Moto circolare
Ciao a tutti,
Ho dei dubbi sulla definizione seguente riguardante il moto circolare:
"Essendo $ vartheta (t) $ l'angolo che "t" (versore tangente alla traiettoria) forma con l'asse delle $y$ , questa relazione indica come la curvatura sia la rapidità di rotazione della tangente unitaria durante il moto; questo risultato è valido per qualsiasi curva"
Di seguito allego il disegno della circonferenza in questione:
Non capisco come mai dice che l'angolo $ vartheta (t) $ viene formato da $t$ con l'asse $y$ mentre per il disegno è l'angolo che $R$ forma con l'asse delle $x$, e la definizione di curvatura come rapidità di rotazione di $t$
Spero che qualcuno riesca a illuminarmi su questo argomento
P.S. Come mai il moto circolare uniforme è dato dalla composizione di due moti armonici su 2 assi ortogonali ? Non dovrebbe essere un particolare tipo di moto armonico e basta ?
Ho dei dubbi sulla definizione seguente riguardante il moto circolare:
"Essendo $ vartheta (t) $ l'angolo che "t" (versore tangente alla traiettoria) forma con l'asse delle $y$ , questa relazione indica come la curvatura sia la rapidità di rotazione della tangente unitaria durante il moto; questo risultato è valido per qualsiasi curva"
Di seguito allego il disegno della circonferenza in questione:
Non capisco come mai dice che l'angolo $ vartheta (t) $ viene formato da $t$ con l'asse $y$ mentre per il disegno è l'angolo che $R$ forma con l'asse delle $x$, e la definizione di curvatura come rapidità di rotazione di $t$
Spero che qualcuno riesca a illuminarmi su questo argomento
P.S. Come mai il moto circolare uniforme è dato dalla composizione di due moti armonici su 2 assi ortogonali ? Non dovrebbe essere un particolare tipo di moto armonico e basta ?
Risposte
Navigatore innanzitutto ti ringrazio per la risposta (purtroppo il libro è stato scritto dalla mia prof 
),
Mi potresti dare le definizioni corrette affinchè possa districarmi da questo argomento ?
P.S e indicarmi un libro di meccanica razionale appropriato ? XD
P.P.S come mai la velocità angolare è costante nell'esercizio ?
a me risulta $ v(s(t))= R d(vartheta (t))[-sin ((s(t))/R)i + cos ((s(t))/R)j ] $
e da questo non riesco a dedurre che $w$ sia costante
),Mi potresti dare le definizioni corrette affinchè possa districarmi da questo argomento ?
P.S e indicarmi un libro di meccanica razionale appropriato ? XD
P.P.S come mai la velocità angolare è costante nell'esercizio ?
a me risulta $ v(s(t))= R d(vartheta (t))[-sin ((s(t))/R)i + cos ((s(t))/R)j ] $
e da questo non riesco a dedurre che $w$ sia costante
Ho cancellato la risposta perché mi sembrava un po' cattivella , ma l'avevi già letta : poco male !
In questo topic trovi molti link a corsi sul web.
A livello introduttivo mi pare che Fitzpatrick sia buono.
Poi puoi cercare le dispense di Siboni, Moretti, Galgani e Carati, David Tong….chi più ne ha più ne metta.
Sono sempre cauto nel consigliare questo o quello, perché non so a che livello è lo studente , e qual è il livello del corso che sta seguendo.
Vuoi scrivere a parole tue che cosa non ti è chiaro ?
Tieni comunque presente che se un punto descrive una circonferenza di raggio $R$ , si ha che : $s(t) = R\theta(t)$ .
E quindi, derivando rispetto al tempo : $dots = Rdot\theta$ . Perciò , se $dots = "cost" $ , è giocoforza che $dot\theta = "cost"$.
Ma tu chiedi qualcosa di più dettagliato, forse ? E allora, guardati questa breve discussione
In questo topic trovi molti link a corsi sul web.
