Moto di un proiettile
Ciao a tutti, sto cercando di venire a capo di alcune questioni riguardo il moto di un proiettile che assumo essere di forma sferica per semplicità, senza tuttavia voler trascurare l'attrito dell'aria ma allo stesso tempo evitando di ricorrere alle tavole di balistica esterna.
Partiamo. Ho subito un dubbio. le forze a cui è sottoposto il proiettile sono unicamente la forza peso e la forza di attrito con l'aria. Ora, sull'asse x avrò che la forza di attrito è ovviamente di verso opposto a quello del moto.
Sull'asse y avrò la forza peso di segno opposto a quello scelto di convenzione positivo (quindi verso il basso). Allo stesso modo però sull'asse y dovrò avere a sua volta la forza di attrito in direzione opposta al moto giusto? in particolare, durante un eventuale moto ascendente avrò la forza peso e quella di attrito concordi e di segno negativo, durante il moto discendente la forza di attrito diventerà positiva. Come posso fare per modellare questo fatto?
Riassumento avrei:
$ddotx(t)=-k dotx(t)^2$
$ddoty(t)=+-k doty(t)^2-g$
avendo posto $k=(C\rhoS)/(2m)$
Dalla prima ottengo $x(t)=(1-e^(-kt))/k+t(dotx(0)-1)$. Vi torna?
Nella seconda (ammesso di essere consapevole di stare sbagliando e considerare un segno dei due, ma non va bene) brancolo abbastanza nel buio.
Ho provato a considerarla come un'autonoma, dopodichè quella che ottengo sembra essere una bernoulli ma mi sono perso nei calcoli e prima di provare a portarli a termine vorrei sapere se la strada è corretta. Se serve posso postarli tutti.
Ricapitolando i miei dubbi sono:
-modellizzazione della forza d'attrito sulla componente y in particolar modo con riferimento al segno di essa
-risoluzione della eq differenziale lungo l'asse y
Grazie a quanti vorranno aiutarmi.
Partiamo. Ho subito un dubbio. le forze a cui è sottoposto il proiettile sono unicamente la forza peso e la forza di attrito con l'aria. Ora, sull'asse x avrò che la forza di attrito è ovviamente di verso opposto a quello del moto.
Sull'asse y avrò la forza peso di segno opposto a quello scelto di convenzione positivo (quindi verso il basso). Allo stesso modo però sull'asse y dovrò avere a sua volta la forza di attrito in direzione opposta al moto giusto? in particolare, durante un eventuale moto ascendente avrò la forza peso e quella di attrito concordi e di segno negativo, durante il moto discendente la forza di attrito diventerà positiva. Come posso fare per modellare questo fatto?
Riassumento avrei:
$ddotx(t)=-k dotx(t)^2$
$ddoty(t)=+-k doty(t)^2-g$
avendo posto $k=(C\rhoS)/(2m)$
Dalla prima ottengo $x(t)=(1-e^(-kt))/k+t(dotx(0)-1)$. Vi torna?
Nella seconda (ammesso di essere consapevole di stare sbagliando e considerare un segno dei due, ma non va bene) brancolo abbastanza nel buio.
Ho provato a considerarla come un'autonoma, dopodichè quella che ottengo sembra essere una bernoulli ma mi sono perso nei calcoli e prima di provare a portarli a termine vorrei sapere se la strada è corretta. Se serve posso postarli tutti.
Ricapitolando i miei dubbi sono:
-modellizzazione della forza d'attrito sulla componente y in particolar modo con riferimento al segno di essa
-risoluzione della eq differenziale lungo l'asse y
Grazie a quanti vorranno aiutarmi.
Risposte
Se aggiungessi un coefficiente moltiplicativo dato dalla funzione sign(v)? (ovviamente la componente y)
Come si procederebbe poi per la risoluzione dell'equazione differenziale?
Come si procederebbe poi per la risoluzione dell'equazione differenziale?
Aggiungo qualche info sperando di fare cosa gradita.
La forza di attrito, come ho trovato su una dispensa, vale $F_a=1/2C\rho_(f) S v^2$ con
$C=0.5$ coefficiente
$\rho_(f)=1.23 (kg)/m^3$ densità dell'aria
$\rho_(p)=8000 (kg)/m^3$ densità dell'acciaio
$S=\pi R^2$
Quindi sto assumendo la densità dell'aria costante, il proiettile come una sferetta di acciaio; trascuro la rotazione terrestre e le ritardazioni dovute a turbolenza/altri effetti di cui non sono esperto. Considero inoltre la terra piatta.
