Moto circolare vario
salve, avrei bisogno di un chiarimento riguardo il moto circolare vario:
derivando la legge oraria dello spazio percorso (in coordinate cartesiane) si ottiene la velocità, essendo sempre tangente alla traiettoria, e questo mi è chiaro;
derivando ulteriormente il risultato ottenuto (velocità) cioè derivata seconda della legge oraria, si ottiene l'accelerazione tangenziale (parallela alla velocità) oppure si ottiene l'accelerazione totale (cioè composta da acc.normale-centripeta e acc. tangenziale)?
derivando la legge oraria dello spazio percorso (in coordinate cartesiane) si ottiene la velocità, essendo sempre tangente alla traiettoria, e questo mi è chiaro;
derivando ulteriormente il risultato ottenuto (velocità) cioè derivata seconda della legge oraria, si ottiene l'accelerazione tangenziale (parallela alla velocità) oppure si ottiene l'accelerazione totale (cioè composta da acc.normale-centripeta e acc. tangenziale)?
Risposte
Se derivi la velocità ( e non sue componenti ) rispetto al tempo non pui che ottenere l'accelerazione totale, e non di certo una sua componente e basta.
allora forse, rileggendo il primo messaggio, nota la legge oraria in coordinate cartesiane derivandola dovrei ottenere la sola velocità tangenziale-trasversale senza la componente radiale ed a questo punto derivando ancora otterrei l'accelerazione tangenziale? (anche qui però ho dei dubbi) il problema è lo stesso di prima derivando lo spazio dovrei ottenere la velocità e non una delle sue componenti
il dubbio è sorto in un esercizio in cui avevo come dati la legge oraria di un moto circolare vario, e il modulo dell'accelerazione
partendo dalla legge oraria ossia viene data $s(t)$ la coordinata curvilinea lungo la circonferenza rispetto al tempo:
$s(t)= t^2 + 2t$
si deriva e si trova la velocità: $v(t)= 2t + 2$
derivando ancora si dovrebbe ottenere l'accelerazione che però è già data, e viene detto che al tempo $t=2 secondi $ il modulo vale $2sqrt(5)$ $m/s^2$
invece dal risultato ottenuto tramite derivazione della velocità, si ottiene che l'acc. è costante in modulo ed è uguale a
$2$ $m/s^2$
dai risultati dell'esercizio viene detto che $2$ $m/s^2$ è l'acc. tangenziale.
Avevo pensato che per errore erano stati invertiti i valori dell'accelerazione e quello della sua componente tangenziale, però $2sqrt(5)$ è maggiore di 2 e quindi credo che il modulo di un vettore non possa essere minore del modulo di una sua componente; allora come si è arrivati ad ottenere l'acc. tangenziale a partire dalla legge oraria ed il modulo dell'accelerazione in un dato istante?(altri dati non sono noti)
il dubbio è sorto in un esercizio in cui avevo come dati la legge oraria di un moto circolare vario, e il modulo dell'accelerazione
partendo dalla legge oraria ossia viene data $s(t)$ la coordinata curvilinea lungo la circonferenza rispetto al tempo:
$s(t)= t^2 + 2t$
si deriva e si trova la velocità: $v(t)= 2t + 2$
derivando ancora si dovrebbe ottenere l'accelerazione che però è già data, e viene detto che al tempo $t=2 secondi $ il modulo vale $2sqrt(5)$ $m/s^2$
invece dal risultato ottenuto tramite derivazione della velocità, si ottiene che l'acc. è costante in modulo ed è uguale a
$2$ $m/s^2$
dai risultati dell'esercizio viene detto che $2$ $m/s^2$ è l'acc. tangenziale.
Avevo pensato che per errore erano stati invertiti i valori dell'accelerazione e quello della sua componente tangenziale, però $2sqrt(5)$ è maggiore di 2 e quindi credo che il modulo di un vettore non possa essere minore del modulo di una sua componente; allora come si è arrivati ad ottenere l'acc. tangenziale a partire dalla legge oraria ed il modulo dell'accelerazione in un dato istante?(altri dati non sono noti)
In un moto circolare hai che è sempre valida questa relazione che lega l'accelerazione normale (ortogonale, centripeta) e la velocità: $a_N=v^2/R$, dove $R$ è il raggio.
In un moto circolare a velocità costante, hai che la componente tangenziale dell'accelerazione è nulla, ma in questo caso la velocità varia e quindi hai sia una componente tangenziale che normale.
Le due accelerazioni sono perpendicolari e quindi il loro modulo si calcola con $a=\sqrt(a_T^2+a_N^2)$.
Nella fattispecie $a=2\sqrt5$ e $a_T=2$ quindi $a_N=4$.
Usando la prima relazione si ricava il raggio $R=9$ siccome $v=6$ a $t=2$.
