Moto circolare uniforme (di una ruota della bicicletta)
Ciao a tutti,
Il mio prof di informatica diceva: "quando un perito non sa risolvere un problema, cosa fa? .... Chiama un ltro perito"
Io chiamo voi
"Aiuuuuuto!"
testo:
Una bicicletta senza parafanghi si muove con velocita' costante $v_0$ lungo a
una strada orizzontale ricoperta di fango. Le ruote della bicicletta hanno
raggio $R$. Si determini:
a) la massima altezza $h$ dal suolo raggiunta dalle particelle di fango che si
staccano dalle ruote;
b) l’angolo $\theta_M$ corrispondente al punto di stacco delle particelle di fango che
raggiungono la massima altezza.
io ho provato ad impostare così:
...ehm, diciamo k ho problemi ad impostare l'esercizio ..
so che la ruota si muove con una velocita' $v_0$, quindi la velocita' tangenziale $v$ della particella di fango che si muove attaccata alla ruota è $v = \omega * R$. Ora, io ho la $v_0$ che dovrebbe essere pari alla velocita' tangenziale $v$. Quindi ho provato a fare così:
Così, al volo, su 2 pieditenderei a pensare che la particella di fango si stacchera' ad un angolo $\theta$ dipendente dalla velocita' del rotolamento. sarrei' tentato di dire che la particella si stacchera' nel punto $P$ ($180°, 2\pi$, misurato dentro la ruota) per raggiungere il punto piu' alto, dato che tutta la sua velocita' è in verticale, diretta in alto. (vedi immagine sotto).
tuttavia so che quando vado in bici, ed il terreno è bagnato, mi sporco sempre la schiena e il culo, questo significa che le particelle di fango (almeno alcune) si staccano da un ipotetico punto $P$, ad un angolo $\alpha$ minore di $180°$ (misurato dentro la ruota)(vedi immagine sotto)
non so proprio come uscirne, qualcuno ha qualche suggerimento ?
Devo fare una specie di studio di funzione dove cerco il punto di massimo al variare dell'angolo?
Devo controllare quando l'accelerazione centripta $a_c$ non riesce piu' a trattenere la particella attaccata alla ruota?
Il mio prof di informatica diceva: "quando un perito non sa risolvere un problema, cosa fa? .... Chiama un ltro perito"
Io chiamo voi
"Aiuuuuuto!"testo:
Una bicicletta senza parafanghi si muove con velocita' costante $v_0$ lungo a
una strada orizzontale ricoperta di fango. Le ruote della bicicletta hanno
raggio $R$. Si determini:
a) la massima altezza $h$ dal suolo raggiunta dalle particelle di fango che si
staccano dalle ruote;
b) l’angolo $\theta_M$ corrispondente al punto di stacco delle particelle di fango che
raggiungono la massima altezza.
io ho provato ad impostare così:
...ehm, diciamo k ho problemi ad impostare l'esercizio ..
so che la ruota si muove con una velocita' $v_0$, quindi la velocita' tangenziale $v$ della particella di fango che si muove attaccata alla ruota è $v = \omega * R$. Ora, io ho la $v_0$ che dovrebbe essere pari alla velocita' tangenziale $v$. Quindi ho provato a fare così:
Così, al volo, su 2 pieditenderei a pensare che la particella di fango si stacchera' ad un angolo $\theta$ dipendente dalla velocita' del rotolamento. sarrei' tentato di dire che la particella si stacchera' nel punto $P$ ($180°, 2\pi$, misurato dentro la ruota) per raggiungere il punto piu' alto, dato che tutta la sua velocita' è in verticale, diretta in alto. (vedi immagine sotto).
tuttavia so che quando vado in bici, ed il terreno è bagnato, mi sporco sempre la schiena e il culo, questo significa che le particelle di fango (almeno alcune) si staccano da un ipotetico punto $P$, ad un angolo $\alpha$ minore di $180°$ (misurato dentro la ruota)(vedi immagine sotto)
non so proprio come uscirne, qualcuno ha qualche suggerimento ?
Devo fare una specie di studio di funzione dove cerco il punto di massimo al variare dell'angolo?
Devo controllare quando l'accelerazione centripta $a_c$ non riesce piu' a trattenere la particella attaccata alla ruota?
Risposte
Ciao.
Non credo qui tu debba fare considerazioni sulla forza centrifuga e sull'adesione del fango alla gomma...
Penso il problema vada interpretato come un puro problema di cinematica: quindi devi trovare quale è la massima altezza che raggiunge un punto materiale (sottoposto a accelerazione di gravità) che si stacca a partire da un certo angolo dalla ruota che quindi ha una velocità iniziale data.
Suggerimento: puoi considerare che il moto di traslazione e rotazione della ruota è equivalente istantaneamente a una rotazione pura attorno al punto di contatto tra ruota e piano, oppure per il calcolo della velocità iniziale sommi la componente dovuta alla rotazione attorno al centro della ruota e ci aggiungi il contributo della traslazione del centro della ruota.
Non credo qui tu debba fare considerazioni sulla forza centrifuga e sull'adesione del fango alla gomma...
Penso il problema vada interpretato come un puro problema di cinematica: quindi devi trovare quale è la massima altezza che raggiunge un punto materiale (sottoposto a accelerazione di gravità) che si stacca a partire da un certo angolo dalla ruota che quindi ha una velocità iniziale data.
Suggerimento: puoi considerare che il moto di traslazione e rotazione della ruota è equivalente istantaneamente a una rotazione pura attorno al punto di contatto tra ruota e piano, oppure per il calcolo della velocità iniziale sommi la componente dovuta alla rotazione attorno al centro della ruota e ci aggiungi il contributo della traslazione del centro della ruota.
Io ritengo che il problema si possa semplificare considerando la ruota soltanto in rotazione attorno al suo centro con velocità angolare $omega=V_0/R$ in quanto la componente orizzontale della velocità non influenza l'altezza raggiunta.
L'altezza dal suolo del punto di distacco è $R+Rsinalpha$.
La componente verticale della velocità di distacco è $-V_0cosalpha$ per cui l'altezza raggiunta è:
$H=R+Rsinalpha+(-V_0cosalpha)^2/(2g)$
Ora si tratta di trovare il suo valore massimo derivando rispetto ad $alpha$...
L'altezza dal suolo del punto di distacco è $R+Rsinalpha$.
La componente verticale della velocità di distacco è $-V_0cosalpha$ per cui l'altezza raggiunta è:
$H=R+Rsinalpha+(-V_0cosalpha)^2/(2g)$
Ora si tratta di trovare il suo valore massimo derivando rispetto ad $alpha$...
Sono piu' propenso a ragionare nell'ottica di MaMo, 
tuttavia non mi è chiara una cosa: io ho ragionato così:
prediamo il punto $P$ (punto rosso) come il punto di stacco della particella.
potrei studiare il suo moto sull'asse $Y$:
$y = y_0 + v_0*t + 1/2 *a*t^2$
$y = R + R*sin\alpha + v_{0x}*t - 1/2 *g*t^2$
$y = R + R*sin\alpha + v_0*cos\alpha*t - 1/2 *g*t^2$
cioè: dalla formula $v = v_0 -a*t$ ottengo $t = -v_0/g$ e sostituisco $t$ nella formula sopra scritta: $y = R + R*sin\alpha + v_0*cos\alpha*t - 1/2 *g*t^2$
ed ottengo:
$y = R + R*sin\alpha + v_0*cos\alpha*(v_0/g) - 1/2 *g*(-v_0/g)^2$
$y = R + R*sin\alpha + ((-v_0^2*cos\alpha)/g) - 1/2 *g*(-v_0^2/g^2)$, semplifico la $g$
$y = R + R*sin\alpha + ((-v_0^2*cos\alpha)/g) - 1/2 *-v_0^2/g)$
$y = R + R*sin\alpha + ((-v_0^2*cos\alpha)/g )+ v_0^2/(2g))$
$y = R + R*sin\alpha + ((-2*v_0^2*cos\alpha + v_0^2)/(2g))$ ma questa ha un termine in piu 'della tua.. boh
ma sul libro la soluzione è $h = R +((gR^2)/(2*v_0^2))+(v_0^2/(2g))$ che immagino dovrebbe derivare dalla derivazione rispetto ad $\alpha$ dalla $y = R + R*sin\alpha + ((-2*v_0^2*cos\alpha + v_0^2)/(2g))$
tuttavia non mi è chiara una cosa: io ho ragionato così:
prediamo il punto $P$ (punto rosso) come il punto di stacco della particella.
