Moto di Puro Rotolamento

[MrEngineer]

Avrei una domanda sul moto di puro rotolamento. E' da un pò che ci sbatto la testa. Perdonate il fatto che io abbia linkato delle immagini ma il discorso è lungo e con molte notazioni vettoriali per cui non ne sarei uscito davvero più.





Considerando un siffatto sistema di coordinate Oxyz, l'asse z sarà ovviamente uscente dal piano di scrittura ( con relativo versore). Se la forza \(\displaystyle \overrightarrow{F} \) agisce verso destra, la forza di attrito agisce verso sinistra. Ma il momento M della forza di attrito, \(\displaystyle \overrightarrow{M} = \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{f}\) non dovrebbe essere negativo rispetto al versore dell'asse z ? Per la regola della mano destra, se r punta verso il basso come il pollice e f verso sinistra come l'indice il medio punta in verso entrante.
Analogamente nella spiegazione successiva, quando si applica un Momento motore al posto della forza F.





Lo schema della figura precedente è ancora valido, con la differenza che in questo caso non ci sarà la forza F e la forza di attrito statico sarà rivolta verso destra. In questo caso, il momento \(\displaystyle \overrightarrow{\tau} \) applicato all'asse è entrante. Il momento della forza d'attrito, la quale è questa volta diretta verso destra, risulta essere uscente in base alla regola della mano destra. Ma perchè poi, invece, i segni sono al contrario ? La relazione viene scritta come \(\displaystyle \tau - rf = I \alpha \)

[Shackle]

"MrEngineer":Avrei una domanda sul moto di puro rotolamento. E' da un pò che ci sbatto la testa. Perdonate il fatto che io abbia linkato delle immagini ma il discorso è lungo e con molte notazioni vettoriali per cui non ne sarei uscito davvero più.

Considerando un siffatto sistema di coordinate Oxyz, l'asse z sarà ovviamente uscente dal piano di scrittura ( con relativo versore). Se la forza \(\displaystyle \overrightarrow{F} \) agisce verso destra, la forza di attrito agisce verso sinistra. Ma il momento M della forza di attrito, \(\displaystyle \overrightarrow{M} = \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{f}\) non dovrebbe essere negativo rispetto al versore dell'asse z ? Per la regola della mano destra, se r punta verso il basso come il pollice e f verso sinistra come l'indice il medio punta in verso entrante.

Hai preso le immagini da questa , che ritengo sia la miglior dispensa in giro sul moto di puro rotolamento. Infatti la consiglio sempre.

Certamente , si ha : $vecM = vecRtimesvecf$

e il vettore $vecM$ è orientato nel verso negativo dell'asse $z$ , assunto l'orientamento tradizionale della terna $Oxyz$ , cioè con $z$ orientato dal foglio verso di te. E che cosa importa? LA relazione :

$Ivec\alpha = vecM$

ti dice che anche il vettore $vec\alpha$ è orientato nel verso negativo dell'asse $z$ , quindi concorde con $vecM$. Perciò, proiettando sull'asse $z$, si può scrivere la relazione tra quantità scalari :

$I\alpha = Rf$ .

Nulla di arcano in questo. Se uguagliamo due quantità entrambe negative : $-I\alpha = -M$ , sarà vero pure $Ialpha=M$, no ? Piuttosto, l' uguaglianza vettoriale detta ci dice che L'accelerazione del CM, legata ad $alpha$ dalla condizione di puro rotolamento $alpha = a/R$ è diretta anch'essa verso destra. Possiamo anche dire che sussiste l'uguaglianza vettoriale :

$veca = vec\alphatimesvecR$

simile a $vecv = vec\omegatimes vecR$ ; e che proiettando come prima , viene fuori l'uguaglianza scalare detta: $alpha = a/R$. Non è semplice ?

Analogamente nella spiegazione successiva, quando si applica un Momento motore al posto della forza F.
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Lo schema della figura precedente è ancora valido, con la differenza che in questo caso non ci sarà la forza F e la forza di attrito statico sarà rivolta verso destra. In questo caso, il momento \(\displaystyle \overrightarrow{\tau} \) applicato all'asse è entrante.

Il momento applicato $vec\tau$ è diretto nel verso negativo dell'asse $z$ , mentre il momento della forza di attrito $vecRtimesvecf$ è diretto nel verso positivo di $z$ .

Il momento della forza d'attrito, la quale è questa volta diretta verso destra, risulta essere uscente in base alla regola della mano destra. Ma perchè poi, invece, i segni sono al contrario ? La relazione viene scritta come \(\displaystyle \tau - rf = I \alpha \)

I segni non sono al contrario . I due vettori momento , quello applicato e quello della forza di attrito, sono diretti in versi opposti ; ripeti il ragionamento di prima: proiettando l'equazione vettoriale :

$Ivec\alpha = vec\tau + vecRtimesvecf$

sull'asse $z$ , risulta :

$I\alpha = tau - Rf $

Il disco, anche in questo caso, accelera nel senso positivo dell'asse $x$ .

"Entrante" o " uscente" dal foglio non ha significato. Supponi per un attimo di guardare il foglio dalla faccia opposta, e "entrante" diventa "uscente"....
Hanno invece significato " concorde " oppure " discorde " con l'asse $z$.

[MrEngineer]

Grazie Shackle per i preziosi suggerimenti. Non appena riprenderò il moto di puro rotolamento cercherò di ripetere i tuoi ragionamenti. Mi farò risentire in caso di qualche altro dubbio!