Moto di 2 blocchi sovrapposti con attrito
Salve! Faccio un pò di confusione nel capire il moto di 2 blocchi sovrapposti in presenza di attrito.
Immaginiamo un corpo $(1)$ di massa $m_1$ sopra un corpo $(2)$ di massa $m_2$ con $m_1 < m_2$.Il sistema è fermo e viene richiesta la forza $F$ applicata da sinistra per far sì che i 2 corpi si muovano insieme verso destra($a_1 =a_2=a$).Il corpo $(2)$ è appoggiato su un piano senza attrito mentre tra le superfici dei 2 corpi siamo in presenza di una forza di attrito statico $f_1$. Si distinguono 2 casi:
$a)$ Quando c'è una forza applicata al corpo $(1)$.
$b)$ Quando c'è una forza applicata al corpo $(2)$.
Caso $a)$
Facendo il diagramma di corpo libero sul corpo $(2)$ vediamo che:
vi è la forza peso $P_2$,la forza normale$N_2$(applicata dal piano sul corpo $(2)$) e la forza d'attrito $f_1$ provocata dal corpo $1$ che si oppone alla forza $F$. Quindi se la forza è applicata da sinistra verso destra, la forza d'attrito$f_1$ tra le superfici sarà rivolta verso sinistra.
Ora non capisco come faccia a muoversi il corpo $(2)$ che è fermo, se spostiamo il corpo $(1)$ che sta sopra di esso con la sola forza d'attrito...
Facendo il diagramma di corpo libero sul corpo $(1)$ vediamo che:
vi è la forza $F$,la forza peso $P_1$,la forza normale $N_1$(applicata dal corpo $2$ sul corpo $1$) e la forza d'attrito $f_1$.
Dal momento che le forze che agiscono lungo il piano verticale non ci interessano,
l'equazione di equilibrio del corpo $(1)$ è :
$F-f_1 = m_1 * a$
L'equazione di equilibrio del sistema è:
$F= m_1 *a + m_2*a$
Fino a qua è esatta questa analisi del problema? Manca l'equazione di equilibrio del corpo $(2)$ che non capisco come possa muoversi con la forza d'attrito.
Caso $b)$
Le forze applicate ai 2 corpi sono uguali tranne per quanto riguarda la forza esterna $F$ che questa volta è applicata al corpo $(2)$.
l'equazione di equilibrio del corpo $(2)$ è :
$F - f_1= m_2 *a$
l'equazione di equilibrio del corpo $(1)$ è :
$f_1 = m_1 *a$ ($Delta$)
L'equazione di equilibrio del sistema è:
$F =m_1 *a + m_2*a$ ($Phi$)
Dall'equazione ($Delta$):
$a=frac{f_1}{m_1}$
che sostituito nella ($Phi$)
$F= (m_1 + m_2) * frac{f_1}{m_1}$
con $f_1= N_1 *mu_s$
Ho fatto bene? Ringrazio le eventuali correzioni e consigli
Immaginiamo un corpo $(1)$ di massa $m_1$ sopra un corpo $(2)$ di massa $m_2$ con $m_1 < m_2$.Il sistema è fermo e viene richiesta la forza $F$ applicata da sinistra per far sì che i 2 corpi si muovano insieme verso destra($a_1 =a_2=a$).Il corpo $(2)$ è appoggiato su un piano senza attrito mentre tra le superfici dei 2 corpi siamo in presenza di una forza di attrito statico $f_1$. Si distinguono 2 casi:
$a)$ Quando c'è una forza applicata al corpo $(1)$.
$b)$ Quando c'è una forza applicata al corpo $(2)$.
Caso $a)$
Facendo il diagramma di corpo libero sul corpo $(2)$ vediamo che:
vi è la forza peso $P_2$,la forza normale$N_2$(applicata dal piano sul corpo $(2)$) e la forza d'attrito $f_1$ provocata dal corpo $1$ che si oppone alla forza $F$. Quindi se la forza è applicata da sinistra verso destra, la forza d'attrito$f_1$ tra le superfici sarà rivolta verso sinistra.
Ora non capisco come faccia a muoversi il corpo $(2)$ che è fermo, se spostiamo il corpo $(1)$ che sta sopra di esso con la sola forza d'attrito...
Facendo il diagramma di corpo libero sul corpo $(1)$ vediamo che:
vi è la forza $F$,la forza peso $P_1$,la forza normale $N_1$(applicata dal corpo $2$ sul corpo $1$) e la forza d'attrito $f_1$.
Dal momento che le forze che agiscono lungo il piano verticale non ci interessano,
l'equazione di equilibrio del corpo $(1)$ è :
$F-f_1 = m_1 * a$
L'equazione di equilibrio del sistema è:
$F= m_1 *a + m_2*a$
Fino a qua è esatta questa analisi del problema? Manca l'equazione di equilibrio del corpo $(2)$ che non capisco come possa muoversi con la forza d'attrito.
