^2\theta \) perché non è mai nullo per cui non ci rimane che risolvere l'equazione
\[ x = \frac{2\,x^2\,g}{v_0^2}\,\tan\theta \quad \implies \quad \theta = \tan^{-1} \frac{v_0^2}{2\,x\,g}. \]
Osservando che \( \sec^2\tan^{-1}\,z = 1 + z^2 \) e sostituendo il valore trovato nella nostra equazione originale si ottiene:
\[ y = \frac{v_0^2}{2\,g} - \frac{x^2\,g}{v_0^2}\Bigl(1 + \frac{v_0^4}{4\,x^2\,g^2} \Bigr) = \frac{v_0^2}{2\,g} - \frac{x^2\,g}{v_0^2} - \frac{v_0^2}{4g} = \frac{v_0^2}{4\,g} - \frac{x^2\,g}{v_0^2} \]
che è esattamente il risultato ottenuto anche da Vulplasir con un metodo algebrico invece che differenziale.
\[ y = C_x(\,\theta\,) = x\,\tan\theta - \frac{x^2\,g}{v_0^2}\,\sec^2\theta. \]
A questo punto l'altezza massima raggiungibile per un qualche \(x\) fissato sarà un punto critico della nostra funzione. Calcoliamo quindi
\[ 0 = C'_x(\,\theta\,) = x\,\sec^2\theta - \frac{2\,x^2\,g}{v_0^2}\,\tan\theta\,\sec^2\theta = \sec^2\theta\,\Bigl(x - \frac{2\,x^2\,g}{v_0^2}\,\tan\theta \Bigr). \]
Possiamo ignorare \( \sec^2\theta \) perché non è mai nullo per cui non ci rimane che risolvere l'equazione
\[ x = \frac{2\,x^2\,g}{v_0^2}\,\tan\theta \quad \implies \quad \theta = \tan^{-1} \frac{v_0^2}{2\,x\,g}. \]
Osservando che \( \sec^2\tan^{-1}\,z = 1 + z^2 \) e sostituendo il valore trovato nella nostra equazione originale si ottiene:
\[ y = \frac{v_0^2}{2\,g} - \frac{x^2\,g}{v_0^2}\Bigl(1 + \frac{v_0^4}{4\,x^2\,g^2} \Bigr) = \frac{v_0^2}{2\,g} - \frac{x^2\,g}{v_0^2} - \frac{v_0^2}{4g} = \frac{v_0^2}{4\,g} - \frac{x^2\,g}{v_0^2} \]
che è esattamente il risultato ottenuto anche da Vulplasir con un metodo algebrico invece che differenziale.