Moto di caduta (meccanica razionale)

[*brssfn76]

Studiare il moto di caduta di un grave abbandonato in quiete in un riferimento terrestre trascurando la resistenza dell'aria ma considerando esplicitamente
gli effetti dovuti al carattere non inerziale del riferimento adottato.
Nota
Ai fini del calcolo avvalersi del riferimento cartesiano indicato in figura in cui O è un punto della superficie terrestre, l'asse e3 è diretto verso l'alto, e l'asse e1
è diretto verso sud. In tal modo la direzione dell'asse terrestre è complanare con e1, e3, e forma con e3 un angolo pari ad $alpha$ all co-latitudine del punto O

Esercizio ostico (per me)
Devo scegliere come sistema di riferimento il centro della terra (sistema inerziale) o mi basta il riferimento sulla superficie terrestre?
Come calcolare le forze di marea lunare e solare?
Occore prima calcolarisi i potenziali e poi studiare le forze apparenti come sollecitazioni attive sul punto?
grazie a avesse voglia di darmi un consiglio.......

[cavallipurosangue]

Io direi che basta prenderlo sulla superficie il sistema di riferimento non inerziale, però per comodità io indico $theta$ la latitudine e $omega$ la velocità di rotazione della terra.

Se scrivi rispetto al riferimento preso la prima cardinale:

$mveca^((r))=mvecg+m\omega^2(h+R)cot(\theta)vecr-2mvecomegawedgevecv^((r))$

dove $R$ è il raggio terrestre, $h$ l'altezza da terra. Visto poi che $omega< <1$, allora si fa la seguente semplificazione $omega^2approx0$

Adesso bisogna scrivere il vettore velocità angolare rispetto al sistema non inerziale:

$vecomega=((-\omegacos\theta),(0),(omegasintheta))$

Da cui:

$2vecomegawedgevecv^((r))=2\omega((-dotycostheta),(dotzcostheta+dotxsintheta),(-dotycostheta))$

Proiettando sul sistema nelle tre direzioni:

${(ddotx=2\omegadotysintheta),(ddoty=-2omegadotzcostheta-2omegadotxsintheta),(ddotz=-g+2omegadotycostheta):}$ ; ${(x(0)=0),(y(0)=0),(z(0)=h),(dotx(0)=doty(0)=dotz(0)=0):}$

Da cui:

${(x(t)=0),(y(t)=1/3\omegag t^3costheta),(z(t)=h-1/2g t^2):}$

[*brssfn76]

ancora 2 cose........
1- Le forze di marea le possiamo trascurare sempre? sono molto piccole rispetto agli altri contributi?
altrimenti come esprimerli?

2-la soluzione dell'equazione differenziale hai proceduto per sostituzione?ahime non ho ancora molta dimestichetta
con i sistemi di eq. diff. del 2 ordine (li vedro nel 2° semestre.... )

[cavallipurosangue]

Io direi che è lecito trascurarle coerentemente con le approssimazioni fatte.

Per il sistema di equazioni, basta che tu integri la prima e la terza e poi sostituisci nella seconda e trovi $y=y(t)$, poi risostituisci...

Comunque questo è un classico di meccanica razionale... non ti spaventare.

[*brssfn76]

Scusa...... è un po che mi arrovello sulla componente di $vecr$.....

cosa sarebbe $(h+R)cot(theta)$? non riesco a ricavarmelo.

[cavallipurosangue]

dovrebbe essere la distanza tra la massa e l'asse di rotazione...