Caso $b)$
Le forze applicate ai 2 corpi sono uguali tranne per quanto riguarda la forza esterna $F$ che questa volta è applicata al corpo $(2)$.
l'equazione di equilibrio del corpo $(2)$ è :
$F - f_1= m_2 *a$
l'equazione di equilibrio del corpo $(1)$ è :
$f_1 = m_1 *a$ ($Delta$)
L'equazione di equilibrio del sistema è:
$F =m_1 *a + m_2*a$ ($Phi$)
Dall'equazione ($Delta$):
$a=frac{f_1}{m_1}$
che sostituito nella ($Phi$)
$F= (m_1 + m_2) * frac{f_1}{m_1}$
con $f_1= N_1 *mu_s$
Ho fatto bene? Ringrazio le eventuali correzioni e consigli
Risposte
Qwerty , nelle ipotesi del problema ( i corpi 1 e 2 non si spostano l’uno rispetto all’altro e subiscono la stessa accelerazione ) , la soluzione è immediata :
$ \vecF=(m_1+m_2)*\veca $ , e ciò in entrambi i casi “a” e “b” .
Cioè , possiamo considerare i due corpi 1 e 2 come un corpo unico , di massa uguale alla somma delle masse di c.1 e c.2 , che subisce l’accelerazione $\veca$ da parte di $\vecF$.
Questa è quella che tu hai chiamato “ condizione di equilibrio” , ma in effetti è la soluzione . (ma se parli di “equilibrio” , dovresti scrivere secondo il principio di D’Alembert : $\vecF-m*\veca=0$ . Lascia stare se non lo conosci)
Ora però è opportuno analizzare come si comportano il c.1 e c.2 nei due casi a e b, e come si comporta la forza di attrito tra i corpi ( visto anche che dici : “ non capisco come il blocco 2 possa muoversi a causa dell’attrito “ ).
Devi considerare la forza di attrito come una forza che ciascun corpo esercita sull’altro, a cui l’altro reagisce con una forza uguale e contraria : è una semplice applicazione del principio di azione-reazione. Poggia la mano sul tavolo , e spingi in avanti parallelamente al piano, senza slittare : il tavolo “spinge indietro “ la mano , e nessuno si muove. Ma se hai un tavolino con le rotelle ( e vinci l’attrito tra rotelle e pavimento), puoi spostare il tavolino . Ora, chiama “corpo 1” la mano , “corpo 2” il tavolino , e hai il caso a del tuo problema.
Nel caso a) , sul corpo 1 agisce la forza esterna $\vecF$ diretta verso destra . Dici bene quando affermi che il c.2 reagisce con la forza di attrito $\vecf_1$ diretta verso sinistra . Ma se questa è la reazione del c.2 , che per c.1 è una forza “resistente “ , vuol dire che essa è uguale e contraria alla “azione” che il c.1 trasmette al c.2 , nella superficie di contatto , perché le due forze si devono fare equilibrio : è questa forza $\vecf_1$,diretta verso destra e applicata al c.2 , che ne causa l’accelerazione . Tale forza , trasmessa dal c.1 al c.2 , è a tutti gli effetti una forza “motrice” per c.2 : questo è ciò che non ti era chiaro !
Svolgiamo ora l’esercizio con i diagrammi di corpo libero
Per l’equilibrio alla traslazione verticale :
Blocco 1 : $\vecP_1 + \vecN_1 = 0 $ . Quindi $\vecN_1 = -\vecP_1 $ , e i moduli sono uguali .
Blocco 2 : $\vecP_1 + \vecP_2 + \vecN_2 = 0 $ . Quindi $ \vecN_2=-(\vecP_1 + \vecP_2) $ , e il modulo di $N_2$ è uguale alla somma dei moduli dei due pesi .
Vediamo ora le forze parallele al piano . Per le componenti , in valore e segno, assumiamo un asse x sul piano , parallelo alla direzione delle forze orizzontali , e positivo verso destra , e proiettiamo le forze parallele al piano su tale asse.
Il testo dice che hai una forza di attrito statico $\vecf_1$ : per la condizione che i due corpi devono rimanere solidali , cioè non slittare tra loro , dovrà essere : $f_1 <=\mu*N_1$ , ti è chiaro questo?
Caso a )
Blocco 1 : agiscono $\vecF$ verso destra e la forza di attrito $\vecf_1$ verso sinistra , trasmessa dal blocco 2 al blocco 1 , quindi per la II legge della Dinamica si ha,per le componenti : $ F-f_1 =m_1*a (1)$
Blocco 2 : su questo blocco agisce la sola forza $\vecf_1$ orientata ora verso destra , che il blocco 1 trasmette al blocco 2 ( forza motrice del blocco 2)
Quindi , per II legge della Dinamica , il blocco 2 è sollecitato ad accelerare verso destra, e si ha per le componenti : $f_1 = m_2*a (2)$
Sommiamo ora (1) e (2) , membro a membro . Si ha : $ F = (m_1+m_2)*a (3)$
Per il caso b) , ora ti scrivo solo le formulette , che tu ti puoi giustificare da solo , tenendo presente quello che ti ho detto a proposito della forza di attrito e facendo correttamente i diagrammi di corpo libero di c.1 e di c.2 :
$f_1=m_1*a (4)$
$F-f_1=m_2*a (5) $
Sommando : $F=(m_1+m_2)*a (6) $
Questo , ripeto , vale finchè $f_1 <=\mu*N_1$. Dovresti sapere che una forza di attrito non assume necessariamente il suo valore massimo : se è sufficiente un valore inferiore per l’equilibrio, assume questo valore . Sarebbe opportuno che ti studiassi il caso in cui questo non fosse più valido .
