Moto Circolare
Problema1:
Un punto materiale si muove su una circonferenza di raggio $R = 1 m$ con moto uniformemente accelerato. Negli intervalli di tempo ($t0 = 0$, $t1 = 1 s$) e
($t0 = 0$, $t2 = 2 s$) il punto percorre gli spazi $Δs1 = 0.15 m$ e $Δs2 = 0.4 m$, rispettivamente. Calcolare:
(a) l'accelerazione tangenziale $aT$ e la velocità scalare $v0$ all'istante $t0 = 0$;
(b) il valore medio $v$ del modulo della velocità e quello $aT$ del modulo dell'accelerazione tangenziale nell'intervallo di tempo ($t0 = 0$ e $t2 = 2 s$);
(c) la velocità angolare $ω$ e il modulo dell'accelerazione a all'istante $t2 = 2 s$
Problema2:
Un punto materiale si muove su una circonferenza di raggio $R = 0.1 m$ e le sue coordinate variano nel tempo secondo le leggi parametriche $x(t) = R cos (πt3)$ e
$y(t) = R sin (πt3)$. Calcolare:
(a) la velocità media vettoriale $v$ tra gli istanti $t1 = 0$ e $t2 = 2 s$;
(b) i vettori velocità $v$ e accelerazione $a$ all'istante $t2 = 2 s$.
Grazie per l'aiuto!Non riesco a venirne fuori
Un punto materiale si muove su una circonferenza di raggio $R = 1 m$ con moto uniformemente accelerato. Negli intervalli di tempo ($t0 = 0$, $t1 = 1 s$) e
($t0 = 0$, $t2 = 2 s$) il punto percorre gli spazi $Δs1 = 0.15 m$ e $Δs2 = 0.4 m$, rispettivamente. Calcolare:
(a) l'accelerazione tangenziale $aT$ e la velocità scalare $v0$ all'istante $t0 = 0$;
(b) il valore medio $v$ del modulo della velocità e quello $aT$ del modulo dell'accelerazione tangenziale nell'intervallo di tempo ($t0 = 0$ e $t2 = 2 s$);
(c) la velocità angolare $ω$ e il modulo dell'accelerazione a all'istante $t2 = 2 s$
Problema2:
Un punto materiale si muove su una circonferenza di raggio $R = 0.1 m$ e le sue coordinate variano nel tempo secondo le leggi parametriche $x(t) = R cos (πt3)$ e
$y(t) = R sin (πt3)$. Calcolare:
(a) la velocità media vettoriale $v$ tra gli istanti $t1 = 0$ e $t2 = 2 s$;
(b) i vettori velocità $v$ e accelerazione $a$ all'istante $t2 = 2 s$.
Grazie per l'aiuto!Non riesco a venirne fuori
Risposte
Anch'io ho provato a risolvere questo esercizio e ho avuto dei problemi.
Al punto (a) ho pensato che, essendo la definizione di accelerazione tangenziale $aT=\alpha*r$, ed essendo $\alpha=(\Delta\omega)/(\Deltat)$, e a sua volta $\omega=(\Delta\theta)/\(Deltat)" ed infine "\Delta\theta=(\Deltax)/\r$ ho sicuramente tutto quanto mi serve per calcolare l'accelerazione tangenziale.
Però inserendo i dati, a partire da $\Deltat=t1-t0$ e $\Deltax=0.15m$, immagino di aver trovato l'accelerazione tangenziale media nell'intervallo $\Deltax$, ma non di certo l'accelerazione tangenziale istantanea in t0...
come posso fare?
Al punto (a) ho pensato che, essendo la definizione di accelerazione tangenziale $aT=\alpha*r$, ed essendo $\alpha=(\Delta\omega)/(\Deltat)$, e a sua volta $\omega=(\Delta\theta)/\(Deltat)" ed infine "\Delta\theta=(\Deltax)/\r$ ho sicuramente tutto quanto mi serve per calcolare l'accelerazione tangenziale.
Però inserendo i dati, a partire da $\Deltat=t1-t0$ e $\Deltax=0.15m$, immagino di aver trovato l'accelerazione tangenziale media nell'intervallo $\Deltax$, ma non di certo l'accelerazione tangenziale istantanea in t0...
come posso fare?
Rispondo intanto al dubbio di MarKco: in realtà conosci la legge oraria del moto del punto sulla circonferenza, l'arco $\Delta s$ percorso è infatti uguale a
$\Delta s=1/2 a_t * t^2 + v_0 t$ dove $a_t$ è l'accelerazione tangenziale e $v_0$ la velocità al tempo 0.
A questo punto conosci il valore di $\Delta s$ in due istanti e quindi hai un sistema di due equazioni in due incognite da cui calcolare $a_t$ e $v_0$.
$\Delta s=1/2 a_t * t^2 + v_0 t$ dove $a_t$ è l'accelerazione tangenziale e $v_0$ la velocità al tempo 0.
A questo punto conosci il valore di $\Delta s$ in due istanti e quindi hai un sistema di due equazioni in due incognite da cui calcolare $a_t$ e $v_0$.
Ho capito! 
Quindi posso usare la legge oraria del moto uniformemente accelerato! A questo punto mi sorge una domanda: non ho ben chiaro la differenza tra legge oraria ed equazione del moto, ma so che la seconda deriva dalla legge di Newton, la prima invece è una funzione che associa t a x. Questa che tu hai trascritto ($\Deltas=1/2a*t^2+v_0t$) è la legge oraria del moto uniformemente accelerato. Bene, posso usarla in OGNI moto uniformemente accelerato? Spesso il nostro prof negli esami chiede di dare la legge oraria del moto, e non ho mai capito se questa legge oraria è "personalizzata" oppure una volta capita la "tipologia" di moto è sempre quella...
Ad ogni modo grazie mille per la risposta!
Per quanto riguarda il punto b) posso fare come avevo suggerito io? $\Delta\theta=(\Deltax)/r$ --> $\omega=(\Delta\theta)/(\Deltat)$ --> $\alpha=(\Delta\omega)/(\Deltat)$ --> $at=\alpha*r$? In questo modo credo di trovarre velocità e accelerazione tangenziale medie, giusto?
Per il punto c) invece scriverei la legge oraria in forma angolare $(\Delta\theta)=1/2*\alpha*t^2+\omega_0*t$ che poi, derivata in $dt$, diventa $\Delta\omega=\alpha*t+\omega_0$, giusto? Inserendo al posto di t il valore 2s posso trovare la velocità angolare, mentre l'accelerazione è la stessa $\alpha$ che avevo calcolato al punto b). E' corretto?
Quindi posso usare la legge oraria del moto uniformemente accelerato! A questo punto mi sorge una domanda: non ho ben chiaro la differenza tra legge oraria ed equazione del moto, ma so che la seconda deriva dalla legge di Newton, la prima invece è una funzione che associa t a x. Questa che tu hai trascritto ($\Deltas=1/2a*t^2+v_0t$) è la legge oraria del moto uniformemente accelerato. Bene, posso usarla in OGNI moto uniformemente accelerato? Spesso il nostro prof negli esami chiede di dare la legge oraria del moto, e non ho mai capito se questa legge oraria è "personalizzata" oppure una volta capita la "tipologia" di moto è sempre quella...
Ad ogni modo grazie mille per la risposta!
Per quanto riguarda il punto b) posso fare come avevo suggerito io? $\Delta\theta=(\Deltax)/r$ --> $\omega=(\Delta\theta)/(\Deltat)$ --> $\alpha=(\Delta\omega)/(\Deltat)$ --> $at=\alpha*r$? In questo modo credo di trovarre velocità e accelerazione tangenziale medie, giusto?
Per il punto c) invece scriverei la legge oraria in forma angolare $(\Delta\theta)=1/2*\alpha*t^2+\omega_0*t$ che poi, derivata in $dt$, diventa $\Delta\omega=\alpha*t+\omega_0$, giusto? Inserendo al posto di t il valore 2s posso trovare la velocità angolare, mentre l'accelerazione è la stessa $\alpha$ che avevo calcolato al punto b). E' corretto?
"MarKco":
Ho capito!
Quindi posso usare la legge oraria del moto uniformemente accelerato! A questo punto mi sorge una domanda: non ho ben chiaro la differenza tra legge oraria ed equazione del moto, ma so che la seconda deriva dalla legge di Newton, la prima invece è una funzione che associa t a x. Questa che tu hai trascritto ($\Deltas=1/2a*t^2+v_0t$) è la legge oraria del moto uniformemente accelerato. Bene, posso usarla in OGNI moto uniformemente accelerato? Spesso il nostro prof negli esami chiede di dare la legge oraria del moto, e non ho mai capito se questa legge oraria è "personalizzata" oppure una volta capita la "tipologia" di moto è sempre quella...
Sì per legge oraria si intende la posizione del punto materiale (o del corpo) in funzione del tempo, le equazioni del moto sono le equazioni da cui si può ricavare la legge oraria e derivano dall' equazione della dinamica di Newton.
Se il moto è uniformemente accelerato la legge oraria ha sempre quella forma dato che l'accelerazione è costante. Naturalmente in alcuni casi può essere più difficile ricavare l'accelerazione.
"MarKco":
Per quanto riguarda il punto b) posso fare come avevo suggerito io? $\Delta\theta=(\Deltax)/r$ --> $\omega=(\Delta\theta)/(\Deltat)$ --> $\alpha=(\Delta\omega)/(\Deltat)$ --> $at=\alpha*r$? In questo modo credo di trovarre velocità e accelerazione tangenziale medie, giusto?
Giusto.
"MarKco":
Per il punto c) invece scriverei la legge oraria in forma angolare $(\Delta\theta)=1/2*\alpha*t^2+\omega_0*t$ che poi, derivata in $dt$, diventa $\Delta\omega=\alpha*t+\omega_0$, giusto? Inserendo al posto di t il valore 2s posso trovare la velocità angolare, mentre l'accelerazione è la stessa $\alpha$ che avevo calcolato al punto b). E' corretto?
Giusto.
Che bello, finalmente ho capito!
...sai com'è l'esame è domani!
Grazie ancora, ciao ciao!
...sai com'è l'esame è domani!
Grazie ancora, ciao ciao!
Per quanto riguarda il secondo problema, come potrei fare?
Pensavo di calcolare i punti ($x(0), y(0)$) e ($x(2), y(2)$). Così facendo però scopro che il punto materiale parte (ponendo di avere il centro del sistema Oxy nel centro della circonferenza) da (0.1,0) e arriva in due secondi a (0, 0.1), compiendo così un arco pari a un quarto della circonferenza.
A questo punto la velocità vettoriale media la posso trovare facendo $(\Deltax)/\(Deltat)$ per la componente orizzontale e $(\Deltay)/(\Deltat)$ per quella verticale.
Per la cronaca mi viene $(-0.05 m/s, 0.05 m/s)$, il che ha senso
La velocità dopo due secondi secondo me è $(-0.05 m/s, 0 m/s)$ perché immagino che una volta arrivati nel punto (0, 0.1) non ci sia alcuna componente verticale della velocità. Non mi sembra però un'ottima motivazione
Per quanto riguarda l'accelerazione in t=2sec non so bene come fare. Pensavo di usare $v(t)=2at+v_0$ inserendo $t=2$ e al posto di $v(t)$ il vettore che ho appena trovato. Scomponendo in x e y trovo $a_x=-v_x/(2*t)$ e $a_y=-v_y/(2*t)$ cioè il vettore $(-0.05/4, 0.05/4)$, il che mi sembra di nuovo piuttosto sensato.
E' un procedimento corretto?
Pensavo di calcolare i punti ($x(0), y(0)$) e ($x(2), y(2)$). Così facendo però scopro che il punto materiale parte (ponendo di avere il centro del sistema Oxy nel centro della circonferenza) da (0.1,0) e arriva in due secondi a (0, 0.1), compiendo così un arco pari a un quarto della circonferenza.
A questo punto la velocità vettoriale media la posso trovare facendo $(\Deltax)/\(Deltat)$ per la componente orizzontale e $(\Deltay)/(\Deltat)$ per quella verticale.
Per la cronaca mi viene $(-0.05 m/s, 0.05 m/s)$, il che ha senso
La velocità dopo due secondi secondo me è $(-0.05 m/s, 0 m/s)$ perché immagino che una volta arrivati nel punto (0, 0.1) non ci sia alcuna componente verticale della velocità. Non mi sembra però un'ottima motivazione
Per quanto riguarda l'accelerazione in t=2sec non so bene come fare. Pensavo di usare $v(t)=2at+v_0$ inserendo $t=2$ e al posto di $v(t)$ il vettore che ho appena trovato. Scomponendo in x e y trovo $a_x=-v_x/(2*t)$ e $a_y=-v_y/(2*t)$ cioè il vettore $(-0.05/4, 0.05/4)$, il che mi sembra di nuovo piuttosto sensato.
E' un procedimento corretto?
Io dalla legge oraria derivando troverei la velocità in funzione del tempo e poi calcolerei le velocità media facendo la media integrale dato che hai una funzione $v=v(t)$.
Quindi la velocità media sarebbe $v_m= \int_0^2 v(t) dt / 2$ il diviso 2 perchè l'intervallo è di 2 secondi, e se noti fare questo giro equivale a calcolare direttamente la velocità media a partire dagli spostamenti.... come hai fatto tu.
Questo separatamente per ciascuna delle due componenti.
Per il calcolo del punto b) la velocità ce l'hai per derivazione quindi basta che la calcoli al tempo richiesto, per l'accelerazione basta che derivi ancora....
Quindi la velocità media sarebbe $v_m= \int_0^2 v(t) dt / 2$ il diviso 2 perchè l'intervallo è di 2 secondi, e se noti fare questo giro equivale a calcolare direttamente la velocità media a partire dagli spostamenti.... come hai fatto tu.
Questo separatamente per ciascuna delle due componenti.
Per il calcolo del punto b) la velocità ce l'hai per derivazione quindi basta che la calcoli al tempo richiesto, per l'accelerazione basta che derivi ancora....
"Faussone":
Io dalla legge oraria derivando troverei la velocità in funzione del tempo e poi calcolerei le velocità media facendo la media integrale dato che hai una funzione $v=v(t)$.
Per legge oraria intendi le due funzioni parametriche che ha dato lui, o la solita $x(t)=x_0+v_0t+1/2at^2$?
Ah, per inciso, non so nemmeno cosa sia la media integrale!
"Faussone":
(...)
Per il calcolo del punto b) la velocità ce l'hai per derivazione quindi basta che la calcoli al tempo richiesto, per l'accelerazione basta che derivi ancora....
Parli sempre di derivare le funzioni parametriche date all'inizio?
"MarKco":
Per legge oraria intendi le due funzioni parametriche che ha dato lui, o la solita $x(t)=x_0+v_0t+1/2at^2$?
Ah, per inciso, non so nemmeno cosa sia la media integrale!
Intendo le equazioni parametriche fornite dal problema.
La media integrale di una funzione $f(t)$ nell'intervallo $t_1, t_2$ è $(\int_(t_1)^(t_2) f(t) dt) /(t_2-t_1)$.
"MarKco":
Parli sempre di derivare le funzioni parametriche date all'inizio?
Sì.
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