Per quanto riguarda la soluzione riguardante la componente x
$ddotx(t)=-k dotx(t)^2$
Pongo $dotx(t)=z(x(t))$ e quindi $ddotx(t)=dotz(x(t)) z(x(t)) $
Sostituendo $dotz(x(t)) z(x(t)) = -k z(x(t))^2$ e poichè $z(x(0))=z(0)=dotx(0)<>0$
allora divido e ottengo $dotz(t)=-kz(t)$ che ha soluzione banale $z(t)=e^(-kt)+c$
Impongo $z(0)=dotx(0)=v_(0x)=1+c$
$c=v_(0x)-1$
$z(t)=e^(-kt)+v_(0x)-1$
Quindi $dotx(t)=e^(-kt)+v_(0x)-1$ che integrando da $x(t)=-1/ke^(-kt)+t(v_(0x)-1)+c$
Impongo $x(0)=0$
$0=-1/k+c$
$c=1/k$
$x(t)=(1-e^(-kt))/k+t(v_(0x)-1)$
Che dite? La funzione ottenuta parrebbe avere senso, ovviamente poi troncata per il t tale che il proiettile tocca terra.
Rimango in attesa di lumi per le domande precedentemente esposte.
La forza di attrito, come ho trovato su una dispensa, vale $F_a=1/2C\rho_(f) S v^2$ con
$C=0.5$ coefficiente
$\rho_(f)=1.23 (kg)/m^3$ densità dell'aria
$\rho_(p)=8000 (kg)/m^3$ densità dell'acciaio
$S=\pi R^2$
Quindi sto assumendo la densità dell'aria costante, il proiettile come una sferetta di acciaio; trascuro la rotazione terrestre e le ritardazioni dovute a turbolenza/altri effetti di cui non sono esperto. Considero inoltre la terra piatta.
Per quanto riguarda la soluzione riguardante la componente x
$ddotx(t)=-k dotx(t)^2$
Pongo $dotx(t)=z(x(t))$ e quindi $ddotx(t)=dotz(x(t)) z(x(t)) $
Sostituendo $dotz(x(t)) z(x(t)) = -k z(x(t))^2$ e poichè $z(x(0))=z(0)=dotx(0)<>0$
allora divido e ottengo $dotz(t)=-kz(t)$ che ha soluzione banale $z(t)=e^(-kt)+c$
Impongo $z(0)=dotx(0)=v_(0x)=1+c$
$c=v_(0x)-1$
$z(t)=e^(-kt)+v_(0x)-1$
Quindi $dotx(t)=e^(-kt)+v_(0x)-1$ che integrando da $x(t)=-1/ke^(-kt)+t(v_(0x)-1)+c$
Impongo $x(0)=0$
$0=-1/k+c$
$c=1/k$
$x(t)=(1-e^(-kt))/k+t(v_(0x)-1)$
Che dite? La funzione ottenuta parrebbe avere senso, ovviamente poi troncata per il t tale che il proiettile tocca terra.
Rimango in attesa di lumi per le domande precedentemente esposte.
Nesssuno sa aiutarmi? I miei prof sono in ferie.. 
up
Magari spostatelo di sezione, pensare un po' di più?
Magari spostatelo di sezione, pensare un po' di più?
L'unica cosa che posso dirti e che tempo fa da un libro avevo letto riguardo alla resistenza dell'aria sul lancio di oggetti come i proiettili e posso assicurarti che centra la funzione esponenziale.
Ciao lawrencetb.
Facciamo un poco di ordine.
Per prima cosa la legge che hai in mente, in cui essenzialmente la forza di resistenza aerodinamica è proporzionale al quadrato della velocità, vale solo in alcuni casi (quando il moto attorno al corpo in caduta libera è un moto turbolento completamente sviluppato), in generale vale:
$m \frac{d vec v}{dt}= -f(Re) vec v + m vec g$
(il segno meno davanti al vettore velocità indica che la forza aerodinamica è sempre opposta al moto).
Come vedi il coefficiente davanti alla velocità è funzione del numero di Reynolds (rapporto tra velocità del corpo rispetto al fluido in quiete per la dimensione caratteristica del corpo, diviso la viscosità cinematica del fluido).
Nei casi di turbolenza sviluppata possiamo scrivere che $f= 1/2 C rho S |vec v|$ (con $C$ costante) e ritrovare la formulazione a cui ti riferivi tu.
Nel caso di basso numero di Reynolds invece la $f(Re)$ diventa una costante e la forza di resistenza aerodinomica è semplicemente proporzionale alla velocità.
Per questo ultimo caso ti rimando a questo vecchio messaggio in cui si discuteva una soluzione particolare in questa situazione.
Nel caso che volevi risolvere tu invece troveresti un sistema di equazioni differenziali non lineari che non sono risolvibili in forma analitica.
A parte che si scrive "c'entra" e non "centra", l'esponenziale compare nel primo caso a cui mi riferisco qui, in cui la resistenza dell'aria è proporzionale alla velocità (vedi link all'altra discussione).
Facciamo un poco di ordine.