$ \vecF=(m_1+m_2)*\veca $ , e ciò in entrambi i casi “a” e “b” .
Cioè , possiamo considerare i due corpi 1 e 2 come un corpo unico , di massa uguale alla somma delle masse di c.1 e c.2 , che subisce l’accelerazione $\veca$ da parte di $\vecF$.
Questa è quella che tu hai chiamato “ condizione di equilibrio” , ma in effetti è la soluzione . (ma se parli di “equilibrio” , dovresti scrivere secondo il principio di D’Alembert : $\vecF-m*\veca=0$ . Lascia stare se non lo conosci)
Ora però è opportuno analizzare come si comportano il c.1 e c.2 nei due casi a e b, e come si comporta la forza di attrito tra i corpi ( visto anche che dici : “ non capisco come il blocco 2 possa muoversi a causa dell’attrito “ ).
Devi considerare la forza di attrito come una forza che ciascun corpo esercita sull’altro, a cui l’altro reagisce con una forza uguale e contraria : è una semplice applicazione del principio di azione-reazione. Poggia la mano sul tavolo , e spingi in avanti parallelamente al piano, senza slittare : il tavolo “spinge indietro “ la mano , e nessuno si muove. Ma se hai un tavolino con le rotelle ( e vinci l’attrito tra rotelle e pavimento), puoi spostare il tavolino . Ora, chiama “corpo 1” la mano , “corpo 2” il tavolino , e hai il caso a del tuo problema.
Nel caso a) , sul corpo 1 agisce la forza esterna $\vecF$ diretta verso destra . Dici bene quando affermi che il c.2 reagisce con la forza di attrito $\vecf_1$ diretta verso sinistra . Ma se questa è la reazione del c.2 , che per c.1 è una forza “resistente “ , vuol dire che essa è uguale e contraria alla “azione” che il c.1 trasmette al c.2 , nella superficie di contatto , perché le due forze si devono fare equilibrio : è questa forza $\vecf_1$,diretta verso destra e applicata al c.2 , che ne causa l’accelerazione . Tale forza , trasmessa dal c.1 al c.2 , è a tutti gli effetti una forza “motrice” per c.2 : questo è ciò che non ti era chiaro !
Svolgiamo ora l’esercizio con i diagrammi di corpo libero
Per l’equilibrio alla traslazione verticale :
Blocco 1 : $\vecP_1 + \vecN_1 = 0 $ . Quindi $\vecN_1 = -\vecP_1 $ , e i moduli sono uguali .
Blocco 2 : $\vecP_1 + \vecP_2 + \vecN_2 = 0 $ . Quindi $ \vecN_2=-(\vecP_1 + \vecP_2) $ , e il modulo di $N_2$ è uguale alla somma dei moduli dei due pesi .
Vediamo ora le forze parallele al piano . Per le componenti , in valore e segno, assumiamo un asse x sul piano , parallelo alla direzione delle forze orizzontali , e positivo verso destra , e proiettiamo le forze parallele al piano su tale asse.
Il testo dice che hai una forza di attrito statico $\vecf_1$ : per la condizione che i due corpi devono rimanere solidali , cioè non slittare tra loro , dovrà essere : $f_1 <=\mu*N_1$ , ti è chiaro questo?
Caso a )
Blocco 1 : agiscono $\vecF$ verso destra e la forza di attrito $\vecf_1$ verso sinistra , trasmessa dal blocco 2 al blocco 1 , quindi per la II legge della Dinamica si ha,per le componenti : $ F-f_1 =m_1*a (1)$
Blocco 2 : su questo blocco agisce la sola forza $\vecf_1$ orientata ora verso destra , che il blocco 1 trasmette al blocco 2 ( forza motrice del blocco 2)
Quindi , per II legge della Dinamica , il blocco 2 è sollecitato ad accelerare verso destra, e si ha per le componenti : $f_1 = m_2*a (2)$
Sommiamo ora (1) e (2) , membro a membro . Si ha : $ F = (m_1+m_2)*a (3)$
Per il caso b) , ora ti scrivo solo le formulette , che tu ti puoi giustificare da solo , tenendo presente quello che ti ho detto a proposito della forza di attrito e facendo correttamente i diagrammi di corpo libero di c.1 e di c.2 :
$f_1=m_1*a (4)$
$F-f_1=m_2*a (5) $
Sommando : $F=(m_1+m_2)*a (6) $
Questo , ripeto , vale finchè $f_1 <=\mu*N_1$. Dovresti sapere che una forza di attrito non assume necessariamente il suo valore massimo : se è sufficiente un valore inferiore per l’equilibrio, assume questo valore . Sarebbe opportuno che ti studiassi il caso in cui questo non fosse più valido .
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo