Moto del proiettile
Salve a tutti, trovo difficoltà nel risolvere questo problema:
Un proiettile viene lanciato con angolo $ 30^o $ rispetto all'orizzontale, con velocità $ v_0 $ tale da arrivare a colpire un bersaglio posto ad una altezza $ h=5m $. Determinare la distanza $ d $ che intercorre tra il punto di lancio e l'ascissa del bersaglio e la velocità iniziale $ v_0 $ del proiettile.
Potreste darmi una mano? vi ringrazio in anticipo!
Un proiettile viene lanciato con angolo $ 30^o $ rispetto all'orizzontale, con velocità $ v_0 $ tale da arrivare a colpire un bersaglio posto ad una altezza $ h=5m $. Determinare la distanza $ d $ che intercorre tra il punto di lancio e l'ascissa del bersaglio e la velocità iniziale $ v_0 $ del proiettile.
Potreste darmi una mano? vi ringrazio in anticipo!
Risposte
Il bersaglio si trova nel punto $P(d,5)$, per poter calcolare $d$ e la velocità iniziale puoi considerare le equazioni parametriche del moto che sono:
\(\displaystyle \left\{
\begin{array}{lc}
x(t)=v\cos \alpha t\\
y(t)=v\sin \alpha t-\frac{1}{2}gt^2
\end{array}
\right.
\)
Ponendo la condizione di passaggio per il punto $P$ si ha
\(\displaystyle \left\{
\begin{array}{lc}
d=v_0\cos \alpha t\\
5=v_0\sin \alpha t-\frac{1}{2}gt^2
\end{array}
\right.
\)
Questo è un sistema di due equazioni in tre incognite, credo manchi qualche dato.
\(\displaystyle \left\{
\begin{array}{lc}
x(t)=v\cos \alpha t\\
y(t)=v\sin \alpha t-\frac{1}{2}gt^2
\end{array}
\right.
\)
Ponendo la condizione di passaggio per il punto $P$ si ha
\(\displaystyle \left\{
\begin{array}{lc}
d=v_0\cos \alpha t\\
5=v_0\sin \alpha t-\frac{1}{2}gt^2
\end{array}
\right.
\)
Questo è un sistema di due equazioni in tre incognite, credo manchi qualche dato.
Ti ringrazio moltissimo! credo che il resto dei dati si possano ricavare dalla seconda parte del problema che riguarda l'urto del proiettile con un'asta vincolata posta all'altezza del bersaglio..
ho postato solo questa parte del problema perchè ho anccora dei forti dubbi sul concetto di gittata:
diciamo che dallo studio sul libro di testo è emerso che la gittata è la distanza longitudinale (alla stessa quota) del punto di arrivo del proiettile dal punto di lancio, tant'è che la formula della gittata la si ricava dall'equazione della traiettoria
$ y(x)=xtan vartheta -1/2(gx^2)/v_0^2cos^2vartheta $ imponendo $ y(x)=0 $. Ora in un problema con la medesima impostazione in cui però l'altezza $ h $ non mi viene fornita nè è una incognita del problema mi chiedo come mai il mio professore abbia posto la condizione $ y(x)=0 $ per ricavare la distanza $ d $ quando il proiettile in realtà non cade a quota $ y=0 $.
Perciò basandomi su quello che ho visto all'esercitazione con quell'esercizio, in questo caso io avrei dovuto trovare la distanza $ d $
scrivendo direttamente $ d=(2v_0sinvartheta cosvartheta)/g $ tralasciando cosi il dato $ h=5m $. Sono veramente confuso anche perchè anche tu mi hai dato conferma che il modo, che avrei seguito anch'io, logicamente corretto è quello da te proposto. Inoltre stando alla definizione, $ d $ non dovrebbe essere la gittata, giusto?
ho postato solo questa parte del problema perchè ho anccora dei forti dubbi sul concetto di gittata:
diciamo che dallo studio sul libro di testo è emerso che la gittata è la distanza longitudinale (alla stessa quota) del punto di arrivo del proiettile dal punto di lancio, tant'è che la formula della gittata la si ricava dall'equazione della traiettoria
$ y(x)=xtan vartheta -1/2(gx^2)/v_0^2cos^2vartheta $ imponendo $ y(x)=0 $. Ora in un problema con la medesima impostazione in cui però l'altezza $ h $ non mi viene fornita nè è una incognita del problema mi chiedo come mai il mio professore abbia posto la condizione $ y(x)=0 $ per ricavare la distanza $ d $ quando il proiettile in realtà non cade a quota $ y=0 $.
Perciò basandomi su quello che ho visto all'esercitazione con quell'esercizio, in questo caso io avrei dovuto trovare la distanza $ d $
scrivendo direttamente $ d=(2v_0sinvartheta cosvartheta)/g $ tralasciando cosi il dato $ h=5m $. Sono veramente confuso anche perchè anche tu mi hai dato conferma che il modo, che avrei seguito anch'io, logicamente corretto è quello da te proposto. Inoltre stando alla definizione, $ d $ non dovrebbe essere la gittata, giusto?
Innanzitutto la formula della gittata da te proposta sbaglia del fatto che $v_0$ è al quadrato, semplificando poi ottieni
\(\displaystyle x_G=\frac{v_0^2\sin(2\vartheta)}{g} \)
Inoltre questa formula è derivata considerando il fatto che il punto di partenza sia l'origine degli assi.
Se cio' non fosse con questa formula calcoli la distanza tra il punto di partenza e quello simmetrico rispetto al punto di altezza massima (o rispetto all'asse della parabola) del moto.
In generale imponendo la condizione $y=0$ ti calcoli la gittata, si tratta però di un punto differente dal punto con altezza $h$ in quanto in questo caso l'altezza è $0$, pertanto se vuole trovare $d$ imponendo $y=0$ allora $d$ è la gittata, e forse non utilizza la formula sopra data perché il punto di partenza non è l'origine degli assi.
Altrimenti non so' cosa il tuo prof. voleva fare con quei calcoli.
La risposta alla tua ultima domanda l'ho inoltre anche già data, $d$ non può essere la gittata in quanto l'altezza del punto non è $0$ ma $5$.
\(\displaystyle x_G=\frac{v_0^2\sin(2\vartheta)}{g} \)
Inoltre questa formula è derivata considerando il fatto che il punto di partenza sia l'origine degli assi.
Se cio' non fosse con questa formula calcoli la distanza tra il punto di partenza e quello simmetrico rispetto al punto di altezza massima (o rispetto all'asse della parabola) del moto.
In generale imponendo la condizione $y=0$ ti calcoli la gittata, si tratta però di un punto differente dal punto con altezza $h$ in quanto in questo caso l'altezza è $0$, pertanto se vuole trovare $d$ imponendo $y=0$ allora $d$ è la gittata, e forse non utilizza la formula sopra data perché il punto di partenza non è l'origine degli assi.
Altrimenti non so' cosa il tuo prof. voleva fare con quei calcoli.
La risposta alla tua ultima domanda l'ho inoltre anche già data, $d$ non può essere la gittata in quanto l'altezza del punto non è $0$ ma $5$.
Si scusami il quadrato mi deve essere sfuggito per distrazione..
Le cose mi cominciano ad essere moooolto più chiare! L' ultima cosa che vorrei chiederti e che mi permetterà forse di interpretare ciò che ha fatto il prof è questa:
quindi nel problema che ho su riportato, volendo posso calcolare anche la gittata fregandomene che il proiettile si ferma a quota $ h=5m $ imponendo ovviamente non $ y(x)=5m $ bensì $ y(x)=0 $ e utilizzando l'equazione $ d=(2v_0^2sinvartheta cosvartheta)/g $ assicurandomi di prendere l'origine degli assi nel punto di lancio?
Dopodichè spero di aver esaurito tutti i miei dubbi sul moto parabolico
Grazie mille di tutto!!!!
Le cose mi cominciano ad essere moooolto più chiare! L' ultima cosa che vorrei chiederti e che mi permetterà forse di interpretare ciò che ha fatto il prof è questa:
quindi nel problema che ho su riportato, volendo posso calcolare anche la gittata fregandomene che il proiettile si ferma a quota $ h=5m $ imponendo ovviamente non $ y(x)=5m $ bensì $ y(x)=0 $ e utilizzando l'equazione $ d=(2v_0^2sinvartheta cosvartheta)/g $ assicurandomi di prendere l'origine degli assi nel punto di lancio?
Dopodichè spero di aver esaurito tutti i miei dubbi sul moto parabolico
Grazie mille di tutto!!!!
I parametri che differenziano una gittata, oltre al modulo della velocità sono anche la posizione "verticale" del punto di lancio.
Quindi non puoi portare il punto di lancio nell'origine e calcolare la gittata, perché se utilizzi quell'equazione calcoli la distanza che vi è tra il punto di lancio e il suo simmetrico rispetto all'asse della parabola.
Mentre invece se la coordinata verticale del punto di lancio non è l'origine allora la gittata non si trova considerando quel punto parallelo, bensì occorre considerare un punto con quota diversa pari a $0$.
Conosco questo argomento perché personalmente mi sono trovate le formule più generali per la gittata, la gittata nel caso generale la calcoli con la formula sotto:
\(\displaystyle x_G=\frac{v}{2g} \cdot \left|v\sin(2\alpha)+2\cos \alpha \sqrt{v^2\sin^2\alpha+2gy_0}\right|\)
Come vedi la gittata non dipende dalla coordinata orizzontale del punto di partenza, sia questo $P_0(x_0,y_0)$ come vedi vi troviamo solo la coordinata verticale.
Nota che il valore assoluto indica il fatto che la gittata è positiva in quanto rappresenta una distanza. Se poni $y_0=0$, ovvero come dici l'origine degli assi (orizzontalmente puoi sempre traslare, non conta molto, verticalmente no) ottieni la formula che hai postato anche tu.
Quindi non puoi portare il punto di lancio nell'origine e calcolare la gittata, perché se utilizzi quell'equazione calcoli la distanza che vi è tra il punto di lancio e il suo simmetrico rispetto all'asse della parabola.
Mentre invece se la coordinata verticale del punto di lancio non è l'origine allora la gittata non si trova considerando quel punto parallelo, bensì occorre considerare un punto con quota diversa pari a $0$.
Conosco questo argomento perché personalmente mi sono trovate le formule più generali per la gittata, la gittata nel caso generale la calcoli con la formula sotto:
\(\displaystyle x_G=\frac{v}{2g} \cdot \left|v\sin(2\alpha)+2\cos \alpha \sqrt{v^2\sin^2\alpha+2gy_0}\right|\)
Come vedi la gittata non dipende dalla coordinata orizzontale del punto di partenza, sia questo $P_0(x_0,y_0)$ come vedi vi troviamo solo la coordinata verticale.
Nota che il valore assoluto indica il fatto che la gittata è positiva in quanto rappresenta una distanza. Se poni $y_0=0$, ovvero come dici l'origine degli assi (orizzontalmente puoi sempre traslare, non conta molto, verticalmente no) ottieni la formula che hai postato anche tu.
sono riuscito a ripescare il problema cui mi riferivo parlando del prof:
"un carrello è in moto su un piano orizzontale con velocità costante $ v_(c)=12(km)/h $ . Montato sopra il carrello vi è un fucile che all'istante iniziale spara verticalmente con velocità di $ v_p=20m/s $ un proiettile di massa $ m=200g $ . In queste condizioni il proiettile quando arriva alla sua massima altezza raggiunge un piano orizzontale liscio posto ad una certa distanza orizzontale $ d $ dal carrello. Determinare la distanza $ d $ tra il carrello e il piano all'istante iniziale...(il resto non ci interessa)..
allora lui per trovarsi $ d $ scrive $ d=(2(v_p^2+v_c^2)sin45^0cos45^0)/g $ dato che $ v_0^2=v_p^2+v_c^2 $
però non mi spiego perchè ha usato la formula della gittata quando in realtà il proiettile parte da una quota nulla e arriva su un piano posto ad una certa altezza sconosciuta
ecco la mia perpressità che persiste. Chiedo scusa se insisto ma ho l? esame tra pochi giorni e nemmeno il ricevimento mi ha chiarito il dubbio dato che è stato molto sbrigativo per via dell'eccessivo numero di studenti
"un carrello è in moto su un piano orizzontale con velocità costante $ v_(c)=12(km)/h $ . Montato sopra il carrello vi è un fucile che all'istante iniziale spara verticalmente con velocità di $ v_p=20m/s $ un proiettile di massa $ m=200g $ . In queste condizioni il proiettile quando arriva alla sua massima altezza raggiunge un piano orizzontale liscio posto ad una certa distanza orizzontale $ d $ dal carrello. Determinare la distanza $ d $ tra il carrello e il piano all'istante iniziale...(il resto non ci interessa)..
allora lui per trovarsi $ d $ scrive $ d=(2(v_p^2+v_c^2)sin45^0cos45^0)/g $ dato che $ v_0^2=v_p^2+v_c^2 $
però non mi spiego perchè ha usato la formula della gittata quando in realtà il proiettile parte da una quota nulla e arriva su un piano posto ad una certa altezza sconosciuta
ecco la mia perpressità che persiste. Chiedo scusa se insisto ma ho l? esame tra pochi giorni e nemmeno il ricevimento mi ha chiarito il dubbio dato che è stato molto sbrigativo per via dell'eccessivo numero di studenti
Allora la gittata oltre ad essere definita con quella formula è definita anche come il doppio della distanza orizzontale tra il punto di altezza massima ed il punto di lancio, cioè
\(\displaystyle x_G=2x_M \)
Con $x_M$ indico la coordinata orizzontale del punto di altezza massima, che nel nostro caso rappresenta $d$.
Quindi puoi sostituire e dire che
\(\displaystyle x_G=2d \)
Per trovare $d$ allora fai la formula inversa
\(\displaystyle d=\frac{x_G}{2} \)
Se poi vedi bene il tuo prof ha usato invece la seguente formula
\(\displaystyle d=\frac{(v_c^2+v_p^2)\sin 45^o \cos 45^o}{g} \)
L'unica cosa che non capisco è l'angolo utilizzato però, questo dovrebbe calcolarsi con la seguente formula
\(\displaystyle \vartheta=\arctan \left(\frac{v_p}{v_c}\right) \)
Convertiamo poi $v_c$
\(\displaystyle v_c=12 \frac{km}{h}=\frac{12}{3,6} \frac{m}{s}=3,33 \frac{m}{s} \)
Quindi
\(\displaystyle \vartheta=\arctan \left(\frac{20}{3,33}\right)\cong 80,55\)
La formula giusta dovrebbe essere
\(\displaystyle d=\frac{(v_c^2+v_p^2)\sin 80,55 \cos 80,55}{g}=\frac{(v_c^2+v_p^2)\sin(2 \cdot 80,55)}{2g} \)
\(\displaystyle x_G=2x_M \)
Con $x_M$ indico la coordinata orizzontale del punto di altezza massima, che nel nostro caso rappresenta $d$.
Quindi puoi sostituire e dire che
\(\displaystyle x_G=2d \)
Per trovare $d$ allora fai la formula inversa
\(\displaystyle d=\frac{x_G}{2} \)
Se poi vedi bene il tuo prof ha usato invece la seguente formula
\(\displaystyle d=\frac{(v_c^2+v_p^2)\sin 45^o \cos 45^o}{g} \)
L'unica cosa che non capisco è l'angolo utilizzato però, questo dovrebbe calcolarsi con la seguente formula
\(\displaystyle \vartheta=\arctan \left(\frac{v_p}{v_c}\right) \)
Convertiamo poi $v_c$
\(\displaystyle v_c=12 \frac{km}{h}=\frac{12}{3,6} \frac{m}{s}=3,33 \frac{m}{s} \)
Quindi
\(\displaystyle \vartheta=\arctan \left(\frac{20}{3,33}\right)\cong 80,55\)
La formula giusta dovrebbe essere
\(\displaystyle d=\frac{(v_c^2+v_p^2)\sin 80,55 \cos 80,55}{g}=\frac{(v_c^2+v_p^2)\sin(2 \cdot 80,55)}{2g} \)
Si scusami di nuovo ha scritto 45 perchè ha supposto uguali in modulo le due velocità per semplici
Ti ringrazio! Gentilissimo!
Ti ringrazio! Gentilissimo!
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