Moto di rotolamento (con slittamento)
Una ruota è costituita da un disco di alluminio di densità uniforme, massa m1 e di raggio R1 e da uno pneumatico di densità uniforme, massa m2 e di raggi interno ed esterno pari a R1 e R2. Essa è posta su una piattaforma di massa M appoggiata su di un piano senza attrito ed è tirata da una forza orizzontale costante F. Tra ruota e piattaforma c’è attrito di coefficienti statico e dinamico pari a μs e μd, rispettivamente.
Se ruota e piattaforma partono da ferme, calcolare:
1. il momento di inerzia della ruota Itot calcolato rispetto al suo asse di simme-
tria perpendicolare al piano della ruota;
2. l’accelerazione del centro di massa aCM del sistema ruota-piattaforma;
3. la forza massima Fmax applicabile per avere il rotolamento perfetto della
ruota;
4. se F = 2Fmax, l’accelerazione della ruota;
5. il lavoro totale fatto dalla forza di attrito dopo un secondo, nelle condizioni delle domande 3 e 4 (L3 e L4).
Ho provato a risolverlo cosi:
1. $I_{TOT} = I_{cavo} + I_{cavita'} = \frac{m_2(R_2 + R_1)^2 - R_1^2}{2} + \frac{m_1R_1^2}{2}$
2. Forze agenti sul disco lungo x:
$m1 + m2 = m'$
$F - f_{a} = m'a_{CM}$
Forze agenti sulla piattaforma lungo x:
$f_{a} = Ma_{CM}$ 1)
Per cui, combinando le due equazioni si ottiene: $a_{CM} = \frac{F}{M+m'}$ 2)
3. Deve essere, affinchè ci sia puro rotolamento che: $f_{a} ≤ μsN$
Per cui, per l'equazione 1):
$Ma_{CM} ≤ μsm'g$
e per l'equazione 2)
$M\frac{F}{M+m'} ≤ μsm'g$
Ed infine
$ F ≤ \frac{μsm'g}{M} (M+m')$
4. Se F = 2Fmax il moto cessa di essere di puro rotolamento a causa dell'attrito dinamico
Per cui, proiettando le forze lungo l'asse x si ottiene:
$ F - μdm'g = m'a_{CM}$
$a_{CM} = \frac{F - μdm'g}{m'}$ 3)
5. Qui non sono per niente sicuro
Il lavoro nel punto 3 vale 0 in quanto siamo in presenza di attrito statico
Nel punto 4 invece la forza di attrito fa lavoro
Per il teorema dell'energia cinetica:
$ L = \DeltaK$ 4)
La velocità del CM (della sola sfera) si ricava dalla 3, e per 1 s vale:
$v_{CM} = \frac{F - μdm'g}{m'}$
e $x_{CM} = \frac{F - μdm'g}{m'}$
A questo punto si può ricavare $\omega$ a partire dalla seconda equazione cardinale:
$-μdm'g(R_1 + R_2) = I_{TOT}\alpha$
$\omega$ dopo 1 s:
$\omega = \frac{-μdm'g(R_1 + R_2)}{I_{TOT}}$
Mentre la velocità della piattaforma, dopo 1 secondo vale;
$V = -frac{-μdm'g}{M}$
Allora per la 4, dato che le forze che fanno lavoro sono $F$ e $f_{a}$:
$L_{fa} = \frac{I\omega^2}{2} + \frac{mv_{CM}^2}{2} - Fx_{CM} + \frac{1}{2}MV^2$
Che ve ne pare, io non sono molto convinto sullo svolgimento, potete darmi una mano?
Se ruota e piattaforma partono da ferme, calcolare:
1. il momento di inerzia della ruota Itot calcolato rispetto al suo asse di simme-
tria perpendicolare al piano della ruota;
2. l’accelerazione del centro di massa aCM del sistema ruota-piattaforma;
3. la forza massima Fmax applicabile per avere il rotolamento perfetto della
ruota;
4. se F = 2Fmax, l’accelerazione della ruota;
5. il lavoro totale fatto dalla forza di attrito dopo un secondo, nelle condizioni delle domande 3 e 4 (L3 e L4).