potrei studiare il suo moto sull'asse $Y$:
$y = y_0 + v_0*t + 1/2 *a*t^2$
$y = R + R*sin\alpha + v_{0x}*t - 1/2 *g*t^2$
$y = R + R*sin\alpha + v_0*cos\alpha*t - 1/2 *g*t^2$
cioè: dalla formula $v = v_0 -a*t$ ottengo $t = -v_0/g$ e sostituisco $t$ nella formula sopra scritta: $y = R + R*sin\alpha + v_0*cos\alpha*t - 1/2 *g*t^2$
ed ottengo:
$y = R + R*sin\alpha + v_0*cos\alpha*(v_0/g) - 1/2 *g*(-v_0/g)^2$
$y = R + R*sin\alpha + ((-v_0^2*cos\alpha)/g) - 1/2 *g*(-v_0^2/g^2)$, semplifico la $g$
$y = R + R*sin\alpha + ((-v_0^2*cos\alpha)/g) - 1/2 *-v_0^2/g)$
$y = R + R*sin\alpha + ((-v_0^2*cos\alpha)/g )+ v_0^2/(2g))$
$y = R + R*sin\alpha + ((-2*v_0^2*cos\alpha + v_0^2)/(2g))$ ma questa ha un termine in piu 'della tua.. boh
ma sul libro la soluzione è $h = R +((gR^2)/(2*v_0^2))+(v_0^2/(2g))$ che immagino dovrebbe derivare dalla derivazione rispetto ad $\alpha$ dalla $y = R + R*sin\alpha + ((-2*v_0^2*cos\alpha + v_0^2)/(2g))$
L'ottica è la stessa, solo che la deduzione dell'ininfluenza dalla velocità di traslazione della ruota io non te l'avevo scritta perché aspettavo lo facessi tu quel passaggio...
Se scrivi la legge oraria del moto verticale del punto poi devi trovarti anche l'istante a cui si raggiunge la massima quota per sostituirlo nella legge oraria e trovare la massima quota appunto.
Altrimenti con l''approccio energetico, la quota massima verticale a cui giunge un punto lanciato con velocità verticale $v_0$ è data da:
$1/2 m v_0^2 = mg H$
da cui $H=1/2 v_0^2/g$
Se scrivi la legge oraria del moto verticale del punto poi devi trovarti anche l'istante a cui si raggiunge la massima quota per sostituirlo nella legge oraria e trovare la massima quota appunto.
Altrimenti con l''approccio energetico, la quota massima verticale a cui giunge un punto lanciato con velocità verticale $v_0$ è data da:
$1/2 m v_0^2 = mg H$
da cui $H=1/2 v_0^2/g$
"Faussone":
L'ottica è la stessa, solo che la deduzione dell'ininfluenza dalla velocità di traslazione della ruota io non te l'avevo scritta perché aspettavo lo facessi tu quel passaggio...
scusa ma mi ero troppo confuso con le mie mene..
cmq qualcosa nn torna lo stesso, credo
... sono un po' fuso, troppo stress oggi se ti va leggi sopra che ho rieditatoPS: ho appena riletto il tuo 1° messaggio: scusa ho letto male io, hai suggerito bene
Il tempo per raggiungere l'altezza massima è $t=(v_0cosalpha)/g$....
"MaMo":
Il tempo per raggiungere l'altezza massima è $t=(v_0cosalpha)/g$....
facciamo finta k non l'ho mai chiesto?