In un moto circolare a velocità costante, hai che la componente tangenziale dell'accelerazione è nulla, ma in questo caso la velocità varia e quindi hai sia una componente tangenziale che normale.
Le due accelerazioni sono perpendicolari e quindi il loro modulo si calcola con $a=\sqrt(a_T^2+a_N^2)$.
Nella fattispecie $a=2\sqrt5$ e $a_T=2$ quindi $a_N=4$.
Usando la prima relazione si ricava il raggio $R=9$ siccome $v=6$ a $t=2$.
Giusto per dare una visione completa della questione, ti descrivo il moto in maniera un pò più rigorosa.
Considero i seguenti versori, dove $\theta(t)$ è la legge oraria (in radianti) dell'angolo che il punto sulla circonferenza forma con l'asse $x$ (nel nostro caso $\theta(t)={s(t)}/R$):
$\hat{r}=(cos\theta(t),sin\theta(t))$, $\hat{\theta}=(-sin\theta(t),cos\theta(t))$
Come vedi sono rispettivamente il versore normale alla circonferenza e " diretto verso l'esterno " e il versore tangente diretto nella direzione del moto (antiorario) " ad ogni istante. Sono tra loro orto-normali (ovvero ortogonali tra loro e normali). La legge del moto del punto è $\bar x=R(cos\theta(t),sin\theta(t))=R\hat{r}$, derivando ottengo la velocità $\bar v=R\dot\hat\theta=R\dot\theta(t)\hat\theta$. Quindi come vedi la velocità è solo tangenziale. Per l'accelerazione abbiamo $\bar a=\dot\bar v=R\ddot\theta(t)\hat\theta-R(\dot\theta(t))^2\hat{r}$. Dunque l'accelerazione ha una componete radiale (diretta nell'origine) e una tangenziale. Osserva infine che $\bar a_{N}=-R(\dot\theta(t))^2\hat{r}$, dunque $|\bar a_{N}|=\frac{|\bar v|^2}{R}$. Questa è una descrizione esaustiva del problema, spero sia chiaro.
Considero i seguenti versori, dove $\theta(t)$ è la legge oraria (in radianti) dell'angolo che il punto sulla circonferenza forma con l'asse $x$ (nel nostro caso $\theta(t)={s(t)}/R$):
$\hat{r}=(cos\theta(t),sin\theta(t))$, $\hat{\theta}=(-sin\theta(t),cos\theta(t))$
Come vedi sono rispettivamente il versore normale alla circonferenza e " diretto verso l'esterno " e il versore tangente diretto nella direzione del moto (antiorario) " ad ogni istante. Sono tra loro orto-normali (ovvero ortogonali tra loro e normali). La legge del moto del punto è $\bar x=R(cos\theta(t),sin\theta(t))=R\hat{r}$, derivando ottengo la velocità $\bar v=R\dot\hat\theta=R\dot\theta(t)\hat\theta$. Quindi come vedi la velocità è solo tangenziale. Per l'accelerazione abbiamo $\bar a=\dot\bar v=R\ddot\theta(t)\hat\theta-R(\dot\theta(t))^2\hat{r}$. Dunque l'accelerazione ha una componete radiale (diretta nell'origine) e una tangenziale. Osserva infine che $\bar a_{N}=-R(\dot\theta(t))^2\hat{r}$, dunque $|\bar a_{N}|=\frac{|\bar v|^2}{R}$. Questa è una descrizione esaustiva del problema, spero sia chiaro.
scusatemi però forse non sono stato chiaro, il mio problema è che non riesco a capire come dai dati forniti nel mio problema:
legge oraria cioè ascissa curvilinea e modulo dell'accelerazione, senza avere ulteriori informazioni (comunque ho scritto tutti i dati nel secondo messaggio da me postato) si arrivi ad ottenere l'accelerazione tangenziale e come mai la derivata seconda della legge oraria mi dia proprio l'acc. tangenziale e non la totale.
tutti i ragionamenti, spiegazioni e relative formule, che avete scritto, sono perfettamente corretti, ma non mi aiutano a decifrare il procedimento con cui si arriva alla soluzione da me sritta.
legge oraria cioè ascissa curvilinea e modulo dell'accelerazione, senza avere ulteriori informazioni (comunque ho scritto tutti i dati nel secondo messaggio da me postato) si arrivi ad ottenere l'accelerazione tangenziale e come mai la derivata seconda della legge oraria mi dia proprio l'acc. tangenziale e non la totale.
tutti i ragionamenti, spiegazioni e relative formule, che avete scritto, sono perfettamente corretti, ma non mi aiutano a decifrare il procedimento con cui si arriva alla soluzione da me sritta.
scusatemi però forse non sono stato chiaro, il mio problema è che non riesco a capire come dai dati forniti nel mio problema:
legge oraria cioè ascissa curvilinea e modulo dell'accelerazione, senza avere ulteriori informazioni (comunque ho scritto tutti i dati nel secondo messaggio da me postato) si arrivi ad ottenere l'accelerazione tangenziale e come mai la derivata seconda della legge oraria mi dia proprio l'acc. tangenziale e non la totale.