Ho provato a risolverlo cosi:
1. $I_{TOT} = I_{cavo} + I_{cavita'} = \frac{m_2(R_2 + R_1)^2 - R_1^2}{2} + \frac{m_1R_1^2}{2}$
2. Forze agenti sul disco lungo x:
$m1 + m2 = m'$
$F - f_{a} = m'a_{CM}$
Forze agenti sulla piattaforma lungo x:
$f_{a} = Ma_{CM}$ 1)
Per cui, combinando le due equazioni si ottiene: $a_{CM} = \frac{F}{M+m'}$ 2)
3. Deve essere, affinchè ci sia puro rotolamento che: $f_{a} ≤ μsN$
Per cui, per l'equazione 1):
$Ma_{CM} ≤ μsm'g$
e per l'equazione 2)
$M\frac{F}{M+m'} ≤ μsm'g$
Ed infine
$ F ≤ \frac{μsm'g}{M} (M+m')$
4. Se F = 2Fmax il moto cessa di essere di puro rotolamento a causa dell'attrito dinamico
Per cui, proiettando le forze lungo l'asse x si ottiene:
$ F - μdm'g = m'a_{CM}$
$a_{CM} = \frac{F - μdm'g}{m'}$ 3)
5. Qui non sono per niente sicuro
Il lavoro nel punto 3 vale 0 in quanto siamo in presenza di attrito statico
Nel punto 4 invece la forza di attrito fa lavoro
Per il teorema dell'energia cinetica:
$ L = \DeltaK$ 4)
La velocità del CM (della sola sfera) si ricava dalla 3, e per 1 s vale:
$v_{CM} = \frac{F - μdm'g}{m'}$
e $x_{CM} = \frac{F - μdm'g}{m'}$
A questo punto si può ricavare $\omega$ a partire dalla seconda equazione cardinale:
$-μdm'g(R_1 + R_2) = I_{TOT}\alpha$
$\omega$ dopo 1 s:
$\omega = \frac{-μdm'g(R_1 + R_2)}{I_{TOT}}$
Mentre la velocità della piattaforma, dopo 1 secondo vale;
$V = -frac{-μdm'g}{M}$
Allora per la 4, dato che le forze che fanno lavoro sono $F$ e $f_{a}$:
$L_{fa} = \frac{I\omega^2}{2} + \frac{mv_{CM}^2}{2} - Fx_{CM} + \frac{1}{2}MV^2$
Che ve ne pare, io non sono molto convinto sullo svolgimento, potete darmi una mano?
Risposte
Il punto 3 non va bene.
Tu hai trovato il massimo valore possibile per l'attrito statico, non la massima forza per non avere slittamento.
Inoltre nel punto 4 è chiesta l'accelerazione della ruota, non del centro di massa.
"Se rota attaccate ai momenti [nota]Se ruota ricorri ai momenti (ndt).[/nota]" diceva un professore di fisica ai miei tempi.
Tu hai trovato il massimo valore possibile per l'attrito statico, non la massima forza per non avere slittamento.
Inoltre nel punto 4 è chiesta l'accelerazione della ruota, non del centro di massa.
"Se rota attaccate ai momenti [nota]Se ruota ricorri ai momenti (ndt).[/nota]" diceva un professore di fisica ai miei tempi.
Nel punto 4 in realtà con CM intendevo quello della ruota e nel punto 3 ho pensato che la condizione per cui il moto cessasse di essere di puro rotolamento fosse quella per cui l'attrito cessasse di essere statico. Per cui da questa condizione mi sono ricavato $F_{max}$, Non è cosi?
"Nexus99":
Non è cosi?
Edit
Scusami, avevo capito male il testo: i coefficienti di attrito sono dati quindi è corretta la tua assunzione.
Riguardo l'ultimo punto è corretto che l'attrito statico non fa lavoro.
Solo nell'ultima equazione che hai scritto il lavoro della forza $F$ si calcola sullo spostamento del centro della ruota a cui è applicata, non del centro di massa (non so se con quel simbolo intendi centro di massa o centro ruota...)
Il resto delle equazioni mi pare a posto.
