Moto circolare e lavoro

[giuseppeangora]

Una massa puntiforme m si muove di moto circolare, con velocità v, su un piano orizzontale, in assenza di attrito. La massa è infatti collegata ad un filo inestensibile che passa attraverso un piccolo foro praticato nel piano, attraverso il quale può scorrere senza attrito, e all’altro estremo del filo, che esce dal foro verso il basso lungo la verticale, è applicata una forza F che tiene in equilibrio la massa su un’orbita di raggio R. A questo punto la forza applicata viene aumentata gradualmente, fino a che la massa viene portata a ruotare su una traiettoria circolare di raggio R/2. Calcolare il lavoro della forza. Risolvere numericamente l’esercizio assumendo: R=20cm, v= 1m/s, m=100gr.

Dunque, io lo imposterei così: sfrutterei il teorema delle forze vive e la conservazione del momento angolare (visto che il momento della forza rispetto al foro è nullo): \(\displaystyle W = \Delta K = 1/2 m v_1^2 - 1/2mv_0^2 \) e \(\displaystyle r_0 m v_0=r_1 m v_1 \) da quest'ultima ricavo \(\displaystyle v_1 = v_0r_0/r_1 = 2v_0 \) , quindi sostituendo nella prima \(\displaystyle W = 1/2m(2v_0)^2 - 1/2mv_0^2 = 3/2mv_0^2 \).
L'unica cosa è che in questo modo non ho utilizzato il valore di R per determinare il lavoro, e la cosa mi sembra un po' strana. Cosa ne dite?

[Shackle]

Sia $r_0$ il raggio iniziale, e $r_1 = r_0/2 $ quello finale. LA forza $F$ agente sul filo è centrale , il suo momento rispetto al centro è nullo , quindi si conserva il momento angolare durante il trasferimento della massa dalla prima alla seconda orbita ; indicando con $r$ un raggio generico tra i due, e $omega$ la corrispondente velocità angolare , entrambi variabili , si deve avere in ogni istante :

$L = mr_0^2omega_0^ = mr^2omega rarr omega = omega_0 r_0^2/r^2$ .....(1)

d'altronde , la forza esercitata dal filo è centripeta, quindi : $ F = mromega^2 = m (omega_0^2r_0^4)/r^3 $ ....(2)

nella (2) ho sostituito la (1) per $omega$ .

Perciò , si può scrivere anche : $ F = L^2/m*1/r^3 $ , introducendo il momento angolare dato dalla (1) .
Quindi la forza è inversamente proporzionale al cubo del raggio.

Il lavoro elementare della forza vale quindi : $dW = F*dr = L^2/m (dr)/r^3 $

integrando da $r_0 $ a $r_1$ , si ottiene il lavoro totale :

$W = L^2/(2m)( 1/r_1^2 - 1/r_0^2 )$

che si può anche scrivere : $W = L^2/(2m) 1/r_0^2 [(r_0/r_1)^2-1] = 3/2mv_0^2 $

Quindi il raggio si usa . Per portare una particella in rotazione da una certa distanza a una distanza minore si deve compiere lavoro esterno. Qui la gravità non c'entra, il filo è tirato da una mano .

PS : facendo ricerche nel forum, ho trovato che l'esercizio era stato gia risolto da @anonymous_0b37e9 e Feddy :

qui .