Moto di risalita di una bolla d'aria in un fluido

[Ottaviano1]

Vorrei sviluppare un algoritmo per la simulazione del moto monodimensionale di una bolla di gas (aria) immersa in un liquido (acqua) sotto la forza gravitazionale.
Mi interessa simulare l'espansione della bolla e la sua velocità, tralasciando le problematiche relative alle turbolenze del mezzo la tensione superficiale della bolla
, ammettendo che la stessa abbia una forma sferica costante.
Sono giunto alla seguente equazione:

4/3*pi*R^3*da*g-12*pi*n*R*U=2/3*pi*R*dh*(dU/dt)

$4/3 pi r^3rho_a g-12pimurU=2/3pir^3rho_f* (dU)/(dt)$

una soluzione è :

U=(g*a^2/9*ni)*(1-exp(-(18*ni)/(a^2)*t))
$U=(r^2g)/(9nu)(1-e^((-18nu)/(r^2)t))$

dove:
$pi$=phi greco
$rho_A$=densità di 1Lt aria a pressione atmosferica 101325 Pascal
$g$=accelerazione gravità
$mu$=coefficente di viscosità dell'acqua
$U$=velocità bolla
$rho_f$=densità acqua (da 1.020 a 1.029 kg/l.)
$(dv)/(dt)$=accelerazione

L'equazione tuttavia non tiene conto della variazione del raggio (volume) della bolla che cresce al variare della pressione durante la risalita.....
Difatti secondo la legge di Stevino:

P=Patm+dh*g*h
$P=P_a+(rho_f) gh$
dove h è la profondità.

Qualcuno può aiutarmi?

[kinder1]

con le numerose semplificazioni che hai fatto, ti basta l'equazione di stato dei gas perfetti, che lega pressione, temperatura e volume del gas. Nello scenario semplificato che hai delineato, puoi considerare l'espansione isoterma, quindi costante il prodotto della pressione per il volume, e ricavarti il volume della bolla in funzione della profondità $h$.
Non so a che ti serve la simulazione; però, le ipotesi di resistenza solo viscosa e forma sferica sono piuttosto fuorvianti rispetto al caso reale, a meno che non consideri bolle molto piccole (visto che ipotizzi come fluido l'acqua).

[Ottaviano1]

La simulazione mi serve per un banalissimo effetto grafico in java e pertanto non necessita di particolare attenzione.

Ho già provato ad utilizzare l'equazione di stato dei gas perfetti per espimere il volume in funzione di h tuttavia giungo ad un'equazione
differenziale di 2° grado non omogenea che non sono in grado di risolvere....

[kinder1]

se indichiamo col pedice o la posizione da cui la bolla comincia a salire, allora puoi scrivere:
$V(h)=((P_a+rhogh_o)*V_o)/(P_a+rhogh)$

[Ottaviano1]

Ho modificato l'equazione....
ho anche sostituito la forza di frenamento del fluido da regime laminare a regime turbolento...

$M_0*((dU(t))/dt) = 4/3*rho*g*pi*R(t)^3-1/2*C_d*rho*U(t)^2*pi*R(t)^2$ con l'espansione del volume--> $M_0*(((dU(t))/dt)+3/R*U(t)*((dR(t))/dt)) = 4/3*rho*g*pi*R(t)^3-1/2*C_d*rho*U(t)^2*pi*R(t)^2$

con:

$((P_(atm)*V_0))/(P_(atm)+rho*g*(-x(t)))=(4/3)[](*Pi*R)^3$ --> $R(t)=1/4*3^(1/3)*4^(2/3)*(P_[atm]*V_[0]/((P_[atm]+rho*g*(-x(t)))*Pi))^(1/3)$

e massa aggiunta $M_0=4/3*C_[am]*rho*Pi*R(t)^3$

che fatti i conti (spero corretti..... )

$C_[am]*rho*((d^2x(t))/dt^2+3/R*((dx(t))/dt*((dR(t))/dt)) = rho*g-3/8*C_[d]*rho/R*((dx(t))/dt)^2$

ho fatto alcune simulazioni risolvendo l'equazione numericamente con il metodo di Eulero o il metodo di Crank-Nicholson e mi sembra funzionare abbastanza...
se volete vi posto i grafici...... al variare del volume iniziale e del coefficiente $C_(am)$ ottengo suluzioni con la velocità che si stabilizza ad una costante dopo un tempo $T_1$..

non sono un fisico ne un matematico, ma un umile programmatore.... sono graditi suggerimenti....

[Cloro82]

Ciao Ottaviano,

So che è passato qualche anno...ma se hai ancora qualche grafico a riguardo sarei interessato!

Grazie

[axpgn]

Ottaviano è passato di qua l'ultima volta nel 2008 ... vedi tu ...