Stavolta ho letto con più attenzione, mi scuso di nuovo per la svista di prima. Il fatto è che dopo aver visto 10000 problemi così ero saltato alle conclusioni, convinto che si chiedesse il coefficiente di attrito statico necessario, come si fa spesso.
Solo nell'ultima equazione che hai scritto il lavoro della forza $F$ si calcola sullo spostamento del centro della ruota a cui è applicata, non del centro di massa (non so se con quel simbolo intendi centro di massa o centro ruota...)
Il resto delle equazioni mi pare a posto.
Stavolta ho letto con più attenzione, mi scuso di nuovo per la svista di prima. Il fatto è che dopo aver visto 10000 problemi così ero saltato alle conclusioni, convinto che si chiedesse il coefficiente di attrito statico necessario, come si fa spesso.
Figurati, sbagliano tutti.
Comunque io con quel simbolo intendo il centro della ruota, forse non l'ho specificato bene, è che mi sembrava evidente dalle equazioni (che a questo punto mi hai messo il dubbio che potrebbero essere sbagliate D: )
Comunque io con quel simbolo intendo il centro della ruota, forse non l'ho specificato bene, è che mi sembrava evidente dalle equazioni (che a questo punto mi hai messo il dubbio che potrebbero essere sbagliate D: )
Sì dalle equazioni è evidente è vero, nonostante la scelta del simbolo sia un poco infelice, visto che nel problema si chiede del centro di massa del sistema. L'unico appunto che ti posso fare è quello (più per te, ché se ti corregge il compito un professore distratto come me stamattina.. :-p )
Il mio intuito comunque mi continuava a dire che ancora c'era qualcosa che non andava nel modo in cui hai svolto i primi punti.
E in effetti è così.
Nel punto 2 scrivi
$F−f_a=m'a_{CM}$
ok.
Poi però implicitamente dici che l'accelerazione della piattaforma è la stessa del centro della ruota e scrivi
$f_a=Ma_{CM}$
da lì ricavi l'accelerazione dei due corpi che sottintendi sia la stessa del centro di massa (da lì il fraintendimento di simboli mio, anche perché l'accelerazione che ottieni per il centro di massa comunque è corretta).
Questo non va bene e di conseguenza non va bene neanche il punto 3.
Infatti non è vero che i due corpi si muovono con la stessa accelerazione e quindi la stessa velocità, visto che partono entrambi da fermi, altrimenti come fa la ruota a rotolare?
Di conseguenza il fatto che mi aveva lasciato a disagio a una prima lettura e che mi aveva spinto a darti quella prima risposta era corretto (hai risposto alla domanda sul rotolamento senza usare momenti).
C'era una mia interpretazione errata del testo del problema come ho detto dopo, ma nella sostanza il disagio e il consiglio erano giusti.
Quindi rivedi i punti 2 e 3 (e 4).
L'ultimo punto poi nel ragionamento è corretto, ma vanno corrette le conseguenze delle formule sbagliate precedenti (e però anche il lavoro di attrito statico a questo punto non è più nullo).
E in effetti è così.
Nel punto 2 scrivi
$F−f_a=m'a_{CM}$
ok.
Poi però implicitamente dici che l'accelerazione della piattaforma è la stessa del centro della ruota e scrivi
$f_a=Ma_{CM}$
da lì ricavi l'accelerazione dei due corpi che sottintendi sia la stessa del centro di massa (da lì il fraintendimento di simboli mio, anche perché l'accelerazione che ottieni per il centro di massa comunque è corretta).
Questo non va bene e di conseguenza non va bene neanche il punto 3.
Infatti non è vero che i due corpi si muovono con la stessa accelerazione e quindi la stessa velocità, visto che partono entrambi da fermi, altrimenti come fa la ruota a rotolare?
Di conseguenza il fatto che mi aveva lasciato a disagio a una prima lettura e che mi aveva spinto a darti quella prima risposta era corretto (hai risposto alla domanda sul rotolamento senza usare momenti).
C'era una mia interpretazione errata del testo del problema come ho detto dopo, ma nella sostanza il disagio e il consiglio erano giusti.
Quindi rivedi i punti 2 e 3 (e 4).
L'ultimo punto poi nel ragionamento è corretto, ma vanno corrette le conseguenze delle formule sbagliate precedenti (e però anche il lavoro di attrito statico a questo punto non è più nullo).
Ok allora provo a riscrivere cosi:
$a_c$ = accelerazione del centro della ruota
$a_{CM}$ = accelerazione centro di massa complessivo
2. Ora, la sommatoria delle forze esterne è uguale alla massa del sistema per l'accelerazione del centro di massa, poichè l'accelerazione è solo lungo x e di conseguenza le 2 forze di attrito si elidono:
$F = (M+m')a_{CM}$
$a_{CM} = \frac{F}{M + m'}$
Detto questo, cambiando nei punti 3 e 4 la notazione $a_{CM}$ con $a_{c}$ mi sembra sia giusto, o no?
$a_c$ = accelerazione del centro della ruota
$a_{CM}$ = accelerazione centro di massa complessivo
2. Ora, la sommatoria delle forze esterne è uguale alla massa del sistema per l'accelerazione del centro di massa, poichè l'accelerazione è solo lungo x e di conseguenza le 2 forze di attrito si elidono:
$F = (M+m')a_{CM}$
$a_{CM} = \frac{F}{M + m'}$
Detto questo, cambiando nei punti 3 e 4 la notazione $a_{CM}$ con $a_{c}$ mi sembra sia giusto, o no?
Sì ora il punto 2 va bene, anche se il risultato era corretto anche prima nella formula finale, nonostante lo svolgimento fosse sbagliato.
Ma il punto 3 è profondamente sbagliato, proprio perché le accelerazioni del centro della ruota della piattaforma e del centro di massa sono diverse, rivedi il mio messaggio precedente.
Devi calcolare bene tutto in funzione di $f_a$ e $F$ e poi sostituire a $f_a$ il valore massimo statico che può assumere per trovare la forza massima al limite del rotolamento.
Ma il punto 3 è profondamente sbagliato, proprio perché le accelerazioni del centro della ruota della piattaforma e del centro di massa sono diverse, rivedi il mio messaggio precedente.
Devi calcolare bene tutto in funzione di $f_a$ e $F$ e poi sostituire a $f_a$ il valore massimo statico che può assumere per trovare la forza massima al limite del rotolamento.
Nexus, lo hai risvolto poi?
Si, credo di averlo risolto, non l'ho più postato perchè quando volevo c'è stato credo un crash del forum.
Ho svolto cosi:
3)
$F - f_{a} = m' a_{c}$
$f_{a}(R_1 + R_2) = I \alpha $
Da cui si ricava, sapendo che vale: $\alpha = \frac{a_c}{R_1 + R_2} $
$a_c = \frac{F(R_1 + R_2)^2}{I + m'(R_1 + R_2)^2} $
La condizione di non slittamento è
$f_a ≤ \mu_s m'g $
Da cui si ricava:
$ F ≤ \frac{\mu_s m'g (I + m'(R_1 + R_2)^2)}{I} $
4 - 5)
Equazioni ruota:
$F - \mu_d m'g = m'a_c$
$f_{a_{d}}(R_1 + R_2) = I$
Equazioni piattaforma:
$f_{a_{d}} = M a_p $
da ciò si ricava:
$a_c = \frac{F - \mu_d m' g}{m'}$
$v_c = \frac{F - \mu_d m' g}{m'} t $
$x_c = \frac{F - \mu_d m' g}{2m'} t^2 $
$ \alpha = \frac{-\mu_d m' g (R_1 + R_2)}{I} $
$ \omega = \frac{-\mu_d m' g (R_1 + R_2)}{I} t $
$ v_p = \frac{\mu_d m' g}{M} t $
Ora calcolando questa sfilza di quantità per t=1 si ottiene il lavoro della forza di attrito (nel caso dinamico, nel caso statico vale 0):