"MaMo":
Io ritengo che il problema si possa semplificare considerando la ruota soltanto in rotazione attorno al suo centro con velocità angolare $omega=V_0/R$ in quanto la componente orizzontale della velocità non influenza l'altezza raggiunta.
L'altezza dal suolo del punto di distacco è $R+Rsinalpha$.
La componente verticale della velocità di distacco è $-V_0cosalpha$ per cui l'altezza raggiunta è:
$H=R+Rsinalpha+(-V_0cosalpha)^2/(2g)$
Ora si tratta di trovare il suo valore massimo derivando rispetto ad $alpha$...
io ho derivato come hai detto tu e mi viene:
$H'=R*cos(alpha)+((V_0)/(2g))*(2cos(alpha)*sin(alpha))$
ma non mi trovo con la soluzione citata da 'giovannino88' nel suo post
:S
https://www.matematicamente.it/forum/il- ... 58371.html
cos è che non va?
ragazzi ne approfito per chiedervi una cosa su questo stesso esercizio, spero non sia troppo banale...ma se mi viene chiesto di scrivere la velocità $ v $ in funzione dell' angolo alpha come posso fare???
Grazie
Grazie
@clever
Il risultato torna hai solo dimenticato un quadrato alla $v$ nel secondo addendo (hai $v_0^2/(2g)$ come coefficiente) poi eguagliando a zero la derivata ottieni quel risultato.
@*ataru*
Che componente della velocità? In quale istante? In ogni caso non mi sembra difficile, prova a pensarci e a scrivere qui cosa faresti.
Il risultato torna hai solo dimenticato un quadrato alla $v$ nel secondo addendo (hai $v_0^2/(2g)$ come coefficiente) poi eguagliando a zero la derivata ottieni quel risultato.
@*ataru*
Che componente della velocità? In quale istante? In ogni caso non mi sembra difficile, prova a pensarci e a scrivere qui cosa faresti.
ma mi interesserebbe sapere per $ vx(alpha) $ e $ vy(alpha) $ (per la velocità assoluta del punto genercio sul bordo esterno della ruota).
Francamente ci ho provato mi viene in mente di trovare le componenti della velocità lungo x e lungo y ma riesco ad esprimere solo in funzione del tempo
$ vx(t) = - R omega sin (omega t + alpha0 )
$ vy(t) = R omega cos (omega t + alpha0 )
credo si debba fare qualche integrazione...ma non riesco propio ad uscirne.
Grazie dell'aiuto
Francamente ci ho provato mi viene in mente di trovare le componenti della velocità lungo x e lungo y ma riesco ad esprimere solo in funzione del tempo
$ vx(t) = - R omega sin (omega t + alpha0 )
$ vy(t) = R omega cos (omega t + alpha0 )
credo si debba fare qualche integrazione...ma non riesco propio ad uscirne.
Grazie dell'aiuto
"Faussone":
@clever
Il risultato torna hai solo dimenticato un quadrato alla $v$ nel secondo addendo (hai $v_0^2/(2g)$ come coefficiente) poi eguagliando a zero la derivata ottieni quel risultato.
per il fatto del $v^2$ mi trovo, non l'ho scritto io qui, ma sul quaderno ci sta xD
ora mi dici di uguagliare a $0$.
verrebbe tipo:
$R*cos(alpha)-((v^2)/(2g))*2cos(alpha)*sin(alpha)=0$
$R - ((v^2)/(2g))*2*sin(alpha)=0$
$R=((v^2)/(2g))*2*sin(alpha)=0$
$sin(alpha)=2Rg/(V^2)$
$alpha=arcsin(2Rg/(V^2)$
cosi? ho mancato qualcosa? :S
"clever":
[quote="Faussone"]@clever
Il risultato torna hai solo dimenticato un quadrato alla $v$ nel secondo addendo (hai $v_0^2/(2g)$ come coefficiente) poi eguagliando a zero la derivata ottieni quel risultato.
per il fatto del $v^2$ mi trovo, non l'ho scritto io qui, ma sul quaderno ci sta xD
ora mi dici di uguagliare a $0$.
