Moto di puro rotolamento su carrello mobile

[midu107]

Sto avendo difficoltà nella risoluzione di questo esercizio sul moto di puro rotolamento.

Un carrellino, di massa M e lunghezza del piano superiore L, poggia in quiete su un piano orizzontale. Esso si puo` muovere senza attrito sul piano. All’istante iniziale un cilindro omogeneo, di raggio R e massa m, in rotazione intorno al suo asse alla velocita $\omega_0$, viene appoggiato (con velocita` del centro di massa nulla) sul bordo del piano superiore del carrello. Tra la superficie di questo piano e il cilindro c’`e attrito con un coefficiente di attrito dinamico $\mu_d$; determinare: a) la minima lunghezza, $L_{min}$, del piano del carrello affinche il moto del cilindro (rispetto al carrello) dopo lo slittamento iniziale diventi di rotolamento; b) le velocita finali del carrello e del cilindro e l’energia dissipata per l’attrito.

Se si considera il cilindro posto all'estrema sinistra del carrello, mi sembra chiaro che $\omega_0$ debba essere oraria, altrimenti il cilindro cadrebbe immediatamente. Di conseguenza io ho orientato l'asse x verso destra e ho scelto come positivo il verso orario. Dubito della correttezza dei segni, ma, se è corretto, la condizione di rotolamento dovrebbe quindi essere $\omega R= v$ che in questo caso è

$(\omega_0-\alpha t) R = a t$

Con $\alpha = \frac{\mu_d g m R}{I} \implies \alpha= \frac{2 \mu_d g }{R}$

E con $a = \mu_d g$

Trovato il particolare istante $t^{*}$ ho poi calcolato le distanze (assolute) percorse da cilindro e carrello in tale lasso di tempo.

$x(t^{*})=\frac{a}{2} t^{*2}$

E

$X(t^{*})=- \frac{\mu_d g m}{2M} t^{*2}$

Quindi la lunghezza minima dovrebbe essere $L_{min}=x(t^{*})-X(t^{*})$

Tuttavia il risultato non è corretto