tutti i ragionamenti, spiegazioni e relative formule, che avete scritto, sono perfettamente corretti, ma non mi aiutano a decifrare il procedimento con cui si arriva alla soluzione da me sritta.
legge oraria cioè ascissa curvilinea e modulo dell'accelerazione, senza avere ulteriori informazioni (comunque ho scritto tutti i dati nel secondo messaggio da me postato) si arrivi ad ottenere l'accelerazione tangenziale e come mai la derivata seconda della legge oraria mi dia proprio l'acc. tangenziale e non la totale.
tutti i ragionamenti, spiegazioni e relative formule, che avete scritto, sono perfettamente corretti, ma non mi aiutano a decifrare il procedimento con cui si arriva alla soluzione da me sritta.
"nicolo83":
avevo come dati la legge oraria di un moto circolare vario, e il modulo dell'accelerazione
partendo dalla legge oraria ossia viene data $s(t)$ la coordinata curvilinea lungo la circonferenza rispetto al tempo:
$s(t)= t^2 + 2t$
si deriva e si trova la velocità: $v(t)= 2t + 2$
derivando ancora si dovrebbe ottenere l'accelerazione che però è già data, e viene detto che al tempo $t=2 secondi $ il modulo vale $2sqrt(5)$ $m/s^2$
invece dal risultato ottenuto tramite derivazione della velocità, si ottiene che l'acc. è costante in modulo ed è uguale a
$2$ $m/s^2$
dai risultati dell'esercizio viene detto che $2$ $m/s^2$ è l'acc. tangenziale.
Avevo pensato che per errore erano stati invertiti i valori dell'accelerazione e quello della sua componente tangenziale, però $2sqrt(5)$ è maggiore di 2 e quindi credo che il modulo di un vettore non possa essere minore del modulo di una sua componente; allora come si è arrivati ad ottenere l'acc. tangenziale a partire dalla legge oraria ed il modulo dell'accelerazione in un dato istante?(altri dati non sono noti)
"nicolo83":
come dai dati forniti nel mio problema:
legge oraria cioè ascissa curvilinea e modulo dell'accelerazione, senza avere ulteriori informazioni (comunque ho scritto tutti i dati nel secondo messaggio da me postato) si arrivi ad ottenere l'accelerazione tangenziale e come mai la derivata seconda della legge oraria mi dia proprio l'acc. tangenziale e non la totale.
A questo ho già risposto ($R\theta(t)=s(t)$)
"6KIRA6":
Per l'accelerazione abbiamo $ \bar a=\dot\bar v=R\ddot\theta(t)\hat\theta-R(\dot\theta(t))^2\hat{r}$ . Dunque l'accelerazione ha una componete radiale (diretta nell'origine) e una tangenziale.
Come vedi basta solo sapere $s(t)$ per conoscere la compontente lungo $\hat\theta$ (ovvero tangenziale) dell'accelerazione.
non capisco in che modo collegare quando detto da te, che è corretto, ma non mi è utile a risolvere il mio dubbio
primo punto: nei dati noti del mio problema non ho il raggio nè accelerazione tangenziale sono da trovare
secondo punto: la derivata seconda della legge oraria mi da un valore diverso dall'accelerazione (a me già noto dai dati iniziali), coincide INVECE con il valore dell'accelerazione tangenziale (il cui valore è dato nella soluzione dell'esercizio non nei dati iniziali) come è possibile che succeda questo?
primo punto: nei dati noti del mio problema non ho il raggio nè accelerazione tangenziale sono da trovare
secondo punto: la derivata seconda della legge oraria mi da un valore diverso dall'accelerazione (a me già noto dai dati iniziali), coincide INVECE con il valore dell'accelerazione tangenziale (il cui valore è dato nella soluzione dell'esercizio non nei dati iniziali) come è possibile che succeda questo?
"nicolo83":
secondo punto: la derivata seconda della legge oraria mi da un valore diverso dall'accelerazione (a me già noto dai dati iniziali), coincide INVECE con il valore dell'accelerazione tangenziale (il cui valore è dato nella soluzione dell'esercizio non nei dati iniziali) come è possibile che succeda questo?
A questo ti ho ampiamente risposto e non vale la pena che stia a riscrivere le stesse cose.
"nicolo83":
primo punto: nei dati noti del mio problema non ho il raggio nè accelerazione tangenziale sono da trovare
A questo ti ha risposto esaustivamente Quinzio con i conti che ti ha fatto vedere.
Non pensare che non voglia aiutarti (anzi) , voglio solo che da ciò che ti abbiamo detto ne ricavi tu le conclusioni ragionandoci da solo. Pensaci ancora un pò sopra. Ciao
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo