Moto di puro rotolamento
Sarebbe il moto di un solido di rivoluzione (1. cosa significa?) caratterizzato dalla circostanza che che la velocità istantanea del punto del corpo in contatto con una superficie fissa è, nulla. Ciò significa che il punto del solido in contatto con la superficie appartiene all'asse istantaneo di rotazione (2. sarebbe il luogo dei punti dotati di velocità istantanea nulla? passa sempre per il centro?)
Poi non mi è chiaro:
Se un cilindro di raggio R rotola senza strisciare su una superficie piana orrizzontale, il moto piano elementare (3.cioè?)
risulta essere un moto di rotazione intorno all'asse istantaneo di rotazione ortogonale al piano passante per O con velocità angolare $\vec \omega$
Tale moto può pensarsi come una traslazione con velocità $\vec v_C$ ed una rotazione attorno ad un asse parallelo all'asse istantaneo di rotazione, ma passante per il centro di massa Ccon uguale velocità angolare. Pertanto la velocità di un qualsiasi punto P che disti $\vec r$ da C sarà:
$\vec v_p = \vec v_C + \vec \omega xx \vec r$ che applicata al punto O dell'asse istantaneo di rotazione ($\vec v_o = 0$) dà $\vec v_c = - \vec \omega xx \vec R = \vec R xx \vec \omega$
sareste così gentili da aiutarmi? non riesco ad andare avanti
Poi non mi è chiaro:
Se un cilindro di raggio R rotola senza strisciare su una superficie piana orrizzontale, il moto piano elementare (3.cioè?)
risulta essere un moto di rotazione intorno all'asse istantaneo di rotazione ortogonale al piano passante per O con velocità angolare $\vec \omega$
Tale moto può pensarsi come una traslazione con velocità $\vec v_C$ ed una rotazione attorno ad un asse parallelo all'asse istantaneo di rotazione, ma passante per il centro di massa Ccon uguale velocità angolare. Pertanto la velocità di un qualsiasi punto P che disti $\vec r$ da C sarà:
$\vec v_p = \vec v_C + \vec \omega xx \vec r$ che applicata al punto O dell'asse istantaneo di rotazione ($\vec v_o = 0$) dà $\vec v_c = - \vec \omega xx \vec R = \vec R xx \vec \omega$
sareste così gentili da aiutarmi? non riesco ad andare avanti
Risposte
Ah.... che brutta spiegazione....da impazzire
Comunque
1. è il moto di un corpo che orbita attorno ad un altro (es. Terra attorno al Sole)
2. è il punto di contatto (il puntino blu della tua animazione), non passa mai per il centro
3. boh ? (qui comincia la confusione) sarebbe il moto di uno pneumatico sulla strada
Il resto è talmente ambiguo che lascerei perdere. Bisogna fare molta attenzione perchè il puntino blu non corrisponde ad un punto fisso del corpo rotante. Come la mettono loro sembra che il punto blu trasli, ma non è così semplice perchè se marchi con un pennarello il punto blu in un istante, l'istante successivo il punto blu e il punto del pennarello non coincidono più.
La realtà è che:
c'è un unico punto soggetto solo a traslazione ed è il centro del satellite, lo chiamiamo P.
Chiamiamo R il raggio della ruota fissa e r il raggio del satellite
P ruota attorno al centro con velocità angolare $\omega$.
Il satellite ruota su se stesso con vel. $\omega' = \omega(1+R/r)$
Basta.... tutto il resto sono calcoli algebrici.
Comunque
1. è il moto di un corpo che orbita attorno ad un altro (es. Terra attorno al Sole)
2. è il punto di contatto (il puntino blu della tua animazione), non passa mai per il centro
3. boh ? (qui comincia la confusione) sarebbe il moto di uno pneumatico sulla strada
Il resto è talmente ambiguo che lascerei perdere. Bisogna fare molta attenzione perchè il puntino blu non corrisponde ad un punto fisso del corpo rotante. Come la mettono loro sembra che il punto blu trasli, ma non è così semplice perchè se marchi con un pennarello il punto blu in un istante, l'istante successivo il punto blu e il punto del pennarello non coincidono più.
La realtà è che:
c'è un unico punto soggetto solo a traslazione ed è il centro del satellite, lo chiamiamo P.
Chiamiamo R il raggio della ruota fissa e r il raggio del satellite
P ruota attorno al centro con velocità angolare $\omega$.
Il satellite ruota su se stesso con vel. $\omega' = \omega(1+R/r)$
Basta.... tutto il resto sono calcoli algebrici.
"smaug":
Se un cilindro di raggio R rotola senza strisciare su una superficie piana orrizzontale, il moto piano elementare (3.cioè?)
risulta essere un moto di rotazione intorno all'asse istantaneo di rotazione ortogonale al piano passante per O con velocità angolare $\vec \omega$
Siccome ora siamo si una supericie piana, l'asse istantaneo di rotazione è sempre quello, cioè una retta che passa perpendicolarmente al piano e per il punto di contatto dove la velocità istantanea è zero...? Una cosa $\omega$ è uscente (verso di noi) o entrante? o nessuna delle due? non riesco a capire
"smaug":
Tale moto può pensarsi come una traslazione con velocità $\vec v_C$ ed una rotazione attorno ad un asse parallelo all'asse istantaneo di rotazione, ma passante per il centro di massa Ccon uguale velocità angolare. Pertanto la velocità di un qualsiasi punto P che disti $\vec r$ da C sarà:
$\vec v_p = \vec v_C + \vec \omega xx \vec r$ che applicata al punto O dell'asse istantaneo di rotazione ($\vec v_o = 0$) dà $\vec v_c = - \vec \omega xx \vec R = \vec R xx \vec \omega$
Questo ancora lo devo dicifrare
Ci sono molti moti circolari nel problema che hai proposto (per inciso: bella l'animazione!) e molti moti di punti che sono combinazioni di moti circolari. Vi sono quindi molte velocità angolari e periferiche che si possono definire e calcolare e quelle equazioni si applicano a tutti questi casi con parametri diversi. Ti consiglio quindi di formulare meglio le tue domande indicando con esattezza il moto di quale corpo o punto ti interessa.
A tale scopo ti faccio notare che un punto materiale non ha dimensioni e quindi il suo moto è definito dalla sola traslazione (anche se non rettilinea). Diversamente, il corpo rigido ha un moto che può essere considerato di traslazione solo quando tutti i suoi punti descrivono la stessa traiettoria mentre, in genere, presenta un atto di moto roto-traslatorio perché i suoi punti descrivono traiettorie diverse (ovviamante mantenendo fisse le distanze relative). In questo ultimo, più generale, caso è definita in modo univoco in ogni istante una velocità angolare DEL CORPO RIGIDO nel suo complesso. Ti chiedo quindi: cosa intendi per velocità angolare riferita a un punto di un corpo rigido?
A tale scopo ti faccio notare che un punto materiale non ha dimensioni e quindi il suo moto è definito dalla sola traslazione (anche se non rettilinea). Diversamente, il corpo rigido ha un moto che può essere considerato di traslazione solo quando tutti i suoi punti descrivono la stessa traiettoria mentre, in genere, presenta un atto di moto roto-traslatorio perché i suoi punti descrivono traiettorie diverse (ovviamante mantenendo fisse le distanze relative). In questo ultimo, più generale, caso è definita in modo univoco in ogni istante una velocità angolare DEL CORPO RIGIDO nel suo complesso. Ti chiedo quindi: cosa intendi per velocità angolare riferita a un punto di un corpo rigido?
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Scusate per la qualità dell'immagine (nella prima figura manca la direzione parallela al pavimento di $v_C$). Il mio libro parla del moto di rotolamento riferendosi a queste tre figure.
"smaug":
Sarebbe il moto di un solido di rivoluzione caratterizzato dalla circostanza che che la velocità istantanea del punto del corpo in contatto con una superficie fissa è, nulla. Ciò significa che il punto del solido in contatto con la superficie appartiene all'asse istantaneo di rotazione.
Con riferimento alla figura se un cilindro di raggio R rotola senza strisciare su una superficie piana orrizzontale, il moto piano elementare (3.cioè?) risulta essere un moto di rotazione intorno all'asse istantaneo di rotazione ortogonale al piano passante per O con velocità angolare $\vec \omega$ . Tale moto può pensarsi come una traslazione con velocità $\vec v_C$ ed una rotazione attorno ad un asse parallelo all'asse istantaneo di rotazione, ma passante per il centro di massa C con uguale velocità angolare. Pertanto la velocità di un qualsiasi punto P che disti $\vec r$ da C sarà:
$\vec v_p = \vec v_C + \vec \omega xx \vec r$ che applicata al punto O dell'asse istantaneo di rotazione ($\vec v_o = 0$) dà $\vec v_c = - \vec \omega xx \vec R = \vec R xx \vec \omega$
...continuando:
in un moto di puro rotolamento la velocità del centro di massa è data in modulo da $v_C = \omega \R$ essendo R il raggio di rotolamento , cioè la distanza dell'asse istantaneo di rotazione dal centro di massa (io non riesco ma capire come e dove idealmente l'asse istantaneo di rotazione si trova...così pure per la velocità angolare.)