A livello introduttivo mi pare che Fitzpatrick sia buono.
Poi puoi cercare le dispense di Siboni, Moretti, Galgani e Carati, David Tong….chi più ne ha più ne metta.
Sono sempre cauto nel consigliare questo o quello, perché non so a che livello è lo studente , e qual è il livello del corso che sta seguendo.
Vuoi scrivere a parole tue che cosa non ti è chiaro ?
Tieni comunque presente che se un punto descrive una circonferenza di raggio $R$ , si ha che : $s(t) = R\theta(t)$ .
E quindi, derivando rispetto al tempo : $dots = Rdot\theta$ . Perciò , se $dots = "cost" $ , è giocoforza che $dot\theta = "cost"$.
Ma tu chiedi qualcosa di più dettagliato, forse ? E allora, guardati questa breve discussione
La risposta era verità che non osavo dire altro che cattivella XD
due punti non mi sono chiari :
1) nell'esercizio come fa a dedurre che la velocità angolare è costante?? cioè nello svolgimento all'improvviso dice $ dot(s(t)$ = $w$ = cost. (supponendo che $w$ sia la velocità angolare) oppure lo nota da qualche risultato ?
quando a me come ho detto sopra viene :
$ v(s(t))= R d(vartheta (t))[-sin ((s(t))/R)i + cos ((s(t))/R)j ] $
quindi essendo $ dot(vartheta (t)$ = $w$ possiamo scrivere :
$ v(s(t))= R w[-sin ((s(t))/R)i + cos ((s(t))/R)j ] $
mentre nell'esercizio si è mangiata il raggio la prof
2) quando dice che il versore tangente $t$ indica come la curvatura sia la rapidità di rotazione della tangente unitaria durante il moto; questo risultato è valido per qualsiasi curva
cioè il modulo dovrebbe indicare la velocità ma essendo un versore il modulo è unitario...cioè su moti circolari diversi il vettore $t$ sarà sempre costante quindi come fa a vedere la rapidità di rotazione da un versore ???
P.S. appena tornerò a casa proverò i libri da te consigliati sperando siano migliori di questi comunque il corso è da 6 cfu di meccanica razionale
altro che cattivella XDdue punti non mi sono chiari :
1) nell'esercizio come fa a dedurre che la velocità angolare è costante?? cioè nello svolgimento all'improvviso dice $ dot(s(t)$ = $w$ = cost. (supponendo che $w$ sia la velocità angolare) oppure lo nota da qualche risultato ?
quando a me come ho detto sopra viene :
$ v(s(t))= R d(vartheta (t))[-sin ((s(t))/R)i + cos ((s(t))/R)j ] $
quindi essendo $ dot(vartheta (t)$ = $w$ possiamo scrivere :
$ v(s(t))= R w[-sin ((s(t))/R)i + cos ((s(t))/R)j ] $
mentre nell'esercizio si è mangiata il raggio la prof
2) quando dice che il versore tangente $t$ indica come la curvatura sia la rapidità di rotazione della tangente unitaria durante il moto; questo risultato è valido per qualsiasi curva
cioè il modulo dovrebbe indicare la velocità ma essendo un versore il modulo è unitario...cioè su moti circolari diversi il vettore $t$ sarà sempre costante
quindi come fa a vedere la rapidità di rotazione da un versore ???P.S. appena tornerò a casa proverò i libri da te consigliati sperando siano migliori di questi
comunque il corso è da 6 cfu di meccanica razionale
1) Direi che è un errore, se ho ben capito, poiché $ds = Rd\theta$ , ed essendo $R = "cost"$ (moto circolare) , si ha : $dots = Rdot\theta$ .