Per prima cosa la legge che hai in mente, in cui essenzialmente la forza di resistenza aerodinamica è proporzionale al quadrato della velocità, vale solo in alcuni casi (quando il moto attorno al corpo in caduta libera è un moto turbolento completamente sviluppato), in generale vale:
$m \frac{d vec v}{dt}= -f(Re) vec v + m vec g$
(il segno meno davanti al vettore velocità indica che la forza aerodinamica è sempre opposta al moto).
Come vedi il coefficiente davanti alla velocità è funzione del numero di Reynolds (rapporto tra velocità del corpo rispetto al fluido in quiete per la dimensione caratteristica del corpo, diviso la viscosità cinematica del fluido).
Nei casi di turbolenza sviluppata possiamo scrivere che $f= 1/2 C rho S |vec v|$ (con $C$ costante) e ritrovare la formulazione a cui ti riferivi tu.
Nel caso di basso numero di Reynolds invece la $f(Re)$ diventa una costante e la forza di resistenza aerodinomica è semplicemente proporzionale alla velocità.
Per questo ultimo caso ti rimando a questo vecchio messaggio in cui si discuteva una soluzione particolare in questa situazione.
Nel caso che volevi risolvere tu invece troveresti un sistema di equazioni differenziali non lineari che non sono risolvibili in forma analitica.
"CaMpIoN":
L'unica cosa che posso dirti e che tempo fa da un libro avevo letto riguardo alla resistenza dell'aria sul lancio di oggetti come i proiettili e posso assicurarti che centra la funzione esponenziale.
A parte che si scrive "c'entra" e non "centra", l'esponenziale compare nel primo caso a cui mi riferisco qui, in cui la resistenza dell'aria è proporzionale alla velocità (vedi link all'altra discussione).
Ciao Faussone, innanzitutto grazie per la risposta.
Per quanto riguarda il verso della forza d'attrito hai ragione, sono un pirla: con un segno meno lì davanti, una volta stabilito il verso, mi garantisco che sia opposta al moto..altro che sign (v).
Per quanto riguarda la questione del numero di Reinolds, tenderei a considerare un proiettile sparato da un'arma da fuoco e non la caduta di un grave da fermo. La velocità iniziale in gioco è per cui molto alta, e penso si possa non considerare il transitorio brevissimo in cui la forza è semplicemente proporzionale? Più che altro invece penso sia necessario un distinguo nel caso in cui il moto sia supersonico o subsonico, o addirittura entrambi (mi manterrei nel semplice caso del subsonico).
Per quanto riguarda le equazioni differenziali, sicuro che non si possano risolvere? Perchè dopo un po' di tentativi in quella riguardante il moto lungo l'asse y penso di aver trovato una strada ma i conti sono davvero incasinati, se serve posso postarli. Anche se, pensandoci, dopo varie sostituzioni pervengo a una equazione del primo ordine ma parecchio brutta in cui finisce una radice di una schifezza di espressione al denominatore. Sarebbe molto bello avere una formula chiusa, altrimenti dovrò affidarmi a qualche programma di calcolo per una eventuale soluzione numerica.
Per quanto riguarda il verso della forza d'attrito hai ragione, sono un pirla: con un segno meno lì davanti, una volta stabilito il verso, mi garantisco che sia opposta al moto..altro che sign (v).
Per quanto riguarda la questione del numero di Reinolds, tenderei a considerare un proiettile sparato da un'arma da fuoco e non la caduta di un grave da fermo. La velocità iniziale in gioco è per cui molto alta, e penso si possa non considerare il transitorio brevissimo in cui la forza è semplicemente proporzionale? Più che altro invece penso sia necessario un distinguo nel caso in cui il moto sia supersonico o subsonico, o addirittura entrambi (mi manterrei nel semplice caso del subsonico).
Per quanto riguarda le equazioni differenziali, sicuro che non si possano risolvere? Perchè dopo un po' di tentativi in quella riguardante il moto lungo l'asse y penso di aver trovato una strada ma i conti sono davvero incasinati, se serve posso postarli. Anche se, pensandoci, dopo varie sostituzioni pervengo a una equazione del primo ordine ma parecchio brutta in cui finisce una radice di una schifezza di espressione al denominatore. Sarebbe molto bello avere una formula chiusa, altrimenti dovrò affidarmi a qualche programma di calcolo per una eventuale soluzione numerica.
Per il discorso subsonico e supersonico vero: il comportamento è diverso, nel caso supersonico si hanno infatti effetti di comprimibilità del fluido.
Comunque si hanno due equazioni differenziali, di cui una almeno non omogenea, accoppiate (nel senso che nell'equazione di una componente appaiono anche termini dell'altra): non credo esista una soluzione analitica, numericamente invece la soluzione non dovrebbe comportare grossi problemi.
Comunque si hanno due equazioni differenziali, di cui una almeno non omogenea, accoppiate (nel senso che nell'equazione di una componente appaiono anche termini dell'altra): non credo esista una soluzione analitica, numericamente invece la soluzione non dovrebbe comportare grossi problemi.
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