verrebbe tipo:
$R*cos(alpha)-((v^2)/(2g))*2cos(alpha)*sin(alpha)=0$
$R - ((v^2)/(2g))*2*sin(alpha)=0$
$R=((v^2)/(2g))*2*sin(alpha)=0$
$sin(alpha)=2Rg/(V^2)$
$alpha=arcsin(2Rg/(V^2)$
cosi? ho mancato qualcosa? :S[/quote]
Scusami tanto ma non ti capisco, devi fare solo passaggi algebrici e risolvere un'equazione con un seno. Quali sono i dubbi?
Il risultato è uguale alla soluzione riportata a cui ti riferisci... errori a parte, il 2 si semplifica.
"Faussone":
@*ataru*
prova a pensarci e a scrivere qui cosa faresti.
contnuo a pensarci e forse mi sto avicinando alla soluzione.
(spero di non aver scritto una cavolata
)Ma se pensassi:
$ V =$ integrale (con estremi $theta0 ; theta$ ) di $omega R$ in $d(theta) $
e quindi mi troverei
$V(theta) = Romegatheta
e quindi per le componenti
$Vx(theta) = Rcos(theta)omegatheta
$Vy(theta) = Rsin(theta)omegatheta
Ci sono andato vicino o è talmente una coprolalia che posso anche andarme
??
Prima di tutto impara a scrivere le formule, integrali compresi.
Non è difficile. Tra l'altro per semplificarti le cose c'è il bottone "Formula" a lato della finestra per scrivere i messaggi.
Sennò non si capisce nulla, o bisogna fare uno sforzo solo per capire quello che c'è scritto.
Comunque, se ho capito bene quello che vuoi trovare, non ti serve fare alcun integrale.
Vuoi ricavare la velocità di un punto della ruota in funzione del suo angolo $alpha$, dove $alpha$ è l'angolo al centro della circonferenza mostrato da Bog qui?
Lo puoi fare facilmente dato che il moto della ruota è un moto di traslazione con velocità $omega*R$ lungo $x$ più un moto di rotazione attorno al centro con velocità angolare $omega$, quindi:
$v_x=omega*R+omega*R*sin(alpha)$
$v_y=omega*R*cos(alpha)$
Non è difficile. Tra l'altro per semplificarti le cose c'è il bottone "Formula" a lato della finestra per scrivere i messaggi.
Sennò non si capisce nulla, o bisogna fare uno sforzo solo per capire quello che c'è scritto.
Comunque, se ho capito bene quello che vuoi trovare, non ti serve fare alcun integrale.
Vuoi ricavare la velocità di un punto della ruota in funzione del suo angolo $alpha$, dove $alpha$ è l'angolo al centro della circonferenza mostrato da Bog qui?
Lo puoi fare facilmente dato che il moto della ruota è un moto di traslazione con velocità $omega*R$ lungo $x$ più un moto di rotazione attorno al centro con velocità angolare $omega$, quindi:
$v_x=omega*R+omega*R*sin(alpha)$
$v_y=omega*R*cos(alpha)$
"Faussone":
Prima di tutto impara a scrivere le formule, integrali compresi.
Non è difficile. Tra l'altro per semplificarti le cose c'è il bottone "Formula" a lato della finestra per scrivere i messaggi.
Sennò non si capisce nulla, o bisogna fare uno sforzo solo per capire quello che c'è scritto.
scusami, ancora devo orientarmi come si deve.
Per quanto riguarda l'esercizio quindi avrei dovuto ragionare sin da prima come se avessi avuto a che fare con due moti uno di rotazione e uno di traslazione...ero propio fuori strada.
Ti ringrazio moltissimo ora ci ragiono ancora un pò su, scusami ancora per le formule
Grazie
Nessun problema, d'altronde sei all'inizio, ti ho ripreso solo perché se hai il tempo di vedere come inserire il tuo avatar potresti impegnarti altrettanto a vedere qualcosa sull'inserimento delle formule che è molto più utile per te e per gli altri.
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