Poi parla dell'accelerazione di O però poi magari ne parliamo...
Allora adesso credo di aver capito qualcosa in più.
Abbiamo questo piano si cui un cilindro compie un moto di rotolamento. Il luogo dei punti a velocità istantanea nulla,a contatto con la superficie, è detto asse istantaneo di rotazione, che tocca il piano su cui si trova il cilindro, ed è ortogonale al piano, passa ovviamente per il punto O di contatto, e esso (possiamo dire che genera una velocità angolare?)
Io ho pensato che se il corpo si sposta verso sinistra l'asse istantaneo di rotazione ruota in senso orario e per questo motivo la velocità angolare è entrante? positiva?
Quindi il moto si compone di un moto di traslazione con velocità del centro di massa, e rotazione attorno ad un asse parallelo all'asse istantaneo di rotazione passante per il centro per questioni di simmetria?
Grazie
Abbiamo questo piano si cui un cilindro compie un moto di rotolamento. Il luogo dei punti a velocità istantanea nulla,a contatto con la superficie, è detto asse istantaneo di rotazione, che tocca il piano su cui si trova il cilindro, ed è ortogonale al piano, passa ovviamente per il punto O di contatto, e esso (possiamo dire che genera una velocità angolare?)
Io ho pensato che se il corpo si sposta verso sinistra l'asse istantaneo di rotazione ruota in senso orario e per questo motivo la velocità angolare è entrante? positiva?
Quindi il moto si compone di un moto di traslazione con velocità del centro di massa, e rotazione attorno ad un asse parallelo all'asse istantaneo di rotazione passante per il centro per questioni di simmetria?
Grazie
Smaug,
dà un'occhiata al topic " moto circolare uniforme" , foglio 3 di 6 . Il giorno 16 MArzo , Alle 20:08 , ho messo un post con un disegnino , di un disco che rotola senza strisciare su un piano. E' il tuo caso .
dà un'occhiata al topic " moto circolare uniforme" , foglio 3 di 6 . Il giorno 16 MArzo , Alle 20:08 , ho messo un post con un disegnino , di un disco che rotola senza strisciare su un piano. E' il tuo caso .
"navigatore":
Smaug,
dà un'occhiata al topic " moto circolare uniforme" , foglio 3 di 6 . Il giorno 16 MArzo , Alle 20:08 , ho messo un post con un disegnino , di un disco che rotola senza strisciare su un piano. E' il tuo caso .
ora lo cero, ma le ultime cose che ho scitto sono errate?
Facciamo un pò di chiarezza..
Un punto non trasla, si sposta, la traslazione è un moto definito per il modello di corpo rigido.
In generale il solido che si muove di puro rotolamento non deve essere necessariamente un solido rivoluzione.
Per esempio al posto della circonferenza minore poteva esserci un ellissi.
In questo caso la traiettoria di un punto (stabilito) della circonferenza minore è un epicicloide (cerca immagini su google).
La base (traiettoria del punto di contatto nello spazio delle posizioni dell'osservatore fisso) è la circonferenza maggiore.
La rulletta (traiettoria del punto di contatto nello spazio delle posizioni dell'osservatore solidale al solido in moto di puro rotolamento associato a un riferimento centrato nel centro della circonferenza minore) è la circonferenza minore.
Per moto piano elementare intende rotazione o traslazione;
il moto con assenza di strisciamento cilindro-piano è una rotazione se il piano trasla con atto di moto pari
in modulo alla velocità di un punto dell'asse del cilindro e con verso opposto.
Un punto non trasla, si sposta, la traslazione è un moto definito per il modello di corpo rigido.
In generale il solido che si muove di puro rotolamento non deve essere necessariamente un solido rivoluzione.
Per esempio al posto della circonferenza minore poteva esserci un ellissi.
