Moto circolare

[Student92]

Salve sto studiando il moto circolare e ho alcuni dubbi su come si ricava alcune formule, ho capito che questo moto può essere descritto facendo riferimento allo spazio percorso sulla circonferenza $s(t)$ oppure utilizzando l' angolo $theta(t)$ sotteso all' arco $s(t)$ con $theta(t)=(s(t))/R$. Assumendo come variabile $theta(t)$ significa che siamo interessati alle variazioni dell' angolo nel tempo e per questo definiamo la $velocità angolare$ come la derivata dell' angolo rispetto al tempo:
$omega=(d\theta)/dt=1/R*(ds)/dt=v/R$ quello che non riesco a capire è $1/R*(ds)/dt$ ma da dove salta fuori????? Che ipotesi fa??? Sul libro non lo porta e io non so cosa pensare....

[Palliit]

[tex]\vartheta(t) =\frac{s(t)}{R}\Rightarrow \frac{\mathrm{d} \vartheta}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}\left ( \frac{s}{R}\right )=\frac{1}{R}\frac{\mathrm{d} s}{\mathrm{d} t}[/tex]

[Summerwind78]

Ciao


per definizione, la lunghezza di un arco di circonferenza che chiamiamo $s$ (oovero nel tuo caso, lo spazio percorso) è dato da

$s=\thetaR$ dove $\theta$ è l'angolo che racchiude l'arco e $R$ è il raggio

da cui hai che $\theta= s/R$

ricordando che il raggio è una grandezza costante in questo moto, hai che la variazione infinitesima di arco $ds$ sarà quindi data dalla variazione infinitesima di angolo fratto il raggio ovvero

$ds = (d\theta)/R$

[mircoFN1]

"Summerwind78":
...
ricordando che il raggio è una grandezza costante in questo moto, hai che la variazione infinitesima di arco $ds$ sarà quindi data dalla variazione infinitesima di angolo fratto il raggio ovvero

$ds = (d\theta)/R$

Attenzione che non è commutativo

ricordando che il raggio è una grandezza costante in questo moto, hai che la variazione infinitesima di angolo sarà quindi data dalla variazione infinitesima di arco $ds$ fratto il raggio ovvero

$d\theta =(ds)/R$

[Sk_Anonymous]

MircoFn,

dai , è evidente che "Vento d'estate" ha fatto un errore di...strazione !

[Student92]

ok fino a qui ci sono

[Summerwind78]

Si ho sbagliato a scrivere e non me ne sono accorto

chiedo venia

[mircoFN1]

Il mio intervento non era per Summerwind8 ma per Merlino.

[Student92]

Allora da quello che avete scritto ho capito che la lunghezza di un arco di circonferenza è uguale $s=\theta*R$, correggetemi se sbaglio la lunghezza di un arco di circonferenza si ricava da questa proporzione $360:\theta=2\piR:s$ la $s$ sarà uguale a $(2\piR*\theta)/360$ dove al posto di $360$ utilizziamo $2\pi$ ed otteniamo $s=R*\theta$ passando ai valori infinitesimi otteniamo $ds=R*d\theta$ e quindi si arriva a $d\theta=(ds)/R$ ho capito bene????? Correggetemi se sbaglio... Quindi la velocità angolare a sua volta sarà uguale alla derivata di $\theta$ rispetto al tempo e quindi $\omega=(d\theta)/dt$ al posto di $d\theta$ mettiamo $d/dt(ds)/R$ ed otteniamo $v/R$, insomma in questo modo si arriva alla mia rischiesta??? Mica c' è altro da sapere???? Ho interpretato bene quello che avete scritto?????

[Sk_Anonymous]

Merlino,

Palliit ti ha risposto con un mezzo rigo di formulette, che da sola bastava a risponderti. Comunque quello che hai scritto è giusto, ma non farti prendere dal panico. In una circonferenza di raggio $R$, la lunghezza di un arco è proporzionale all'angolo corrispondente, e la costante di proporzionalità è il raggio: è tutto qui. Dovresti saperlo dalla Geometria delle medie.

[Student92]

Ma allo stesso risultato si può arrivare moltiplicando e dividendo per $(ds)/(ds)$ ottenendo in questo modo $(d\phi)/dt=(d\phi)/(ds) * (ds)/dt$ ricordando che $(d\phi)/(ds)= 1/R$ e $(ds)/dt=v$ ...arrivo allo stesso risultato????

[Sk_Anonymous]

Merlino, il raggio è costante, perciò:

$s=\theta*R \Rightarrow (ds)/(dt) = (d(\theta*R))/(dt) = R*(d\theta)/(dt)\Rightarrow v = \omega*R $

da cui: $ \omega=(d\theta)/(dt) = 1/R*v = 1/R*(ds)/(dt)$

E' al ripetizione di quello che aveva scritto Palliit

[Student92]

Questo risultato ottenuto per il moto circolare, si può estendere anche all' accellerazione nel moti piano, che si può scomporre nell' accellerazione tangenziale e in quella normale considerando però la circonferenza osculatrice? Inoltre la circonferenza osculatrice varia istante per istante lungo la traiettoria?

[Sk_Anonymous]

"Merlino":Questo risultato ottenuto per il moto circolare, si può estendere anche all' accellerazione nel moti piano, che si può scomporre nell' accellerazione tangenziale e in quella normale considerando però la circonferenza osculatrice? Inoltre la circonferenza osculatrice varia istante per istante lungo la traiettoria?

Merlino, "accelerazione" si scrive con 1 sola "l", intesi? Capisco che, nella furia di voler cambiare velocità, ci metti una "l" di più, ma l'accelerazione è calma, si accontenta di una sola "l"....

In un moto curvilineo qualsiasi, supponi di conoscere la velocità vettoriale $\vecv$ in un certo istante, che puoi scrivere come prodotto del modulo per il versore tangente: $\vecv = v*\vecT$.

L'accelerazione è, per definizione, la derivata della velocità rispetto al tempo:

$\veca = (d\vecv)/(dt) = (d(v*\vecT))/(dt) = (dv)/(dt)*\vecT + v*(d\vecT)/(dt) = a_t*\vecT + v*(d\vecT)/(dt)$------(1)

Nella (1) , la quantità vettoriale $a_t*\vecT $ è l'accelerazione tangenziale: come vedi, il suo versore è ancora $\vecT$ , il suo modulo è : $ a=(dv)/(dt)$, che dà conto di come varia il modulo della velocità nel tempo.

C'è poi il termine $v*(d\vecT)/(dt) $ , che dà invece conto di come il versore $\vecT$ , spostandosi il punto $P$, cambi pure direzione, cioè "ruoti".
La direzione ruotata la si trova disegnando un paio di triangolini, se guardi sul tuo libro certamente li trovi.
Nel calcolo vettoriale, si dimostra che la derivata di un vettore $\vecA$ di modulo costante $A$, che ruota con con una velocità angolare $\omega$, è un vettore di modulo pari a $\omega*A$ ruotato di $\pi/2$ nel senso in cui ruota il vettore stesso.

Se nel punto $P$ consideri il cerchio osculatore, che ha con la traiettoria curvilinea un contatto "triplo" (ha in comune con la curva il punto, la tangente e il raggio di curvatura $R$), è come se nel tratto $ds$ di curva il punto si muovesse su un archetto di quel cerchio, con velocità tangenziale $\vecv$ e quindi con velocità angolare istantanea di modulo pari a $\omega = v/R$. Perciò risulta : $v*(d\vecT)/(dt) = v*v/R*\vecN = v^2/R*\vecN$ .

Qui $\vecN$ è il versore in $P$ normale a $\vecT$ e diretto verso il centro .

La quantità vettoriale : $ v^2/R*\vecN$ è l'accelerazione centripeta, o normale .

Perciò in ogni punto l'accelerazione (vettoriale) è somma della acc tangenziale e della acc normale.

Si, il cerchio osculatore cambia da punto a punto lungo la traiettoria.

[Student92]

Insomma è lo stesso discorso che si fa per il moto circolare, però in questo caso considerando il cerchio osculatore, e facendo le opportune considerazioni...giusto???