$L_{f_{a_{d}}} = \frac{1}{2} m' v_c^2 + \frac{1}{2} I \omega^2 + \frac{1}{2} M v_p^2 - F x_c $
Ho svolto cosi:
3)
$F - f_{a} = m' a_{c}$
$f_{a}(R_1 + R_2) = I \alpha $
Da cui si ricava, sapendo che vale: $\alpha = \frac{a_c}{R_1 + R_2} $
$a_c = \frac{F(R_1 + R_2)^2}{I + m'(R_1 + R_2)^2} $
La condizione di non slittamento è
$f_a ≤ \mu_s m'g $
Da cui si ricava:
$ F ≤ \frac{\mu_s m'g (I + m'(R_1 + R_2)^2)}{I} $
4 - 5)
Equazioni ruota:
$F - \mu_d m'g = m'a_c$
$f_{a_{d}}(R_1 + R_2) = I$
Equazioni piattaforma:
$f_{a_{d}} = M a_p $
da ciò si ricava:
$a_c = \frac{F - \mu_d m' g}{m'}$
$v_c = \frac{F - \mu_d m' g}{m'} t $
$x_c = \frac{F - \mu_d m' g}{2m'} t^2 $
$ \alpha = \frac{-\mu_d m' g (R_1 + R_2)}{I} $
$ \omega = \frac{-\mu_d m' g (R_1 + R_2)}{I} t $
$ v_p = \frac{\mu_d m' g}{M} t $
Ora calcolando questa sfilza di quantità per t=1 si ottiene il lavoro della forza di attrito (nel caso dinamico, nel caso statico vale 0):
$L_{f_{a_{d}}} = \frac{1}{2} m' v_c^2 + \frac{1}{2} I \omega^2 + \frac{1}{2} M v_p^2 - F x_c $
Mi pare che ancora ci siano delle cose che non vanno.
A questo punto credo sia meglio che scriva io come farei, purtroppo all'inizio ho commesso l'errore di rispondere senza mettermi sulla carta a fare quei 4 passaggi necessari, leggendo a schermo è facile farsi sfuggire i particolari.
punto 1)
Per lo pneumatico la densità vale:
$rho=\frac{m_2}{pi (R_2^2-R_1^2)}$
quindi il momento di inerzia dello pneumatico è:
$I_p=1/2 rho pi R_2^2*R_2^2-1/2 rho pi R_1^2*R_1^2$
sostituendo $rho$ e semplificando si trova
$I_p=1/2 m_2 (R_2^2+R_1^2)$
Quindi il momento di inerzia complessiva vale:
$I= 1/2 m_2 (R_2^2+R_1^2) + 1/2 m_1 R_1^2$
punto 2)
L'accelerazione del centro di massa si trova subito considerando che l'unica forza esterna al sistema è la forza $F$ per cui:
$a_{cm}=F/(m_1+m_2+M)$
punto 3)
Per la piattaforma vale:
$M a_p=f_a$
con $f_a$ forza di attrito tra piattaforma e pneumatico.
Per la ruota:
$(m_1+m_2)a_c=F-f_a$
inoltre l'equazione dei momenti rispetto al punto di contatto tra pneumatico e piattaforma è
$(I+(m_1+m_2)(R_1+R_2)^2) dot omega= F (R_1+R_2)$
La condizione di puro rotolamento vale:
$dot omega=(a_c-a_p)/(R_1+R_2)$ (visto che la piattaforma si muove di accelerazione $a_p$).
A questo punto considerando che
$f_a<=(m_1+m_2)g mu_s$ si può ricavare la forza al limite dello slittamento.
Sostituendo si trova:
$F_{max}=\frac{(m_1+m_2)g mu_s (1/M+1/(m_1+m_2) )}{1/(m_1+m_2)-(R_1+R_2)^2/(I+(m_1+m_2)(R_2+R_1)^2)}$
4)
Se $F=2F_{max}$ l'accelerazione della ruota vale
$a_c=\frac{2F_{max}-(m_1+m_2)g mu_d}{m_1+m_2}$
5) Il lavoro fatto dalla forza di attrito statico si può calcolare calcolando la variazione di energia cinetica (di traslazione e rotazione) di ruota e piattaforma sottraendo poi il lavoro fatto dalla forza $F_{max}$.
Il lavoro fatto dalla forza $F_{max}$ si calcola dal prodotto forza e spostamento, calcolando lo spostamento del centro della ruota in un secondo.