In questo caso la traiettoria di un punto (stabilito) della circonferenza minore è un epicicloide (cerca immagini su google).
La base (traiettoria del punto di contatto nello spazio delle posizioni dell'osservatore fisso) è la circonferenza maggiore.
La rulletta (traiettoria del punto di contatto nello spazio delle posizioni dell'osservatore solidale al solido in moto di puro rotolamento associato a un riferimento centrato nel centro della circonferenza minore) è la circonferenza minore.
Per moto piano elementare intende rotazione o traslazione;
il moto con assenza di strisciamento cilindro-piano è una rotazione se il piano trasla con atto di moto pari
in modulo alla velocità di un punto dell'asse del cilindro e con verso opposto.
Ragazzi riprendiamo un attimo il discorso. Dai moti relativi è chiaro che (usando anche Poisson) la velocità di un punto P del corpo rigido è $vec v_p = vec v_c + \vec omega xx vec r$ e se il punto fosse quello di contatto con il piano avremmo $\vec v_c = - \vec omega xx vec R$ perchè ha velocità nulla, ma questo non significa che lo sia pure l'accelerazione.
infatti $vec a_O = vec a_c + \vec \dot omega xx vec R + vec omega xx (\vec omega xx \vec R)$
Ora vi scrivo quello che dice il libro che vorrei capire bene:
"che (la formula che ho scritto) suppondendo assente ogni slittamento, cioè $a_c = - \vec \dot omega xx \vec R$ diventa $vec a_O = \vec omega xx (\vec omega xx \vec R)$" ovvero tolalmente centripeta di modulo $omega ^2 * R$
1. perchè si suppone assente ogni slittamento? perchè non ci sarebbe rotolamento giusto? e perchè tale condizione è data da $vec a_c = \vec R xx \vec \dot omega = - \vec \dot omega xx \vec R$? Una volta verificato e capito perchè è vero, matematicamente è normale che
$vec a_O = \vec omega xx (\vec omega xx \vec R)$
Grazie
infatti $vec a_O = vec a_c + \vec \dot omega xx vec R + vec omega xx (\vec omega xx \vec R)$
Ora vi scrivo quello che dice il libro che vorrei capire bene:
"che (la formula che ho scritto) suppondendo assente ogni slittamento, cioè $a_c = - \vec \dot omega xx \vec R$ diventa $vec a_O = \vec omega xx (\vec omega xx \vec R)$" ovvero tolalmente centripeta di modulo $omega ^2 * R$
1. perchè si suppone assente ogni slittamento? perchè non ci sarebbe rotolamento giusto? e perchè tale condizione è data da $vec a_c = \vec R xx \vec \dot omega = - \vec \dot omega xx \vec R$? Una volta verificato e capito perchè è vero, matematicamente è normale che
$vec a_O = \vec omega xx (\vec omega xx \vec R)$
Grazie
se $vc = - vec omega xx vec R$ mi trovo $ac = - \vec \dot omega xx vec R$
Il problema era: perchè affinchè non ci sia slittamento, $ac_$ deve essere uguale a $ - \vec \dot omega xx R$? Io ho pensato, siccome la ruota, si muove verso destra e quindi in senso orario, l'accelerazione del centro di massa, cioè l'accelerazione applicata al centro della ruota, non può che essere diretta verso destra! infatti se provo a usare la regola della mano destra questo fatto torna, e intuitivamente il fatto che non slitti significa semplicemente che se la ruota gira in senso orario, essa non può accelerare verso sinistra! ci sarebbe lo slittamento, è come se scivolasse! quindi l'accelerazione del centro di massa deve essere diretta verso destra! Infatti $a_c$ se fosse semplicemente uguale a $\vec \dot omega xx r$ sarebbe diretta verso sinistra, col meno davanti però verso destra! Quindi se ci metti il meno impongo che non ci sia slittamento...?
Grazie
Il problema era: perchè affinchè non ci sia slittamento, $ac_$ deve essere uguale a $ - \vec \dot omega xx R$? Io ho pensato, siccome la ruota, si muove verso destra e quindi in senso orario, l'accelerazione del centro di massa, cioè l'accelerazione applicata al centro della ruota, non può che essere diretta verso destra! infatti se provo a usare la regola della mano destra questo fatto torna, e intuitivamente il fatto che non slitti significa semplicemente che se la ruota gira in senso orario, essa non può accelerare verso sinistra! ci sarebbe lo slittamento, è come se scivolasse! quindi l'accelerazione del centro di massa deve essere diretta verso destra! Infatti $a_c$ se fosse semplicemente uguale a $\vec \dot omega xx r$ sarebbe diretta verso sinistra, col meno davanti però verso destra! Quindi se ci metti il meno impongo che non ci sia slittamento...?
Grazie
Se vuoi dimostrarlo formalmente, devi avere chiara la differenza tra il punto "fisico" del disco di centro $[O]$ che occupa il punto geometrico di contatto e il punto geometrico di contatto medesimo. Insomma, il ragionamento è piuttosto sottile. Indicando con $[C_f]$ il punto "fisico" del disco che occupa il punto geometrico di contatto:
$[vec(v_O)=vec(v_(C_f))+vecomegaxx(O-C_f)]$
$[vec(v_(C_f))=0] rarr [vec(v_O)=vecomegaxx(O-C_f)]$
Indicando con $[C_g]$ il punto geometrico di contatto:
$[C_(f)-=C_g] rarr [vec(v_O)=vecomegaxx(O-C_g)] rarr [vec(a_O)=(dvecomega)/(dt)xx(O-C_g)+vecomegaxx(d(O-C_g))/(dt)]$
Poichè il vettore $(O-C_g)$ è costante:
$[(d(O-C_g))/(dt)=0] rarr [vec(a_O)=(dvecomega)/(dt)xx(O-C_g)]$
$[vec(v_O)=vec(v_(C_f))+vecomegaxx(O-C_f)]$
$[vec(v_(C_f))=0] rarr [vec(v_O)=vecomegaxx(O-C_f)]$
Indicando con $[C_g]$ il punto geometrico di contatto:
$[C_(f)-=C_g] rarr [vec(v_O)=vecomegaxx(O-C_g)] rarr [vec(a_O)=(dvecomega)/(dt)xx(O-C_g)+vecomegaxx(d(O-C_g))/(dt)]$
Poichè il vettore $(O-C_g)$ è costante:
$[(d(O-C_g))/(dt)=0] rarr [vec(a_O)=(dvecomega)/(dt)xx(O-C_g)]$
"speculor":
Se vuoi dimostrarlo formalmente, devi avere chiara la differenza tra il punto "fisico" del disco di centro $[O]$ che occupa il punto geometrico di contatto e il punto geometrico di contatto medesimo. Insomma, il ragionamento è piuttosto sottile. Indicando con $[C_f]$ il punto "fisico" del disco che occupa il punto geometrico di contatto:
$[vec(v_O)=vec(v_(C_f))+vecomegaxx(O-C_f)]$
$[vec(v_(C_f))=0] rarr [vec(v_O)=vecomegaxx(O-C_f)]$
Indicando con $[C_g]$ il punto geometrico di contatto:
$[C_(f)-=C_g] rarr [vec(v_O)=vecomegaxx(O-C_g)] rarr [vec(a_O)=(dvecomega)/(dt)xx(O-C_g)+vecomegaxx(d(O-C_g))/(dt)]$
Poichè il vettore $(O-C_g)$ è costante:
$[(d(O-C_g))/(dt)=0] rarr [vec(a_O)=(dvecomega)/(dt)xx(O-C_g)]$
Grandissimo! Però siccome qualche dubbio c'è sempre, nell'ultima cosa che ho scritto, anche se poco formale, c'è qualcosa di errato? Grazie speculor!
Se il disco rotola senza strisciare accelerando, la presenza del segno negativo in quella formula si può giustificare facilmente come hai fatto in precedenza. Tuttavia, si sarebbe potuto scrivere:
$[vec(a_O)=(dvecomega)/(dt)xx(O-C_g)] vv [vec(a_O)=-(dvecomega)/(dt)xx(C_(g)-O)]$
Per questo motivo, non credo ci si debba meravigliare più della seconda che della prima. Voglio dire, sembra che tu sia "infastidito" da quel segno negativo, in realtà non c'è motivo.
$[vec(a_O)=(dvecomega)/(dt)xx(O-C_g)] vv [vec(a_O)=-(dvecomega)/(dt)xx(C_(g)-O)]$
Per questo motivo, non credo ci si debba meravigliare più della seconda che della prima. Voglio dire, sembra che tu sia "infastidito" da quel segno negativo, in realtà non c'è motivo.
Ti ringrazio moltissimo
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