Insomma , $dots$ non è altro che il modulo della velocità tangenziale : $vecv = vhatt = dotshatt$ , e quindi, come già ti ho detto, solo se già sai che $dots = "cost"$ puoi concludere che $\omega = dot\theta = "cost"$
2) c'è confusione. Intanto, $hatt$ è un versore, il modulo è costante , e non so se hai studiato un po' di calcolo vettoriale , dove si fa vedere che la derivata rispetto al tempo di un vettore di modulo costante è perpendicolare al vettore dato, e vale la formula di Poisson :
$(dhatt)/(dt) = vec\omegaxxhatt$
Puoi immaginare che questa sia la velocità con cui si muove la "punta" di $hatt$, quando tieni ferma la "coda" : la punta si muove per effetto di una rotazione con velocità angolare $\omega$, quella stessa che compare nella formula di Poisson.
Il fatto che "è vero per ogni curva" vuol dire qualcosa di più profondo. Ogni volta che hai una traiettoria curva in un punto, in quel punto il versore tangente cambia evidentemente direzione dovendo rimane sempre tangente alla curva. Nel punto in questione, si considera il cerchio osculatore, il cui raggio rappresenta il raggio di curvatura della curva , (la quale non necessariamente è una circonferenza) . È come se il punto mobile si muovesse allora su un pezzetto di arco di circonferenza avente quel raggio (che si sa calcolare dalla geometria) , con una velocità tangenziale $vecv$ e, pertanto, una velocità angolare istantanea $\omega = v/R$ .
Mi perdonino i puristi della matematica e della fisica : ho tratto queste parole dal libro di Fisica di Mencuccini- Silvestrini, spesso nominato in questo forum come uno dei migliori. Per me lo è senz'altro.
Se vuoi approfondimenti, devi studiare un po' di geometria differenziale, ad esempio :
http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/e ... s0004.html
oppure, usa la casellina "cerca qui…." del nostro forum , e cerca "curvatura" o analoghi termini, troverai parecchie risposte . Per esempio : questa .
Insomma , $dots$ non è altro che il modulo della velocità tangenziale : $vecv = vhatt = dotshatt$ , e quindi, come già ti ho detto, solo se già sai che $dots = "cost"$ puoi concludere che $\omega = dot\theta = "cost"$
2) c'è confusione. Intanto, $hatt$ è un versore, il modulo è costante , e non so se hai studiato un po' di calcolo vettoriale , dove si fa vedere che la derivata rispetto al tempo di un vettore di modulo costante è perpendicolare al vettore dato, e vale la formula di Poisson :
$(dhatt)/(dt) = vec\omegaxxhatt$
Puoi immaginare che questa sia la velocità con cui si muove la "punta" di $hatt$, quando tieni ferma la "coda" : la punta si muove per effetto di una rotazione con velocità angolare $\omega$, quella stessa che compare nella formula di Poisson.
Il fatto che "è vero per ogni curva" vuol dire qualcosa di più profondo. Ogni volta che hai una traiettoria curva in un punto, in quel punto il versore tangente cambia evidentemente direzione dovendo rimane sempre tangente alla curva. Nel punto in questione, si considera il cerchio osculatore, il cui raggio rappresenta il raggio di curvatura della curva , (la quale non necessariamente è una circonferenza) . È come se il punto mobile si muovesse allora su un pezzetto di arco di circonferenza avente quel raggio (che si sa calcolare dalla geometria) , con una velocità tangenziale $vecv$ e, pertanto, una velocità angolare istantanea $\omega = v/R$ .
Mi perdonino i puristi della matematica e della fisica : ho tratto queste parole dal libro di Fisica di Mencuccini- Silvestrini, spesso nominato in questo forum come uno dei migliori. Per me lo è senz'altro.
Se vuoi approfondimenti, devi studiare un po' di geometria differenziale, ad esempio :
http://www.matapp.unimib.it/~ferrario/e ... s0004.html
oppure, usa la casellina "cerca qui…." del nostro forum , e cerca "curvatura" o analoghi termini, troverai parecchie risposte . Per esempio : questa .
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