Per l'attrito dinamico vale lo stesso discorso.
Da notare che nel primo caso la forza di attrito statico fa lavoro sulla piattaforma, ma non sulla ruota che rotola senza strisciare, per cui un'alternativa è calcolare solo tale lavoro dato dal prodotto forza di attrito statico per spostamento della piattaforma.
Di questo ultimo punto non riporto però i conti per adesso.
A questo punto credo sia meglio che scriva io come farei, purtroppo all'inizio ho commesso l'errore di rispondere senza mettermi sulla carta a fare quei 4 passaggi necessari, leggendo a schermo è facile farsi sfuggire i particolari.
punto 1)
Per lo pneumatico la densità vale:
$rho=\frac{m_2}{pi (R_2^2-R_1^2)}$
quindi il momento di inerzia dello pneumatico è:
$I_p=1/2 rho pi R_2^2*R_2^2-1/2 rho pi R_1^2*R_1^2$
sostituendo $rho$ e semplificando si trova
$I_p=1/2 m_2 (R_2^2+R_1^2)$
Quindi il momento di inerzia complessiva vale:
$I= 1/2 m_2 (R_2^2+R_1^2) + 1/2 m_1 R_1^2$
punto 2)
L'accelerazione del centro di massa si trova subito considerando che l'unica forza esterna al sistema è la forza $F$ per cui:
$a_{cm}=F/(m_1+m_2+M)$
punto 3)
Per la piattaforma vale:
$M a_p=f_a$
con $f_a$ forza di attrito tra piattaforma e pneumatico.
Per la ruota:
$(m_1+m_2)a_c=F-f_a$
inoltre l'equazione dei momenti rispetto al punto di contatto tra pneumatico e piattaforma è
$(I+(m_1+m_2)(R_1+R_2)^2) dot omega= F (R_1+R_2)$
La condizione di puro rotolamento vale:
$dot omega=(a_c-a_p)/(R_1+R_2)$ (visto che la piattaforma si muove di accelerazione $a_p$).
A questo punto considerando che
$f_a<=(m_1+m_2)g mu_s$ si può ricavare la forza al limite dello slittamento.
Sostituendo si trova:
$F_{max}=\frac{(m_1+m_2)g mu_s (1/M+1/(m_1+m_2) )}{1/(m_1+m_2)-(R_1+R_2)^2/(I+(m_1+m_2)(R_2+R_1)^2)}$
4)
Se $F=2F_{max}$ l'accelerazione della ruota vale
$a_c=\frac{2F_{max}-(m_1+m_2)g mu_d}{m_1+m_2}$
5) Il lavoro fatto dalla forza di attrito statico si può calcolare calcolando la variazione di energia cinetica (di traslazione e rotazione) di ruota e piattaforma sottraendo poi il lavoro fatto dalla forza $F_{max}$.
Il lavoro fatto dalla forza $F_{max}$ si calcola dal prodotto forza e spostamento, calcolando lo spostamento del centro della ruota in un secondo.
Per l'attrito dinamico vale lo stesso discorso.
Da notare che nel primo caso la forza di attrito statico fa lavoro sulla piattaforma, ma non sulla ruota che rotola senza strisciare, per cui un'alternativa è calcolare solo tale lavoro dato dal prodotto forza di attrito statico per spostamento della piattaforma.
Di questo ultimo punto non riporto però i conti per adesso.
Umm capito, quindi l'errore stava nella condizione di puro rotolamento. Perchè si deve considerare anche l'accelerazione della piattaforma?
Perché il rotolamento si avrebbe sulla piattaforma non sul piano fisso esterno.
Ma quindi $a_c - a_p$ sarebbe l'accelerazione del sistema ruota piattaforma complessivo o sarebbe semplicemente l'accelerazione della ruota?
"Nexus99":
Ma quindi $a_c - a_p$ sarebbe l'accelerazione del sistema ruota piattaforma complessivo o sarebbe semplicemente l'accelerazione della ruota?
Accelerazione del centro della ruota rispetto alla piattaforma che deriva dalla relazione tra velocità del centro della ruota rispetto alla piattaforma e velocità angolare della ruota per avere rotolamento puro.
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